数列前n项和的求法例题

数列求和的基本方法和技巧
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=
2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)
1(11)1()1(111
q q q a a q
q a q na S n n
n
3、 )1(21
1
+==∑=n n k S n
k n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n
k n
5、 21
3
)]1(21[+==
∑=n n k S n
k n [例1] 已知3
log 1log 23-=
x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n
x x x x 32的前n 项和. 解：由2
1
2log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=
x x x
由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）
＝x
x x n
--1)1(＝
2
11)
21
1(21--n ＝1－n 21
[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1
)32()(++=
n n
S n S n f 的最大值.
解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2
1
1++=+n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=
n n
S n S n f ＝64
342++n n n
＝
n
n 64341+
+＝
50
)8(12+-
n
n 50
1≤
∴ 当 8
8
-
n ，即n ＝8时，501)(max =n f
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.
[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①
解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1
-n x
}的通项之积
设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x
x x S x )12(1121)1(1
----⋅
+=-- ∴ 2
1)
1()
1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列
⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2
2,,26,24,2232n n
前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21
}的通项之积
设n n n
S 2
226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①
14322
226242221++⋅⋅⋅+++=n n n
S ………………………………② （设制错位） ①－②得14322
22222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n n
S （错位相减）
1122212+---=n n n
∴ 12
2
4-+-=n n n S
练习：
求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1 解：S n =1+5x+9x 2+······+(4n-3)x n-1 ① ①两边同乘以x ，得 x S n =x+5 x 2+9x 3+······+(4n-3)x n ② ①-②得，（1-x ）S n =1+4（x+ x 2+x 3+······+
n x ）-（4n-3）x n
当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n
当x ≠1时，S n = 1 1-x [ 4x(1-x n ) 1-x +1-（4n-3）x n ]
这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.
[例5] 求
89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2
2
2
2
2++⋅⋅⋅+++的值
解：设
89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2
2
2
2
2
++⋅⋅⋅+++=S …………. ①
将①式右边反序得
1s i n 2s i n 3s i n 88sin 89sin 2
2
2
2
2
+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x
①+②得 （反序相加）
)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89
∴ S ＝44.5
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n 项和：231
,,71,41,
1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231
()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n a
a a S n n
将其每一项拆开再重新组合得
)23741()1
111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++
=-n a
a a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(n
n + （分组求和）
当1≠a 时，2)13(1111n n a
a S n
n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+---
[例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.
解：设k k k k k k a k ++=++=2
3
32)12)(1( ∴ ∑=++=
n k n k k k S 1
)12)(1(＝)32(23
1
k k k
n
k ++∑=
将其每一项拆开再重新组合得
S n ＝k k k n
k n k n
k ∑∑∑
===++1
2
1
3
1
32
（分组）
＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++
＝2)
1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和） ＝2
)
2()1(2++n n n
练习：求数列∙∙∙+∙∙∙),21
(,,81
3,41
2,21
1n n 的前n 项和。

解： n n n n n n n n S 2
1
1)1(21)
2
1
212121()321()
2
1
(81341221132-++=+∙∙∙+++++∙∙∙+++=++∙∙∙+++= 五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1）)()1(n f n f a n -+= （2）
n n n n tan )1tan()
1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)1
21
121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n
（5）])
2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=
n n n n n n n a n
(6) n
n
n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(1
1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=
-则 [例9] 求数列
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,1
1,
,321,
2
11n n 的前n 项和.
解：设n n n n a n -+=++=
111 （裂项）
则 1
13
212
11+++⋅⋅⋅+++
+=
n n S n （裂项求和）
＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n [例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=
n n n n a n ，又1
2+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 解： ∵ 211211n n n n n a n =++⋅⋅⋅++++=
∴ )11
1(82
122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）
∴ 数列{b n }的前n 项和
)]1
11(
)4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和） ＝)1
1
1(8+-
n ＝ 1
8+n n
[例11] 求证：
1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++
解：设
89cos 88cos 1
2cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=
S
∵
n n n n tan )1tan()
1cos(cos 1sin -+=+ （裂项） ∴
89cos 88cos 1
2cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=
S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1
sin 1
-+-+-+- ＝
)0tan 89(tan 1sin 1 -＝
1cot 1sin 1⋅＝ 1
sin 1cos 2 ∴ 原等式成立
练习：求 1
3， 1
1 5， 1
3 5， 1
63之和。

解：9
4)911(21)9171()7151()5131()311(21)9171(21)7151(21)5131(21)311(21971
75153131163135115131=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-+-=-+-+-+-=⨯+
⨯+⨯+⨯=+++
六、合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .
[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°
∵ )180cos(cos n n --= （找特殊性质项）
∴S n ＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···
+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）
＝ 0
[例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002. 解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++
由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得
,2,3,1654-=-=-=a a a
,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a
……
2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a
∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性质项） ∴ S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++ （合并求和） ＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a
2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+
＝2002200120001999a a a a +++ ＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5
[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.
解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=
由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =⇒+=+ （找特殊性质项） 和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得
)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++= （合并求和）
＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅ ＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++ ＝10
七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.
[例15] 求
1
1111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 解：由于)110(9199999111111
1
-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅k
k k
个个 （找通项及特征） ∴ 1
1111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ ＝
)110(9
1
)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n （分组求和） ＝
)1111(91)10101010(911
321 个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++ ＝9
110)110(1091n
n ---⋅
＝
)91010(81
1
1n n --+
[例16] 已知数列{a n }：∑∞
=+-+++=1
1))(1(,)3)(1(8
n n n n a a n n n a 求的值.
解：∵ ])
4)(2(1
)3)(1(1)[
1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n （找通项及特征）
＝])
4)(3(1
)4)(2(1[
8+++++⋅n n n n （设制分组）
＝)4
1
31(8)4121(
4+-+++-+⋅n n n n （裂项）
∴ ∑∑∑∞=∞
=∞
=++-+++-+=-+1111)41
3
1(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n （分组、裂项求和）
＝4
18)4131(4⋅
++⋅ ＝3
13。