专题4.3解三角形-3年高考2年模拟1年预测(文)(解析版)

第四章三角函数
专题 2三角恒等变换（文科）
【三年高考】
1. 【 2017 课标1，文11】△ ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知
sin B sin A(sin C cosC ) 0 ，a=2，c=2，则 C=
ππππA．B．C． D ．12643
【答案】 B
2.【 2017 浙江， 13】已知△ ABC， AB=AC=4 ，BC=2．点 D 为 AB 延伸线上一点， BD=2，连接 CD，则△ BDC 的面积是 ______， cos∠ BDC =_______．
1510
【答案】,
【分析】取BC 中点 E， DC 中点 F ，由题意：AE BC , BF CD ，△ABE中，
cos ABC BE1
cos DBC
1115 AB
，,sin DBC1，44164
S
△BCD1BD BC sin DBC15 ．又
22
cos DBC12sin 2DBF1,sin DBF10，
44
cos BDC sin DBF10 ，
4
综上可得，△ BCD 面积为15
，cos BDC10 ．24
3. 【 2017 课标 3，文 15】△ ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知 C=60 °，b= 6 ，c=3，则 A=_________.
【答案】 75°
b c
b sin C 63
2，联合 b c
，即2可【分析】由题意：
sin C
sin B sin B c32
得B 45，则 A 180 B C75 .
4. 【 2017课标 II ，文16】ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,b, c ,若
2bc cosB a cosC ccos A ,则B
【答案】
3
【分析】由正弦定理可得
2sin B cos B sin A cosC sin C cos A sin( A C ) sin B cos B 1π
B
3 2
5. 【 2017 天津，文 15】在△ABC中，内角A, B,C所对的边分别为a, b, c .已知
a sin A 4bsin B ，ac5( a2b2c2 ) .
（ I ）求cos A的值；
（ II ）求sin(2 B A)的值 .
【分析】（Ⅰ）由 a sin A 4bsin B ，及a b，得 a2b .由ac5( a2b2c2 ) ，
sin A sin B
2
c2a25
ac
5
及余弦定理，得 cos A
b5
2bc ac
. 5
6． 【 2016 高考新课标 1 文数】 △ ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c.已知
a
5 , c 2 , cos A
2
）
,则 b= （
3
（A ）
2
（B ） 3
（C ）2
（D ）3
【答案】 D
【分析】由余弦定理得
5
b 2 4 2 b
2 2 ,解得 b
3 （ b
1 舍去） ,应选 D.
3
3
7. 【 2016 高考山东文数】
△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ，c ，已知
2
2
sin A) ,则 A=（
）
b = c,a = 2b (1- （ A ）
3π
（ B ） π（ C ） π（ D ）
π
4
3
4
6
【答案】 C
【分析】因为 b = c,所以由余弦定理得：
a 2
b 2
c 2 2bc cos
2b 2 2b 2 cos
2b 2 1 cos
，
又因为 a 2 2b 2 1 sin ，所以 cos sin
，因为 cos
0 ，所以 tan
1，
因为
0,
，所以
，应选 C.
4
8．【 2016 高考北京文数】在 △ABC 中，
A 2
， a
3c ，则 b =_________.
c
3
【答案】 1
sin A a
sin
2
1
【分析】由正弦定理知
3 ，所以 sin C
3
，所以
sin C
c
3
，则 C
2
6
B
2
6
，所以 b
c ，即
b
1．
3
6
c
9．【 2016 高考浙江文数】 在 △ ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ．已知 b+c=2 acos
B ．
（Ⅰ）证明： A=2B ；
（Ⅱ）若 cos B= 2
，求 cos C 的值．
3
10.【
2015
高考广东，文】设 C 的内角，，C 的对边分别为
a
，b ，
c
．若 a 2 ，
5
c 2 3
3
，且 b c ，则 b （）， cos
2
A ．3
B ．2C．2 2D．3
【答案】 B
【分析】由余弦定理得：a2b2c22bc cos ，所以
22b2233，即 b26b 80 ，解得：b 2 或 b 4 ，因为 b c ，
2 32 b 2
2
所以 b 2 ，应选B．
11.【 2015 高考湖北，文15】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山
顶 D 在西偏北 30 的方向上，行驶600m 后抵达B处，测得此山顶在西偏北75 的方向上，
仰角为 30 ，则此山的高度CD_________m.
D
C
B A
【答案】 100 6 .
【分析】在ABC 中，CAB 300， ACB750300450，依据正弦定理知，
BC AB，
sin BAC sin ACB
即 BC
AB6001
2 ，所以
sin BAC300
sin ACB22
2
CD BC tan DBC
3
100 6 ，故应填300 2
3
100 6 .
