一元函数微分学及其应用

下面的关键是求出dy=A x ∆中的A.
若函数在一点0x 处可微时,则有
(x)(x),y dy A x οο∆=+∆=∆+∆
(x)(x),y A x A x x x x
οο∆∆∆∆=+=+∆∆∆∆
000(x )(x )l i m l i m l i m .
x x x y A A A x x x οο∆→∆→∆→∆∆∆⎡⎤=+=+=⎢⎥∆∆∆⎣⎦ 即 '0(x ).A f =
反之,若()f x 在0x 处可导,有
'00l i m (x ),x y f x
∆→∆=∆ 由函数极限与无穷小的关系可得：'0(x ),y f x
α∆=+∆其中α是当0x ∆→时的无穷小,所以 因为(x),x αο∆=∆而(),0f x 与x ∆无关,由微分定义可知，函数在0x 处可微,且(),0.f x A = 定理 ()y f x =在0x 处可微的充分必要条件是函数()y f
x =在0
x 处可导,且()f x 在可 导点0x 处的微分为
,(x).dy f x =∆ （2）
若()y f x =在区间I 内每一点处都可微,称()y f x =在I 内可微,其微分为,(x).dy f dx = 当(x)f x =时，(x)(x),df dx x x ==∆=∆所以.dx x =∆
因此,可以定义自变量x 的微分dx 为其增量x ∆,即.dx x =∆这样便有
,(x)dy f dx =或,(x),dy f dx
= 可见,导数就是函数的微分dy 与自变量的微分dx 之商,因此,导数也成为“微商”. 2.4.2 微分的几何意义
如图2—7所示,设点00(x ,y )M 是曲线y (x)f =上
一点,当自变量在0x 处有微小增量x ∆时,得到曲线
上另一点00(x ,y ),N x y +∆+∆其中MQ ,x =∆QN =
过点M 作曲线的切线MT,它的倾角为α,则QP=
'0tan (x ),MQ f x α=∆即.dy QP =
所以，当自变量有改变量x ∆时,y ∆是曲线y=
(x)f 上的对应点的纵坐标的增量,dy 则是曲线的切
线上对应点的纵坐标的增量.当||x ∆很小的时候,
0.y dy x
∆-→∆因此在点M 邻近，可以用切线段来近
高等数学 62
似代替曲线段.
2.4.3 微分公式和法则
由可导与可微之间的关系'dy (x)dx,f =参照2.2.4中的公式立即可得微分公式和微分 运算法则.下面将函数和、差、商的微分法则和复合函数的微分法则列出来：
1） 函数和、差、积、商的求导法则，
由函数的和、差、积、商的求导法则，可推得相应的微分法则.设函数u u(x)=、v v(x)=都可导,则：
①d(u v)du dv;±=± ②d(Cu)Cdu =（C 是常数）；
③(uv)udv vdu;d =+ ④2d()(v 0).u vdu udv v v -=
≠ 2） 复合函数的微分法则
设y (u),f =u (x)ϕ=都是可导函数,则复合函数[(x)]y f ϕ=的微分应为
'''dy {f[(x)]}()dx (u)(x)dx,dy du dx f du dx
ϕϕ=== 因为'(x)dx du ϕ=,上式可写成
'dy (u)f du = (2)
(3)式说明,无论函数(u)y f =中的u 是自变量还是中间变量,它的微分表达形式都是dy='(u)f du ,这称作微分形式的不变性.
例1 求函数ln tan 5x y =的微分.
解：方法一： ln tan 'ln tan '(5)5ln5(lntanx)x x dy dx dx ==
2ln tan ln tan sec ln 55ln 55.tan sin cos x x x dx dx x x x
== 方法二：由微分形式不变性,可得
ln tan ln tan 1
5ln 5(lntanx)5ln 5(tanx)tan x x dy d d x ==
ln tan 2ln tan ln 5ln 55sec 5tan sin cos x x
xdx dx x x x
==
2. 4. 4 利用微分进行近似计算
对可导函数(x),f 当自变量在x 处产生微小该变量x ∆,对应的y 有改变,y ∆由微分与倒数的关系可知,'(x)x,y dy f ∆≈=∆即
'(x)x,y f ∆≈∆
第2章 一元函数微分学及其应用 63
或 '(x x)(x)(x)x.f f f +∆≈+∆
(4)式和(5)式称为微分近似计算公式.特别地,当x=0时,在(5)式中用x 代替x,∆得当x 较小时,利用(6)式可得几个函数的近似计算公式:
①sinx ;x ≈ ②tan ;x x ≈ ③arcsin ;x x ≈ ④arctan ;x x ≈
⑤1;x e x ≈+ ⑥ln(x 1);x +≈ ⑦ 1.x n
≈+ 下面证明⑦.
证：设(x)f =则11'
1(x)(1),n f x n -=+ (0)1,f ='1(0),f n = 由公式（6）得 (x)1.x f n
≈+ 上面七个公式的几何意义是：在点x=0的较小邻域内,等式两边的两个函数的图像是“吻合”的.
