四川省简阳市高一数学下学期期末考试试题 理

2016—2017学年度第二学期期末教学质量检测试题
高一年级（下） 数学（理）
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。

1、如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( )
A.1a <1b B ．ab <b 2 C ．－ab <－a 2 D ．－1a <－1b
2、已知{}n a 为等比数列，且,6
131π
=
a a 则)tan(122a a 的值为（ ）
A 、
3
3
B 、-3
C 、3±
D 、33-
3、若x ，y 满足20
30x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
，则2x y +的最大值为（ ） A.0 B.3 C.4 D.5 4、设α，β为锐角，且sin α＝
55，cos β＝10
103，则α＋β的值为( ) A 、34π B 、54π C 、4π D 、4
34π
π或 5、已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( ) A.16 B.36 C.13 D.33 6、已知cos α＝13，α∈(ππ2,23)，则cos α2等于( )
A.
63 B ．－63 C.33 D ．－3
3
7、设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n B ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，，则m ∥n C ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥β D ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β 8．两直线023=--y ax 和015)12(=-+-ay x a 分别过定点B A 、，则AB 等于( )
A.
895 B.175 C.135 D.11
5
9．三棱锥P －ABC 三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为22、32、6
2
，则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A ．4π
B ．6π
C ．8π
D ．10π
10、把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，形成三棱锥C －ABD 的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为( )
A.12
B.22
C.14
D.24 11、已知数列{a n }满足：a 1＝1，2
21+=+n n n a a a (n ∈N *
)，则数列{a n }的通项公式为( ) A 、12+=
n a n B 、11-=n a n C 、1+=n n a n D 、1
1+=n a n 12、设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y
＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y
的最大值为( ) A ．2 B.32 C ．1 D.1
2
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在题中横线上。

13、已知不等式x 2
－2x ＋k 2
－1>0对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围为______________． 14、在△ABC 中，A ＝60°，c b ,是方程0232=+-x x 的两个实根，则边BC 上的高为 。

15、如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设
三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.
16、设数列{a n }，若a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *
)，则称数列{a n }为“凸数列”，已知
数列{b n }为“凸数列”，且b 1＝2，b 2＝－1，其前n 项和为n s ，则
=2017s ________．
三、解答题：本大题共6个小题，共70分。

解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题10分）
（1）已知点A(－1，－2)和B(－3,6)，直线l 经过点P(1，－5)．且与直线AB 平行，求直线l 的方程
(2)求垂直于直线053=-+y x ，且与点)0,1(-P 的距离是5
10
3的直线m 的方程。

18、（本小题12分）
已知函数R x x x x x f ∈++=,1cos sin 3cos )(2
（1）求)(x f 的最小正周期和最值
（2）设α是第一象限角，且,1021)62(=+π
αf 求
)
22cos()4sin(αππ
α++
的值。

19、（本小题12分）
如图，梯形ABEF 中，,,//AF AB BE AF ⊥且22=====CE DF AD BC AB ，沿DC 将梯形
DCFE 折起，使得平面DCFE ⊥平面ABCD .
(1)证明：BEF AC 平面//； (2)求三棱锥BEF D -的体积；
（3）求直线所求的角与平面BDF AF 。

20、（本小题12分）
在C B A ABC 、、中，内角∆对应的边分别为)(,,c b a c b a ≤≤, 且A a B c C b sin 2cos cos =+,
(1)求角A,
（2）求证：;)32(2
bc a -≥
（3）若b a =，且BC 边上的中线AM 长为7，求ABC ∆的面积。

21、（本小题12分）
某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费，对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q （万件）与广告费x(万件)之间的函数关系为)0(2
3>-=
x x
x Q ，已知生产此产品的年固定投入为3万
元，每年产1万件此产品仍需要投入32万元，若年销售额为%50%150)332(⋅+⋅+x Q ，而当年产销量相等。

（1）试将年利润P （万件）表示为年广告费x(万元)的函数； （2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？
22、设（本小题12分）
数列{}n a 的前n 项和为n S ，,,12211*
++∈+-=N n a S n n n 且32,1,5a a a +成等差数列。

（1） 证明⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧+12n
n a 为等比数列，并求数列{}n a 的通项； （2） 设)2(log 3n
n n a b +=，且1
4332211
........111+++++=
n n n b b b b b b b b T ，证明1<n T 。