12.【 2015 高考新课标1，文 17】已知a,b, c分别是ABC 内角 A, B, C 的对边，
sin 2 B 2sin Asin C .
（I ）若a b，求cos B;
（ II ）若B90 ，且 a2,求ABC 的面积.
【分析】（ I ）由题设及正弦定理可得b2 = 2ac .又 a = b ，可得 b = 2c , a = 2c,由余弦定理可
得cos B = a2 + c2 - b2= 1 .
2ac4
（ II ）由 (1) 知b2= 2ac .因为B = 90°，由勾股定理得a2 + c2 = b2.故 a2 +c2 = 2ac ，得
c = a = 2 .
所以 D ABC的面积为 1.
【两年模拟】
1. 【黑龙江、吉林两省八校2017 届高三上学期期中】在ABC 中，角 A, B, C 的对边分别
为，若a
c a
b
，则角 C 等于（）b a c
A ．
B ．
4C．D．
368【答案】 A
【分析】a c a b2
b22ab cosC
a2b2c21
，应选b a
a c
2ab
C
c23
A.
2.且【河北省保定市
，
2017 届高三二模】设的内角
，则面积的最大值为（
，，所对的边分别为）
，，，
A.8
B.9
C.16
D.21
【答案】 B
【分析】由三角形的面积公式：，当且仅当时等号建立.则面积的最大值为9.本题选择B选项.
3. 【 2017 届陕西省渭南市高三二质检】已知ABC 的三边长为a,b,c ，知足直线ax by2c0 与圆x2y2 4 相离，则ABC 是（）
A.直角三角形
B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 以上状况都有可能【答案】 C
4.【福建省泉州市 2017 届高三二质检】在梯形ABCD中，
AB / /CD, AB 1, AC2, BD 2 3,ACD 600
则 AD
() ,
A.2
B.7
C.19
D.13 63
【答案】 B
【分析】在ABC 中，由余弦定理得：BC 2AB2AC 22AB ACcos60 ，解得BC 3 ，所以AC2AB 2BC2，故 BC AB ，在 RT BCD 中，
CD BD2BC 2123 3 ，在ACD 中，由余弦定理
AD2AC 2CD 22AC CDcos607，所以AD7．
5.【 2017 年高考广西名校第一次摸底考试】在ABC 中，已知 tan A 1
, cos B 3 10，210
若ABC 最长边为10，则最短边长为（）
A．2B．3C．5
D．22
【答案】 A
6. 【 2017 广东佛山二模】某沿海四个城市 A 、 B、C、D的地点如下图，此中
ABC60，BCD135，AB80nmile， BC40303nmile ，
CD250 6nmile .此刻有一艘轮船从 A 出发以50nmile/h的速度向D直线航行，60min后，轮船因为天气原由收到指令改向城市 C 直线航行，则收到指令时该轮船到城市C 的距离是__________nmile．
【答案】 100
【分析】在三角形ABC中，
AC280240
2
2804030 3cos6007500AC503
30 3,所以
sin ACB 80sin6004
，5035
sin ACD sin3πACB23472cos ACD 2 ，
42551010
AD25022502250325062AD 501473503 36，设
10
收到指令时该轮船到城市 C 的距离是x，则
50 2
502 x 2
50 2
350
2 250 6
2
3
3 3
x
100.
2 50
3 50
2 50
3 350 3
7. 【 2017 安徽马鞍山三模】在锐角
ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为
a ，
b ，
c ，且 c b sinC
sinB a sinA sinB ．若 c
2 3 ，则 a 2
b 2 的取值范围是 ___．
【答案】
20,24
【分析】依据正弦定理，边角互化后可得
c b c b a a
b
c 2 b 2 a 2
ab ，
a 2
b 2
c 2
1 C
，又依据正弦定理，
cosC
2ab
，解得 3
2
a
b
c
4 ，所以 a 4sinA, b
4sin 2
A ，所以
sinA
sin
2 sinC
3
3
A
a 2
b 2 16sin 2 A
16sin 2 2
A
3
1
4
2 A
1 cos2A
cos
1 3
16 16
3
16 8
16 8cos 2 A
2
2
cos2A
sin2 A
2
2
3
，因为
ABC 是锐角三角形，所以 A
, , 2 A
2 , 4
，所以
6 2
3
3 3
cos 2 A
1,
1 8cos
2 A
20,24 ，故填： 20,24 .