例2 计算（1）ln 0.98; （2 （3）'sin 2930;的近似值. 解:(1)设(x)ln(1x),f =+相当于求自变量x=0.02时,函数(x)f 的函数值.由前面结论④可得
ln 0.98ln(10.02)0.02.=-≈-
(2)设(x)f 相当于求自变量x=0.02时,函数(x)f 的函数值.由前面结论⑤可得
0.021 1.0067.3
=≈+= (3)设(x)sin(x),f ='(x)cosx,f =由微分近似公式(5)式,可知
'sin 2930sin()sin cos ()636066360
o πππππ=-≈+- 0.50000.00760.4924.≈-=
习题2—4
1. 求下列各函数的微分:
(1) 3
y x 3;x =+ (2) 1
y x
=- (3) y =
(4) 2cos ;1x y x =- (5) 1arcsin(2x);2
y = (6) arctan(e ).x y =
2.求函数y tanx =在x 4
π=处,对应0.05x ∆=的微分值.
3.利用微分近似公式,求(1) 0cos29; (2) .
4.若方程1x y xe =+确定函数(x),y y =求在x 0=处函数的微分.
5.设函数(x)f 可导,求函数2y (x )f =的函数的微分dy.
高等数学 64
2. 5 中值定理
在本节,我们学习一元函数微分学的三个基本定理:Rolle 定理、Lagrange 中值定理、 Cauchy 中值定理,它们是导数应用的理论基础.
2.5.1 Rolle 定理
定理1 如果函数(x)f 满足:
(1) 在闭区间[a,b]上连续；
(2) 在开区间(a,b)内可导；
(3) (a)(b);f f =
则至少存在点(a,b),ξ∈使'()0f ξ=(见图2—8).
证:若(x)f 在[a,b]上恒为常数,显然定理成立.
假设(x)f 在闭区间[a,b]上的最大值为M,最小值为m,且M
>m,则M 、m 中至少有一个不等于(a)f .不妨设(a),M f ≠由于
(a)(b),f f =这说明最大值M 是在区间(a,b)内取得,由介值定理
知道存在(a,b)ξ∈使()M.f ξ=分析该点的导数:
'
0(x)()()lim 0,x f f f x ξξξξ+→+-=≤- '0(x )()()l i m 0,
x f f f x ξξξξ-→--=≥- 而(x)f 在ξ可导,应有'
'
'()()(),f f f ξξξ+-==故只有'()0.f ξ=
注:(1)定理表明函数图像在开区间(a,b)内至少存在一条水平切线;
(2)定理说明在定理条件下方程'(x)0f =在(a,b)内至善有一个根，因此定理也叫做导数方程根的存在定理;
(3)定理的三个条件中若有一个不满足,结论就不一定成立.图2—9给出了不满足其中一个条件时定理不存在的情况.
例1 对函数32(x)x 4710f x x =+--在[-1,2]上验证Rolle 定理的正确性.
解:(1)(2)0f f -==且(x)f 在[-1,2]上连续,在(-1,2)内可导,满足Rolle 定理的三 个条件.计算导数: '2(x)3x 87,f x =+-由于'(1)12,f -=-'(2)21,f =从而''(1)(2)0.f f -<由零点定理知存在(1,2)ξ∈-使'()0.f ξ=
第2章 一元函数微分学及其应用 65
例2 已知(x)(x 1)(x 2)(x 3)(x 4),f =----利用Rolle 定理讨论'(x)0f =根的 情况.
解:(x)f 为多项式函数,在(,)-∞+∞内连续、可导.因为(1)(2)(3)(4)0,f f f f ====由Rolle 定理知'(x)0f =有分别位于区间(1,2)、(2,3)、(3,4)内的三个实根.又由于'(x)f 是一个三个多项式,最多有三个实根,所以它只有这三个根.
2.5.2 Lagrange 中值定理
Rolle 定理中(a)(b)f f =这个条件是比较特殊的,如果取消这个条件,则由下面的 Lagrange 中值定理.
定理2 如果函数(x)f 满足:
(1) 在闭区间[a,b]上连续;
(2) 在开区间(a,b)内可导,
则至少存在一点ξ∈(a,b),使
'(b)(a)().f f f b a
ξ-=-
先看一下定理2的几何含义(见图2—10),过连续曲线弧段的
两端点(a,f(a)),B(b,f(b))A 作弦AB,其斜率(b)(a),f f k b a
-=- 则在(a,b)内至少有一点ξ,过点(,f())ξξ的切线与弦AB 平行.
证:引进辅助函数
(b)(a)F(x)(x)(x),f f f kx f x b a
-=-=-- 则(a)af(b)(a)(b),bf F F b a
-==-且(x)F 满足Rolle 定理的另外两个条件，所以至少存在一点 ξ∈(a,b),使
''(b)(a)()()0,f f F f b a
ξξ-=-=-
即 '(b)(a)().f f f b a
ξ-=-
注:在Lagrange 中值定理中,若(a)(b),f f =则得Rolle 定理的结论,所以Rolle 定理是Lagrange 中值定理的特殊情况.
推论1 若(x)f 在区间I 上可导, '(x)0,f ≡则在I 上(x)f C ≡(C 为常数). 证:在区间I 上任取两点12,,x x 且12x x <,在区间12[,x ]x 上应用Lagrange 中值定理得： 存在12[,x ]x ξ∈使'2121
(x )f(x )(),f f x x ξ-=-,但'(x)0,f ≡故12(x )(x ).f f =由12(,)x x 的任意性,
可知(x)f 在区间I 上式一个常值函数.
推论2 若函数(x),g(x)f 在(a,b)内可导,且对任意(a,b),x ∈有''(x)(x),f g =则。