高中数学第二章平面向量222向量的减法课件北师大版必修4

解析：∵△AOB 为直角三角形， ∴有|a－b|＝|O→A－O→B|＝|B→A|＝ 52＋122＝13.
三、解答题 6.如图所示，O 是四边形 ABCD 内任意一点，试根据图中给 出的向量，确定 a，b，c，d 的方向(用箭头表示)，使 a＋b＝A→B， c－d＝D→C，并画出 b－c 和 a＋d.
【思路探究】 要证明四边形 ABCD 为平行四边形，只要 证明一组对边平行且相等即可，利用向量法证明时，只需证明A→B ＝D→C.
【证明】 证明：如图，设四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，根据题意，得A→O＝O→C，D→O＝O→B.
根据向量加法的三角形法则，得A→B＝A→O＋O→B，D→C＝D→O＋ → OC.
解法三：设 O 为平面内任意一点，则有(A→B－C→D)－(A→C－B→D)
＝A→B－C→D－A→C＋
→ BD
＝
( O→B － O→A )
－ ( O→D －O→C ) －
(O→C－O→A
)
＋
(O→D－O→B)＝O→B－O→A－O→D＋O→C－O→C＋O→A＋O→D－O→B＝0.
规律方法 解法一是将向量减法转化为向量加法进行化简 的．解法二是利用A→B－A→C＝C→B，D→C－D→B＝B→C进行化简的．解 法三是利用A→B＝O→B－O→A的关系进行化简的．
则 AM 为 Rt△ABC 斜边 BC 上的中线，因此， |A→M|＝12|B→C|＝2.
——易错警示—— 向量加减法的几何意义应用中的误区 【例 5】 已知 D，E，F 分别是△ABC 的边 AB，BC，CA 的中点，则( A ) A.A→D＋B→E＋C→F＝0 B.B→D－C→F＋D→F＝0 C.A→D＋C→E－C→F＝0 D.B→D－B→E－F→C＝0 【错解】 选 B 或 C 或 D
一、选择题
1．在△ABC 中，D，E，F 分别为 AB，BC，CA 的中点，
则A→F－D→B等于( D )
→ A.FD
→ B.FC
→ C.FE
→ D.BE
2．下列等式中正确的个数是( C )
①a－0＝a；②b＋a＝a＋b；③－(－a)＝a；④a＋(－a)＝0；
⑤a＋(－b)＝a－b.
A．2
B．3
a－b＝a＋(－b)． 求两个向量_差 ____的运算，叫作向量的减法．
几何意义：如图，在平面内任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b， 则B→A＝a－b，即 a－b 表示从向__量___b_的__终__点___指向_向__量___a_的__终__点_ 的向量．
[答一答] 2．为什么对于任意两个向量 a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a| ＋|b|?
复习课件
高中数学第二章平面向量2.2.2向量的减法课件北师大版必修4
2021/4/17
高中数学第二章平面向量222向量的减法课件北师大版必修 4
第二章
平面向量
§2 从位移的合成到向量的加法
2．2 向量的减法
01 预习篇
02课堂篇
03提高篇
04 巩固篇
课时作业
知识点一
相反向量
[填一填] 1．与 a 长度__相__等___、方向_相__反___的向量，叫作 a 的相反向 量，记作－ __a___.零向量的相反向量仍是_零__向__量__．关于相反向量
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动 对身体不好哦~
类型一
向量减法的几何意义
【例 1】 如图，已知向量 a，b，c，求作 a－b－c.
【思路探究】 任选起点 → 平移向量 → 共起点，连终点 → 方向指向被减向量
【解】 如图，在平面内任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b，B→C ＝c，则由向量减法的三角形法则，得B→A＝a－b，C→A＝a－b－c.
A．[3,8]
B．(3,8)
C．[3,13]
D．(3,13)
【思路探究】
【解析】 因为A→B＝O→B－O→A，故当O→A，O→B共线且同向时， |A→B|＝|O→A|－|O→B|＝3；
当O→A，O→B共线且反向时，|A→B|＝|O→A|＋|O→B|＝13； 当O→A，O→B不共线时，由||O→A|－|O→B||<|O→B－O→A|<|O→A|＋|O→B|， 可得 3<|A→B|<13.综上可得 3≤|A→B|≤13.