，那么 16 3
3
2
8. 【贵州省遵义市 2017 届高三上学期第一次联考（期中） 】某中学举行升旗仪式，在坡度
为 15°的看台 E 点和看台的坡脚 A 点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为
30°和 60°，量的
看台坡脚
A 点到 E 点在水平线上的射影
B 点的距离为 10cm ，则旗杆的高 CD 的长是
__________
m ．
【答案】 10 3 3
【分析】由题意得DEA45， ADE30
AE sin 45AB
所以AD2所以
sin 30cos15
CD AD sin 60210sin 6010(33)
cos(4530 )
9. 【安徽师范大学隶属中学2017 届高三上学期期中】已知a,b,c分别是ABC 角 A, B,C 的对边，知足 ac sin A4sin C4c sin A .
（Ⅰ）求 a 的值；
（Ⅱ）ABC 的外接圆为圆 O （ O 在ABC 内部）,S
OBC
3
, b c 4 ,判断ABC 的
3
形状 ,并说明原由 .
【分析】（I ）由正弦定理可知 , sin A
a
,sin C c, 则2R2R
ac sin A 4sin C4c sin A a2c4c4ac ,
c 0, a2c 4c 4ac a2 4 4a
2
0 ,可得 a 2 .
a 2
（ II ）记BC中点为D, S
OBC
1
BCOD OD
3
，故BOC120 ,圆 O 的半径为23
23
由正弦公式可知 sin A a3
,故A60 ,由余弦定理可
r,
2r2
3
知 , a2b2c22bc cos A ,由上可得 4b2c2bc ,又 b c 4 ,则 b c 2 ,故 ABC 为等边三角形 .
10. 【2017河北五邑三模】如图，在ABC 中， B，角A的均分线 AD 交BC于点 D，
4
设 BAD,sin
5
. 5
（1）求sinC；
（2）若BABC·28，求AC的长 .
【分析】（1）∵0,， sin51，∴ cos1sin 22，
2555则 sin BAC sin22sin cos212 4 ，
555
∴ cos BAC2cos212413，
55
∴
sinC sin
42sin2
2
cos2
2
sin223247 2 422252510
．
（ 2）由正弦定理，得
AB BC
，即AB
BC
，∴ AB7
2
BC，又sinC sin BAC7248
105
BABC·28 ，∴AB BC
2
28 ，由上两式解得BC 4 2，又由
AC BC
2sinB sin BAC
得 AC BC
，∴ AC 5 ．
2
4
25
11. 【 2016 届宁夏石嘴山三中高三下四模】已知ABC 的三内角A, B,C所对边长分别是
a, b, c，若 sin B sin A3a c
，则角 B 的大小为（）
sin C a b
A ．B．
2 C．
633 5
D．
6
【答案】 D
【分析】由 sin B sin A3a c 得 b a3a c
,即b2a2 c 2 2 3ac ,故
sin C a b c a b
cos B
3
， B
5
，故应选 D.
2
6
12. 【 2016 届福建厦门双十中学高三下热身考】在
ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为
a, b, c .若 a cos A b sin A ，且 B
，则 sin A sin C 的最大值是（
）
2
A ．
2
B ．
9 C ． 1 7
8
D ．
8
【答案】 B
【分析】
a b b
, sin B cos A
sin
A ，因为B
，所以
sin A cos A sin B
2
2
B
A ，所以
2
sin A sin C sin A
sin A B
sin A sin
2 2A
sin A cos2 A ，所以
sin A sin C sin A
2
1
时，
sin A B
2sin 2
A sin A
1 2 sin A
1 9
，所以 sin A
4
8
4
9 sin A sin C 的最大值是
.
8
13. 【 2016
届海南省农垦中学高三考前押题】 在 ABC
中，A
60 BC 10 D
是 AB
，
，
边上的一点， CD
2 ， BCD 的面积为 1，则 AC 的长为（ ）
A. 2
3
B.
3
3 2 3
C.
D.
3
3
【答案】 D
14. 【 2016 届广西贵宾高中高三
5 月模拟】如图，平面四边形
ABCD 中，
AB
5, AD 2 2, CD
3, CBD 300, BCD 1200 ，则 ADC 的面积 S 为
_____________ ．
【答案】
3
3
2
【分析】在
BCD 中，由正弦定理得：
BD
CD
sin
3 3 3 ，在
sin
BCD
2 CBD
1
2
ABD 中，由余弦定理得：
2
2
2
2 2
5
AD 2 BD 2 AB 2
3
2
，所以 ADB 450
．因
cos ADB
2 2 2 3
2AD BD
2
为
CBD
300 , BCD 1200 ，所以
CDB
300 ．因为
sin ADC
sin 450 300
6
2 ．所以
4
S
1
AD CD sin ADC
1 2 2 3
6 4
2 3
3 ．故答案为 3
3 .
