天津市高三数学上学期第二次月考试题 文 新人教A版

天津一中2012-2013学年高三年级二月考数学试卷（文）
一、选择题（每小题5分，共40分） 1.如果复数212ai
i
++的实部和虚部互为相反数，那么实数a 等于
( )
A B ．2
C ．-
2
3
D ．
23
2. 设,m n 是两条不同的直线，γβα、、是三个不同的平面．给出下列四个命题： ①若m ⊥α，//n α，则m n ⊥；
②若γβγα⊥⊥,，则βα//；
③若//,//m n αα，则//m n ； ④若//,//,m αββγα⊥，则m γ⊥． 其中正
确
命
题
的
序
号
是
（ ）
A ． ①和②
B ． ②和③
C ．③和④
D ．①和④
3. 在正三棱锥P ABC -中，,D E 分别是,AB AC 的中点，有下列三个论断：
①PB AC ⊥；②AC //平面PDE ；③AB ⊥平面PDE ，其中正确论断的个数为 （ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个
4. 数列{n a }中，12,111+==+n n a a a 且，则{n a }的通项为 （ ）
A ．n 2－１
B ．n 2
C ．n 2＋１
D ．12+n 5.
在
ABC
∆中,若
cos 4
cos 3
A b
B a ==,则
ABC
∆是
( )
A ．等腰或直角三角形
B ．等腰三角形
C ．直角三角形
D ．钝角三角
6.为得到函数πcos 23y x ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图像，只需将函数sin 2y x =的图像 （ ）
A ．向左平移
5π
12个长度单位 B ．向右平移
5π
12
个长度单位 C ．向左平移5π
6
个长度单位
D ．向右平移5π
6
个长度单位
7.数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈ .若则32b =-，
1012
b =，则
8a =
（ ）
A ．0
B ．3
C ．8
D ．11
8.定义在(0,)+∞上的可导函数()f x 满足：()()x f x f x '⋅<且(1)0f =,则
()
0f x x
<的解
α•A
B •β
集为 （ ） A ．(0,1) B ．(0,1)(1,)+∞U C ．(1,)+∞
D ．φ
二、填空题（每小题5分，共30分）
9. 若某空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是______．
10.设{}
n a 为公比1q >的等比数列，若2004a 和2005a 是方程24830x x -+=的两根，则
20062007a a +=______．
11. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=______． 12.O 是平面上一点，C B A ,,是平面上不共线三点，动点P 满足()
,AC AB OA OP ++=λ，
2
1
=
λ时， 则PC PB PA +⋅(）的值为______． 13. 求函数2
()sin 3sin cos f x x x x =+在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值______．
14. 如图，二面角l αβ--的大小是60°，线段AB α⊂.B l ∈，
AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是 .
三、解答题：（15,16,17,18每题13分，19,20每题14分）
15．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知3
2cos()cos22A B C ++=-，
39c =，且9a b +=．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求△ABC 的面积．
16．在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，
分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点．求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ．
17．设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2
，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-= （Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（Ⅱ）设n
n
n b a c =
，求数列}{n c 前n 项和T n .
18. 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC
2,CA CB CD BD AB AD ======
（Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ；
（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； （III ）求点E 到平面ACD 的距离．
19．已知数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 满足1
(1)2
n n S a =
-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 求证：12n S <
；（Ⅲ）设函数13
()log f x x =，12()()()n n b f a f a f a =+++L ，求1231111...n n
T b b b b =
++++.
B
E
20．已知函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数,x a x x g -=)(在(0,1)为减函数. （I ）求)(x f 、)(x g 的表达式；（II ）求证:当0>x 时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解； （Ⅲ）当1->b 时,若21
2)(x
bx x f -
≥在x ∈]1,0(内恒成立,求b 的取值范围.
参考答案： 一、选择题：
DDCACABC
二、填空题（每小题5分，共30分）
9． 2 10． 18
11． 45 12． 0
13．
3
2
14．
三、解答题：（15,16,17,18每题13分，19,20每题14分）
15．解：（Ⅰ）由已知得23
2cos 2cos 12
C C -+-=-， …………………………… 3分
所以24cos 4cos 10C C -+=，解得1
cos 2
C =
，所以60C =︒． ………… 6分 （Ⅱ）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即2239a b ab =+- ①，
又9a b +=，所以22281a b ab ++=②，由①②得14ab =， …10分
所以△ABC 的面积11sin 1422S ab C ==⨯． ………………13分 16．解：∵111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面ABC , 又∵AD ⊂平面ABC ，
∴1CC AD ⊥,
又∵1AD DE CC DE ⊥⊂，
，平面111BCC B CC DE E =I ，，∴AD ⊥平面11BCC B , 又∵AD ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥（2）∵1111A B AC =，F 为11B C 的中点，∴111A F B C ⊥,
又∵1CC ⊥平面111A B C ，且1A F ⊂平面111A B C ，∴11CC A F ⊥,
又∵111 CC B C ⊂，平面11BCC B ，1111CC B C C =I ，∴1A F ⊥平面111A B C , 由（1）知，AD ⊥平面11BCC B ，∴1A F ∥AD ,
又∵AD ⊂平面1, ADE A F ∉平面ADE ，∴直线1//A F 平面ADE . 17．【分析及解】（Ⅰ）当;2,111===S a n 时
,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当
故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列. 设}{n b 的公比为,q 则()221111
,4,.4
b a a b qd b d q -===∴= 故1
11124n n n b b q
--==⨯
，即}{n b 的通项公式为1
2
.4
n n b -= （II ）,4)12(422411
---=-==n n n
n n n n b a c Θ 121122
3
1
13454(21)4,4143454(23)4
(21)4
n n n n n
n T c c c n T n n --∴=+++=+⨯+⨯++-=⨯+⨯+⨯++-+-L L L
两式相减得
].
