北师大版八年级数学下册教案1.1 第4课时 等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质附教学反思

第4课时等边三角形的判定及含30°角的直角三角
形的性质
1．学习并掌握等边三角形的判定方法，能够运用等边三角形的性质和判定解决问题；(重点、难点) 2．理解并掌握含30°角直角三角形的性质，能灵活运用其解决有关问题．(难点)
一、情境导入
观察下面图形：
师：等腰三角形中有一种特殊的三角形，你知道是什么三角形吗？
生：等边三角形．
师：对，等边三角形具有和谐的对称美．今天我们来学习等边三角形，引出课题．
二、合作探究
探究点一：等边三角形的判定
【类型一】三边都相等的三角形是等边三角形
已知a，b，c是△ABC的三边，且满足关系式a2＋c2＝2ab＋2bc－2b2，试说明△ABC是等边三角形．
解析：把已知的关系式化为两个完全平方的和等于0的形式求解．
解：移项得a2＋c2－2ab－2bc＋2b2＝0，
∴a2＋b2－2ab＋c2－2bc＋b2＝0，
∴(a－b)2＋(b－c)2＝0，
∴a－b＝0且b－c＝0，即a＝b且b＝c，
∴a＝b＝c.
故△ABC是等边三角形．
方法总结：(1)几个非负数的和为零，那么每一个非负数都等于零；(2)有两边相等的三角形是等腰三角形，三边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
【类型二】三个角都是60
°的三角形是等边三
角形
如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的
平分线相交于点O ，且OD ∥AB ，OE ∥AC .试判定△ODE 的形状，并说明你的理由．
解析：根据平行线的性质及等边三角形的性质可
得∠ODE ＝∠OED ＝60°，再根据三角形内角和定理得∠DOE ＝60°，从而可得△ODE 是等边三角形．
解：△ODE 是等边三角形，
理由如下：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°.
∵OD ∥AB ，OE ∥AC ，∴∠ODE ＝∠ABC ＝60°，∠OED ＝∠ACB ＝60°.
∴∠DOE ＝180°－∠ODE －∠OED ＝180°－60°－60°＝60°.
∴∠DOE ＝∠ODE ＝∠OED ＝60°.
∴△ODE 是等边三角形．
方法总结：证明一个三角形是等边三角形时，如果较易求出角的度数，那么就可以分别求出这个三角形的三个角都等于60°，从而判定这个三角形是等边三角形．
【类型三】 有一个角是60°的等腰三角形是等
边三角形
如图，在△EBD 中，EB ＝ED ，点C 在BD 上，
CE ＝CD ，BE ⊥CE ，A 是CE 延长线上一点，AB ＝BC .试判断△ABC 的形状，并证明你的结论．
解析：由于EB ＝ED ，CE ＝CD ，根据等边对等角
及三角形外角性质，可求得∠CBE ＝12∠ECB .再由
BE ⊥CE ，根据三角形内角和定理，可求得∠ECB ＝60°.又∵AB ＝BC ，从而得出△ABC 是等边三角形．
解：△ABC 是等边三角形．
理由如下：∵CE ＝CD ，∴∠CED ＝∠D .
又∵∠ECB ＝∠CED ＋∠D .∴∠ECB ＝2∠D .
∵BE ＝DE ，∴∠CBE ＝∠D .∴∠ECB ＝2∠CBE .
∴∠CBE ＝12∠ECB .
∵BE ⊥CE ，∴∠CEB ＝90°.
又∵∠ECB ＋∠CBE ＋∠CEB ＝180°，∴∠ECB ＋12∠ECB ＋90°＝180°，∴∠ECB ＝60°.
又∵AB ＝BC ，∴△ABC 是等边三角形．
方法总结：(1)已知一个三角形中两边相等，要证明这个三角形是等边三角形，有两种思考方法：①证
明另一边也与这两边相等；②证明这个三角形中有一个角等于60°.(2)已知一个三角形中有一个角等于60°，要证明这个三角形是等边三角形，有两种思考方法：①证明另外两个角也等于60°；②证明这个三角形中有两边相等．
探究点二：含30°角的直角三角形的性质
【类型一】 利用含30°角的直角三角形的性质
求线段长
如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B
＝30°，CD 是斜边AB 上的高，AD ＝3cm ，则AB 的长度是( )
A ．3cm
B ．6cm
C ．9cm
D ．12cm
解析：在Rt △ABC 中，∵CD 是斜边AB 上的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠ACD ＝∠B ＝30°.在Rt △ACD 中，AC ＝2AD ＝6cm ，在Rt △ABC 中，AB ＝2AC ＝12cm.∴AB 的长度是12cm.故选D.
方法总结：运用含30°角的直角三角形的性质求。