类型二
向量的加减法的基本运算
【例 2】 化简：(A→B－C→D)－(A→C－B→D)＝___0_____.
【解析】 解法一：(A→B－C→D)－(A→C－B→D)＝A→B－C→D－A→C ＋B→D＝A→B＋D→C＋C→A＋B→D＝(A→B＋B→D)＋(D→C＋C→A)＝A→D＋D→A ＝0.
解法二：(A→B－C→D)－(A→C－B→D)＝A→B－C→D－A→C＋B→D＝(A→B －A→C)＋(D→C－D→B)＝C→B＋B→C＝0.
3．对向量减法的两点说明 (1)减法的几何意义 a－b 的几何意义是：当向量 a，b 的始点相同时，从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量． (2)与向量加法的关系 a－b＝a＋(－b)，减去一个向量等于加上这个向量的相反向 量．
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间 休息一下眼睛，
若 a，b 反向，如图②所示，||O→A|－|A→B||＝|O→B|，即||a|－|b||＝|a ＋b|.
综上，||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|. 同理可证明||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|. 综上，||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
1．相反向量满足的两个条件 (1)两个向量的方向相反． (2)两个向量的长度相等． 2．相反向量的意义 (1)在相反向量的基础上，可以通过向量加法定义向量减法． (2)为向量的“移项”提供依据．利用(－a)＋a＝0 在向量等 式的两端加上某个向量的相反向量，实现向量的“移项”．
提示：其几何意义是三角形两边之和大于第三边，两边之差小 于第三边．根据向量 a，b 共线与不共线两种情况讨论．
若 a，b 中有一个为零向量，则不等式显然成立． 若 a，b 都不是零向量，记O→A＝a，A→B＝b， 则O→B＝a＋b.
(1)当 a，b 不共线时，如图所示，则有
||O→A|－|A→B||<|O→B|<|O→A|＋|A→B|， 即||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|. (2)当 a，b 共线时，若 a，b 同向，如图①所示， |O→B|＝|O→A|＋|A→B|，即|a＋b|＝|a|＋|b|.
(1)化简：(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)＝__0___.
解析：(A→C＋B→O＋O→A)－(D→C－D→O－O→B)＝(A→C＋B→A)－(O→C －O→B)＝B→C－B→C＝0.
(2)在五边形 ABCDE 中，设A→B＝a，A→E＝b，B→C＝c，E→D＝d， 用 a，b，c，d 表示C→D.
有：
－(－a)＝__a___；a＋(－a)＝(－a)＋a＝__0___； 若 a，b 互为相反向量，则 a＝_－__b_，b＝__－__a_，a＋b＝_0__.
[答一答] 1．两个相反向量的和等于什么？
提示：由向量加法的定义可知：两个相反向量的和为零向量．
知识点二
向量减法
[填一填] 2．定义：向量 a 加上 b 的_相__反__向__量__，叫作 a 与 b 的差，即
规律方法 解与向量的模有关问题的方法 (1)利用三角不等式，即||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|求解，用此 法求解模的范围时，一定要注意等号成立的条件． (2)根据图形的特点，适当运用三角形法则和平行四边形法 则进行转化，将模的计算问题转化为三角形或平行四边形的边长 的计算问题．
设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外，|B→C|2＝16，
【正解】 因为 D，E，F 分别是△ABC 的边 AB，BC，CA 的中点，所以A→D＝D→B，C→F＝E→D，F→C＝D→E，F→E＝D→B①，
所以A→D＋B→E＋C→F＝D→B＋B→E＋E→D＝0，故 A 成立． B→D－C→F＋D→F＝B→D＋D→F－C→F＝B→F＋F→C＝B→C≠0，故 B 不成 立． A→D＋C→E－C→F＝A→D＋F→E②＝A→D＋D→B＝A→B≠0，故 C 不成立． B→D－B→E－F→C＝E→D－D→E②＝E→D＋E→D≠0，故 D 不成立．
规律方法 应用三角形法则进行向量减法时，必须平移向量 使之共起点，那么终点与终点所确定的向量就是两个向量的差向 量，此时差向量的方向指向被减向量的终点．对于多个向量的减 法运算，一般通过“两两”相减依次运算．
如图所示，已知向量 a 和 b，画图作出下列向量．
(1)－b；(2)a－b；(3)b－a；(4)－a－b. 解：如图所示，设A→B＝a，A→D＝b，以A→B，A→D为邻边作▱ ABCD.(1)D→A＝－b.(2)D→B＝a－b.(3)B→D＝b－a.(4)C→A＝－a－b.
