九年级数学上册 21.2.1 配方法同步测试 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中九年级上册数学试

解一元二次方程
配方法
第1课时用直接开平方法解一元二次方程
[见B本P2]
1．一元二次方程x2－25＝0的解是( D )
A．x1＝5，x2＝0 B．x＝－5
C．x＝5 D．x1＝5，x2＝－5
2．一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x ＋6＝4，则另一个一元一次方程是( D )
A．x－6＝－4 B．x－6＝4
C．x＋6＝4 D．x＋6＝－4
3．若a为一元二次方程(x－17)2＝100的一个根，b为一元二次方程(y－4)2＝17的一个根，且a，b都是正数，则a－b等于( B )
A．5 B．6
C.83 D．10－17
【解析】 (x－17)2＝100的根为x1＝－10＋17，x2＝10＋17，因为a为正数，所以a＝10＋17.(y－4)2＝17的根为y1＝4＋17，y2＝4－17，因为b为正数，所以b＝4＋17，所以a－b＝10＋17－(4＋17)＝6.
4．解关于x的方程(x＋m)2＝n，正确的结论是( B )
A．有两个解x＝±n
B．当n≥0时，有两个解x＝±n－m
C．当n≥0时，有两个解x＝±n－m
D．当n≤0时，无实数解
5．若关于x的方程(3x－c)2－60＝0的两根均为正数，其中c为整数，则c的最小值为( B )
A ．1
B ．8
C ．16
D ．61
【解析】 原方程可化为(3x －c )2
＝60，3x －c ＝±60，3x ＝c ±60，x ＝c ±60
3
.因为
两根均为正数，所以c ＞60＞7，所以整数c B. 6．一元二次方程x 2
－4＝0的解是__x ＝±2__．
7．当x ＝__－7或－1__时，代数式(x －2)2
与(2x ＋5)2
的值相等．
【解析】 由(x －2)2
＝(2x ＋5)2
，得x －2＝±(2x ＋5)，即x －2＝2x ＋5或x －2＝－2x －5，所以x 1＝－7，x 2＝－1.
8．若x ＝2是关于x 的方程x 2
－x －a 2
＋5＝0的一个根，则a 的值为__±7__． 【解析】 把x ＝2代入方程x 2
－x －a 2
＋5＝0得22
－2－a 2
＋5＝0，即a 2
＝7，所以a ＝±7. 9．在实数X 围内定义运算“☆”，其规则为：a ☆b ＝a 2
－b 2
，则方程(4☆3)☆x ＝13的解为x ＝__±6__．
【解析】 4☆3＝42
－32
＝16－9＝7，7☆x ＝72
－x 2
， ∴72
－x 2
＝13.∴x 2＝36.∴x ＝±6.
10．如果分式x 2－4x －2
的值为零，那么x ＝__－2__．
【解析】 由题意得x 2
－4＝0且x －2≠0，∴x ＝－2. 11．求下列各式中的x . (1)x 2
＝36； (2)x 2＋1＝1.01； (3)(4x －1)2
＝225； (4)2(x 2
＋1)＝10. 解：(1)x 1＝6，x 2＝－6； (2)x 1，x 2＝－0.1； (3)x 1＝4，x 2＝－7
2；
(4)x 1＝2，x 2＝－2.
12．已知关于x 的一元二次方程(x ＋1)2
－m ＝0有两个实数根．则m 的取值X 围是( B )
A ．m ≥－3
4B ．m ≥0
C ．m ≥－1
D ．m ≥2
【解析】 (x ＋1)2
－m ＝0，(x ＋1)2
＝m ， ∵一元二次方程(x ＋1)2
－m ＝0有两个实数根， ∴m ≥0.
13．已知等腰三角形的两边长分别是(x －3)2
＝1的两个解，则这个三角形的周长是( C )
A ．2或4
B ．8
C ．10
D ．8或10
【解析】 开方得x －3＝±1，即x ＝4或2，则等腰三角形的三边长只能为4，4，2，C. 14．解下列方程：(1)[2012·永州](x －3)2
－9＝0； (2)(2x －3)(2x －3)＝x 2
－6x ＋9； (3)(2x ＋3)2
－(1－2)2＝0.
解：(1)(x －3)2＝9，x －3＝±3，∴x 1＝0，x 2＝6； (2)原方程可化为(2x －3)2
＝(x －3)2
， 两边开平方得2x －3＝±(x －3)， 即2x －3＝x －3或2x －3＝－(x －3)， ∴x 1＝0，x 2＝2；
(3)原方程可化为(2x ＋3)2
＝(1－2)2
， ∴2x ＋3＝±(1－2)．
∴2x ＋3＝1－2或2x ＋3＝－(1－2)． ∴x 1＝－1－
22，x 2＝－2＋22
. 15．以大约与水平线成45°角的方向，向斜上方抛出标枪，抛出距离s (单位：米)与标枪出手的速度v (单位：米/秒)之间根据物理公式大致有如下关系：s ＝v 2
9.8＋2，如果抛
出48米，试求标枪出手时的速度(精确到/秒)．
解：把s ＝48代入s ＝v 2
9.8＋2，
得48＝
v 2
9.8
＋2，v 2
， ∴v 1≈，v 2≈－21.2(舍去)． 答：标枪出手时的速度约为米/秒． 16．已知2m －1＝3m
，求关于x 的方程x 2
－3m ＝0的解． 解：
2m －1＝3
m
，方程两边同时乘m (m －1)， 得2m ＝3(m －1)，解得m ＝3， 经检验m ＝3是原方程的解． 将m ＝3代入方程x 2
－3m ＝0， 则x 2
－9＝0，解得x ＝±3，
即关于x 的方程x 2
－3m ＝0的解为x 1＝3，
x 2＝－3.