2
2
2
2
15. 【 2016 届宁夏银川二中高三 5 月适应性训练 】设 △ABC 的内角 A 、B 、C 的对边长分别
为 a 、 b 、 c ，设 S 为△ ABC 的面积，知足 S
3 ( a 2 c 2 b 2 ) .
4
（ 1）求 B ；
（ 2）若 b
3
，设 A x ，
（ ） ，求函数 y
f (x)
的分析式和最大值 .
y ( 3-1 )a 2c
【分析】（1）由已知及三角形面积公式和余弦定理得
1
3 ac sin B
42ac cos B ，
2
tan B
3，又 B (0， ) ，所以 B
3
（ 2）由（ 1）知 B
，△ABC 的内角和 A B C ，又A
0， C
0得0 A
2
，
3
3
由正弦定理，知 a
b
sin A
3
sin x 2sin x ， c
b sin C 2sin(
2
x) ，
sin B
sin
sin B
3
3
所以 y （
3-1）a 2c
（2 3-1）sin x 4sin(
2
x) 2
3sin x 2 3cos x 2 6 sin( x
)(0 x 2 )
3
4
3
当 x
4 ，即 x
时， y 获得最大值 2 6 .
2
4
【一年原创真展望】
1. 已知锐角 △ ABC 的外接圆半径为
3
BC ，且 AB
3，AC 4，则 BC （
）
3
A ．
37
B ． 6
C ． 5
D ．
13
【答案】 D
BC
2R ，所以 sin A
BC 3
．因为 A 为锐角，所以 A
【分析】因为
3 ，于是
sin A
2R
2
BC 2
32 42 2
3 4cos
13
，所以
BC
13，应选 D ．
3
【当选原由】 本题主要考察正弦定理与余弦定理，
意在考察学生转变能力、 运算求解能力． 本
题难度适中，出题比较基础
,应选本题 .
2. 在 △ ABC 中， a ， b ， c 分别为内角 A ， B ， C 的对边，且
2ab sin C
3( b 2 c 2
a 2 ) ．若 a
13 ， c 3 ，则 △ ABC 的面积为（ ）
A ． 3
B ．3 3
C ． 2
3
D ． 3 3
2
【答案】 B
【当选原由】本题考察余弦定理，三角形的面积公式，正弦定理等基础知识，意在考察学生
的剖析问题、解决问题的能力，基本运算能力及推理能力．本题切合高考的要求, 难度适中，应选本题 .
3. 在△ABC中，
a ，
b ，分别为内角A，B，C 的对边，且a23b23c223bcsin A ，c
则 C 的值为（）
A ．
3B ．C．
4
D．
3 6
【答案】 B
【分析】由余弦定理得a2b2c22bccos A 3b23c223bc sin A
，即
b2c2bc( 3sin A cos A) ，即b
2c22sin( A)
，由基本不等式及三角函数的值bc6
域可得，
b2c2
2sin( A)2，故 2sin( A) 2 ，且 b c ，得 A，2
bc66 6 2
即 A
3，故 C
6
．应选 B.
【当选原由】本题考察余弦定理，基本不等式，两角差的正弦公式等基础知识，意在考察学生的剖析问题、解决问题的能力，基本运算能力及推理能力．本题难度适中，切合高考小题目综合化的要求 ,应选本题 .
4. △ABC中，sin A2sin B cosC0 ，3b c ，则tan A的值是()
3
B．23
C.3
43
A ．
3D．
3
3
【答案】 A
【分析】sin A2sin B cosC0 ，a2b cosC 0 ，a2b a2b2c20 ，
2ab
2a2b2c20 .因为 tan2 A11，
cos2 A
cos A b2c2a23b2c26b232
A
13 2bc4bc 4 3b2
，所以 tan，则 tan A．应选
233
A．
【当选原由】本题考察正、余弦定理，解三角形等基础知识，意在考察学生的剖析问题、解
决问题的能力，基本运算能力及推理能力．本题难度适中，切合高考题型，应选本题.
5．平面四边形ABCD 中， AB 2, BC 4, CD 5, DA 3, 则平面四边形ABCD 面积的
最大值为 ________．
【答案】230
【当选原由】本本小题主要考察余弦定理、三角形面积公式、两角和余弦公式等基础知识，意在考察剖析问题的能力、基本运算能力．本题考察比较综合，难度适中，切合高考题型，应选本题 .。