若 O、E、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是
( B)
A.E→F＝O→F＋O→E
B.E→F＝O→F－O→E
C.E→F＝－O→F＋O→E D.E→F＝－O→F－O→E
解析：由向量的运算法则得E→F＝E→O＋O→F＝O→F－O→E.故选 B.
类型四
向量和与差的模
【例 4】 若|O→A|＝8，|O→B|＝5，则|A→B|的取值范围是( C )
如图所示，已知 O 为平行四边形 ABCD 内一点，O→A＝a，O→B ＝b，O→C＝c，则O→D＝___a_－__b_＋__c_____ (用 a，b，c 表示)．
解析：由题意，在平行四边形 ABCD 中， 因为O→A＝a，O→B＝b， 所以B→A＝O→A－O→B＝a－b， 所以C→D＝B→A＝a－b， 所以O→D＝O→C＋C→D＝a－b＋c.
|A→B＋A→C|＝|A→B－A→C|，则|A→M|＝( C )
A．8
B．4
C．2
D．1
解析：以A→B，A→C为邻边作平行四边形 ACDB，则由向量加、 减法的几何意义可知A→D＝A→B＋A→C，C→B＝A→B－A→C.因为|A→B＋A→C| ＝|A→B－A→C|，所以|A→D|＝|C→B|.
又四边形 ACDB 为平行四边形，所以四边形 ACDB 为矩形， 故 AC⊥AB.
C．4
D．5
解析：①②③⑤正确．
3．在△ABC 中，B→C＝a，C→A＝b，则A→B等于( B )
A．a＋b
B．－a－b
C．a－b
D．b－a
解析：A→B＝C→B－C→A＝－a－b.
二、填空题 4.A→B＋B→C－A→C＝__0___.
5．已知O→A＝a，O→B＝b，|O→A|＝5，|O→B|＝12，∠AOB＝90°， 那么|a－b|＝____1_3___.
解：因为A→D＝A→E＋E→D，A→D＝A→B＋B→C＋C→D，所以A→E＋E→D ＝A→B＋B→C＋C→D，即 b＋d＝a＋c＋C→D，所以C→D＝b＋d－a－c.
类型三
证明与向量有关的恒等式
【例 3】 如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 互相平分， 求证：四边形 ABCD 为平行四边形．(用向量的方法证明)
【错解分析】 ①处容易忽视利用几何图形的性质和相等向 量的定义，不能推出相等向量而导致推导无法进行；②处向量减 法的几何意义应用时字母顺序出错，则会导致错误．
【防范措施】 1.重视向量知识与平面几何知识的结合 利用平面几何中线线平行、线段相等可以推出向量共线，向 量相等等结论，为向量式的变形提供依据．如本例中，利用线段 中点及三角形中位线的性质可以推出A→D＝D→B等结论． 2．记准向量减法的几何意义 根据向量减法的几何意义作两个向量的差的基本步骤：作平 移，共始点，两尾连，指被减．本例中C→E－C→F＝F→E，B→D－B→E＝ E→D，一定要注意指向被减向量．
∵A→O＝O→C，O→B＝D→O，∴A→B＝D→C， ∴AB 与 DC 平行且相等， ∴四边形 ABCD 为平行四边形．
规律方法 利用向量解决平面几何问题的一般方法如下：利 用数形结合思想将平面几何问题转化为向量问题，通过向量的运 算来解决．解题的关键是利用向量的加法和减法的几何意义，观 察所涉及的向量在图形中的位置关系，运用平面几何的相关性质 来寻找它们之间的平行关系或者比例关系．若直接寻找向量间的 关系有困难，则应考虑作辅助线．