54)56[(9
1
]54)56[(31
4)12()4444(2131321+-=∴+-=-+++++--=-n n n n n n n T n n T Λ
18．（I ）证明：连结OC
,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥Q ,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥Q
在AOC ∆
中，由已知可得1,AO CO == 而2,AC =
222,AO CO AC ∴+=
90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥
,BD OC O =Q I
A
B
M
D
E
O
C
AO ∴⊥平面BCD …………4分
（II ）解：取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB,OE ∥DC ∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角 在OME ∆中，
111,222
EM AB OE DC =
=== OM Q 是直角AOC ∆斜边AC 上的中线，1
1,2
OM AC ∴=
=
cos 4
OEM ∴∠=
…………8分 （III ）解：设点E 到平面ACD 的距离为.h
,
11
....33E ACD A CDE ACD CDE V V h S AO S --∆∆=∴=Q 在ACD ∆
中，2,CA CD AD ===
12ACD S ∆∴==
而211,2242CDE AO S ∆==
⨯=
1.7CDE ACD
AO S h S ∆∆⨯
∴===
∴点E 到平面ACD
的距离为
7
…………12分 19．解：（Ⅰ）当2n ≥时
111111
(1)(1)2222
n n n n n a a a a a --=---=-+，12n n n a a a -=-+
∴
11
3
n n a a -=，-------------------------------------------------3分 由1111(1)2S a a ==
- 得113
a = ∴数列{}n a 是首项11
3
a =、公比为13的等比数列，∴1111()()333n n n a -=⨯=------5分
(Ⅱ)证法1： 由1
(1)2
n n S a =-得
11
[1()]23
n n S =---------------------------7分
11()13n -<Q ，∴111[1()]232n -<∴1
2
n S <----9分
〔证法2：由（Ⅰ）知1()3n n a =，∴11[1()]
113
3[1()]12313
n n n S -==-------7分 11()13n -<Q ，∴111
[1()]232n -<----------------------8分
即1
2
n S < ------------------------------------9分
(Ⅲ)
13
()log f x x =Q
111213
3
3
log log log n n b a a a ∴=+++L ＝1123
log ()n a a a L ----10分
＝1213
1(1)
log ()
123
2
n
n n n ++++=+++=
L L --------12分 ∵
12112()(1)1
n b n n n n ==-++ ∴n T 12111n b b b =
+++=L 111112[(1)()()]2231n n -+-++-+L ＝21
n n +---14分 20．解: （I ）,2)(x
a
x x f -
='依题意]2,1(,0)(∈>'x x f ,即22x a <,]2,1(∈x . ∵上式恒成立,∴2≤a ① …………………………1分
又x
a x g 21)(-
=',依题意)1,0(,0)(∈<'x x g ,即x a 2>,)1,0(∈x .
∵上式恒成立,∴.2≥a ② …………………………2分 由①②得2=a .
…………………………3分
∴.2)(,ln 2)(2x x x g x x x f -=-= …………………………4分 （II ）由(1)可知,方程2)()(+=x g x f ,.022ln 22=-+--x x x x 即 设22ln 2)(2-+--=x x x x x h ,,1
122)(x
x x x h +--
='则 令0)(>'x h ,并由,0>x 得,0)222)(1(>+++-x x x x x 解知.1>x ………5分 令,0)(<'x h 由.10,0<<>x x 解得 …………………………6分
列表分析:
知)(x h 在7分
当10≠>x x 且时,)(x h ＞0,∴0)(=x h 在(0,+∞)上只有一个解. 即当x ＞0时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解. ……………………8分 （III ）设2
'
23122()2ln 2()220x x x bx x x b x x x
ϕϕ=--+
=---<则, ……9分 ()x ϕ∴在(0,1]为减函数min ()(1)1210x b ϕϕ∴==-+≥ 又1b >- …………
11分
所以：11≤<-b 为所求范围. ………………12分。