17．已知a ＋b ＝4n ＋2，ab ＝1，若19a 2
＋150ab ＋19b 2
的值为2 012，求n .
解：∵19a 2
＋150ab ＋19b 2
＝19(a ＋b )2
－38ab ＋150ab ＝19(a ＋b )2
＋112ab ，且a ＋b ＝4n ＋2，ab ＝1，
又19a 2
＋150ab ＋19b 2
的值为2 012， ∴19×(4n ＋2)2
＋112×1＝2 012， 即(4n ＋2)2
＝100，∴4n ＋2＝±10， 当4n ＋2＝10时，解得n ＝2；
当4n ＋2＝－10时，解得nn 为2或－3.
第2课时 用配方法解一元二次方程 [见A 本P4]
1．用配方法解方程x 2
－2x －1＝0时，配方后所得的方程为( D ) A ．(x ＋1)2
＝0 B ．(x －1)2
＝0 C ．(x ＋1)2
＝2 D ．(x －1)2
＝2
2．用配方法解方程13x 2
－x －4＝0时，配方后得( C )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322
＝394 B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －322
＝－394
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －322
＝57
4 D ．以上答案都不对
【解析】 先把方程化为x 2
－3x －12＝0，再移项得x 2
－3x ＝12，配方得⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －322
＝57
4.
3．若一元二次方程式x 2
－2x －3 599＝0的两根为a ，b ，且a ＞b ，则2a －b 之值为( D ) A ．－57 B ．63C ．179D ．181
【解析】 x 2
－2x －3 599＝0，移项得x 2
－2x ＝3 599，x 2
－2x ＋1＝3 599＋1，即(x －1)
2
＝3 600，x －1＝60，x －1＝－60，解得x ＝61或x ＝－59.∵一元二次方程式x 2
－2x －3 599＝0的两根为a ，b ，且a ＞b ，
∴a ＝61，b ＝－59，∴2a －b ＝2×61－(－59)＝181.
4．关于x 的一元二次方程x 2
－5x ＋p 2
－2p ＋5＝0的一个根为1，则实数p 的值是( C ) A ．4 B ．0或2 C ．1 D ．－1
【解析】 把x ＝1代入原方程有1－5＋p 2
－2p ＋5＝0，即p 2
－2p ＋1＝0，∴(p －1)2
＝0，∴p ＝1.
5．把下列各式配成完全平方式： (1)x 2
＋6x ＋__9__＝(x ＋__3__)2
； (2)x 2±__x __＋14＝⎝
⎛
⎭⎪⎫x ± 12 2.
6．若方程x 2＋6x ＝7可化为(x ＋m )2
＝16，则m ＝__3__． 7．当m ＝__±12__时，x 2
＋mx ＋36是完全平方式．
【解析】 ∵x 2
＋mx ＋36＝x 2
＋mx ＋62
是完全平方式，∴m ＝±2×1×6，∴m ＝±12.
8．用配方法解一元二次方程： (1)x 2
－2x ＝5；(2)2x 2
＋1＝3x ； (3)2t 2
－6t ＋3＝0；(4)6x 2
－x －12＝0； (5)2y 2
－4y ＝4；(6)x 2
＋3＝23x ； (7)x 2－2x ＝2x ＋1.
解：(1)配方，得(x －1)2
＝6， ∴x －1＝±6，
∴x 1＝1＋6，x 2＝1－6； (2)移项得2x 2
－3x ＝－1， 二次项系数化为1得x 2
－32x ＝－12，
配方得x 2
－32x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝－12＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫342
，
即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342
＝116
，
∴x －34＝±14，解得x 1＝1，x 2＝12；
(3)移项、系数化为1得t 2
－3t ＝－32，
配方得t 2
－3t ＋94＝－32＋94
，
即⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322
＝3
4
， 开方得t －32＝±3
2，
∴t 1＝3＋32，t 2＝3－3
2.
(4)移项，得6x 2
－x ＝12， 二次项系数化为1，得x 2
－x
6
＝2，
配方，得x 2
－x 6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1122
＝2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1122
，
即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1122
＝289144， ∴x －112＝±1712，
∴x 1＝32，x 2＝－43
；
(5)系数化为1，得y 2
－2y ＝2，
配方，得y 2
－2y ＋1＝2＋1，即(y －1)2
＝3， ∴y －1＝±3；
∴y 1＝1＋3，y 2＝1－3； (6)移项，得x 2－23x ＝－3，
配方，得x 2
－23x ＋(3)2
＝－3＋(3)2
， 即(x －3)2＝0， ∴x 1＝x 2＝3； (7)移项得x 2－4x ＝1， 配方得x 2
－4x ＋22
＝1＋22
， 即(x －2)2＝5， ∴x －2＝±5，
∴x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5.
9．当x 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<3x －312
（x －4）<1
3（x －4）时，求出方程x 2
－2x －4＝0的根． 解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<3x －312
（x －4）<1
3（x －4）求得⎩⎪⎨⎪⎧2<x
x <4， 则2<x <4，
解方程x 2
－2x －4＝0可得x 1＝1＋5，x 2＝1－ 5 2<5<3，而2<x <4， 所以x ＝1＋ 5.
10．已知方程x2－6x＋q＝0可以配方成(x－p)2＝7的形式，那么x2－6x＋q＝2可以配方成下列的( B )
A．(x－p)2＝5 B．(x－p)2＝9
C．(x－p＋2)2＝9 D．(x－p＋2)2＝5
【解析】由x2－6x＋q＝0，得x2－6x＋9－9＋q＝0，即(x－3)2－9＋q＝0，∴(x－3)2＝9－q.∴q＝2，p＝3.∴x2－6x＋q＝2即为x2－6x＋2＝2，x2－6x＝0，x2－6x＋9＝9，(x－3)2＝9，即(x－p)2B.
11．用配方法解方程：
(1)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.
(2)5(x2＋17)＝6(x2＋2x)．
解：(1)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7，
4x2－4x＋1＝3x2＋2x－7，x2－6x＝－8，
(x－3)2＝1，x－3＝±1，
x1＝2，x2＝4.
(2)5(x2＋17)＝6(x2＋2x)，
整理得：5x2＋85＝6x2＋12x，x2＋12x－85＝0，
x2＋12x＝85，x2＋12x＋36＝85＋36，
(x＋6)2＝121，
x＋6＝±11，
x1＝5，x2＝－17.
12．利用配方法比较代数式3x2＋4与代数式2x2＋4x值的大小．
解：∵(3x2＋4)－(2x2＋4x)
＝3x2＋4－2x2－4x
＝x2－4x＋4
＝(x－2)2≥0，
∴3x2＋4≥2x2＋4x.
13．阅读材料：对于任何实数，我们规定符号⎪⎪
⎪a
c
⎪⎪⎪
b d 的意义是⎪⎪⎪a
c
⎪
⎪⎪b d ＝ad －bc .例如：
⎪⎪⎪13
⎪⎪⎪24＝1×4－2×3＝－2，⎪⎪⎪－2
3
⎪
⎪⎪45＝(－2)×5－4×3＝－22.
(1)按照这个规定请你计算⎪⎪
⎪57
⎪
⎪⎪68的值；
(2)按照这个规定请你计算当x 2
－4x ＋4＝0时，⎪⎪
⎪x ＋1
x －1
⎪
⎪⎪
2x
2x －3的值． 解：(1)⎪⎪
⎪5
7
⎪
⎪⎪68＝5×8－7×6＝－2；
(2)由x 2
－4x ＋4＝0得x ＝2，
⎪⎪⎪x ＋1x －1
⎪⎪⎪2x
2x －3＝⎪⎪⎪31
⎪
⎪⎪41＝3×1－4×1＝－1.
14．已知关于x 的方程a (x ＋m )2
＋b ＝0的解是x 1＝－2，x 2＝1(a ，m ，b 均为常数，a ≠0)，求关于x 的方程a (x ＋m ＋2)2
＋b ＝0的解． 解：x 1＝－4，x 2＝－1.
15．选取二次三项式ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如 ①选取二次项和一次项配方：x 2
－4x ＋2＝(x －2)2
－2；
②选取二次项和常数项配方：x 2
－4x ＋2＝(x －2)2
＋(22－4)x ，或x 2
－4x ＋2＝(x ＋2)2
－(4＋22)x ；
③选取一次项和常数项配方：x 2
－4x ＋2＝(2x －2)2
－x 2
. 根据上述材料，解决下面问题：
(1)写出x 2
－8x ＋4的两种不同形式的配方； (2)已知x 2
＋y 2
＋xy －3y ＋3＝0，求x y
的值． 解：(1)x 2－8x ＋4 ＝x 2
－8x ＋16－16＋4
＝(x －4)2
－12；
x 2－8x ＋4
＝(x －2)2
＋4x －8x ＝(x －2)2－4x ；
(2)x 2
＋y 2＋xy －3y ＋3＝0，
(x ＋y 2)2＋34(y －2)2
＝0，
x ＋y
2
＝0，y －2＝0，
x ＝－1，y ＝2，
则x y
＝(－1)2
＝1.。