（3）在（2）小问的条件下，若对任意的*n ∈N ，不等式06)2()1(<-+-+n n b n n b λ恒成立，试求实数λ的取值范围.
2016—2017学年度第二学期期末教学质量检测试题
高一年级数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分 1—5.DACCB 6—10.BDCBC 11—12AC
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13. (－∞，－2)∪(2，＋∞) 14.1 15. 1∶24 16.2 三、解答题：本大题共6个小题，共70分 17、解：（1）,
4-=AB k 直线l 又过点P(1，－5)， 则
直
线
l
的方程为：
014=++y x .........................................................................
...........5分
（2）由已知条件可得3=m k ，则设直线m 的方程为b x y +=3，
又与点)0,1(-P 的距离是510
3，则510310
3=+-b ，
得到3-9或=b ，………………………………………………………………………8分
033093=--=+-∴y x y x m 或的方程为直线…………………………………..10分
18、解：(1)12sin 2
3212cos )(+++=
x x x f ……………………………………………..2分 2
3
2sin 232cos 21++=
x x 2
3
)62sin(+
+
=π
x …………………………………………………………………………..4分
)(x f 函数∴的最小正周期是π，最大值为25，最小值为2
1
…………………………..6分
（2）,1021
)62(=
+παf 则1021236)6
2(
2sin =+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππ
α
则5
3)2sin(=+
π
α
即53
cos =
α………………………………………………………………………………….8分 又α为第一象限的角 则5
4sin =
α ααααππ
α2cos )
cos (sin 22
)22cos()
4sin(+=
++
…………………………………………………..10分 =αααααsin cos 22
sin cos )
cos (sin 222
2-=-+x
2
2
5-
=……………………………………………………………………………………..12分 19、(1)证明 如图，取BF 的中点M ，设AC 与BD 交点为O ，连接ME MO ,.
由题设知，DF MO DF CE 2
1,21
////
==，
∴MO CE //
=，故四边形OCEM 为平行四边形，
,//CO EM ∴即AC EM //.
又BEF AC 平面⊄,BEF EM 平面⊂，
∴BEF AC 平面//.........................................................4分 (2)解 ∵平面CDFE ⊥平面ABCD ，平面CDFE ∩平面ABCD ＝DC ，BC ⊥DC ， ∴BC ⊥平面DEF . ∴三棱锥BEF D -的体积为
3
4
222213131=⨯⨯⨯⨯=⋅==∆--BC S V V DEF DEF B BEF D ........................8分
（3）∵平面CDFE ⊥平面ABCD ，平面CDFE ∩平面ABCD ＝DC ，又CD FD ⊥
,ABCD FD 平面⊥ 又ABCD AC 平面⊂,
DF AC ⊥∴
又在正方形ABCD 中
D DF BD BD AC =⋂⊥, BDF AC 平面⊥
连结FO ,,AFO BDF AF ∠所成角为与平面
，又2===DF AD AB
33
6
2tan 62=
==
∠==FO AO AFO FO AO ，， 6
π
=
∠AFO
6
π
所成角为与平面BDF AF ..........................................12分
20、解：（1）A a B c C b sin 2cos cos =+ ，A B C C B 2
sin 2cos sin cos sin =+∴, 即A A A C B 2
2
sin 2sin ,sin 2)sin(==+即
2
1
sin =
∴A 又c b a ≤≤ ，3
0π
≤
<∴A ，6
π
=
∴A ………………………………………….4分
（2）A bc c b a cos 22
2
2
-+=……………………………………………………….5分 则bc bc bc c b a 3232
2
2
-≥-+=
bc a )32(2-≥∴ …………………………………………………………………….8分
（3）由b a =及（1），知6
π
=
=B A
3
2π
=
∴C 在AMC ∆中，由余弦定理2
2
2
cos 2AM C MC AC MC AC =⋅-+ 得22
2
)7(3
2cos 22)2
(=⋅⋅
-+πa a a a ，解得2=a ………………………………11分 33
2sin 212==∴∆πa S ABC
………………………………………………………….12分 21、解：（1）x Q x Q P -+-⋅+⋅+=)332(%50%150)332(……………………..3分
)0(5.49322>+--=x x
x ……………………………………………………………6分
（2）5.415.49425.49)32
2(=+⨯-≤++-=x x P ，……………………………….10分 当且仅当x
x 32
2=时，即8=x 时，P 有最大值41.5万元。

答：当年广告费投入8万元时，企业年利润最大，最大值为41.5万元………………12分
22、解：（1）在*
++∈+-=N n a S n n n ,12211中
令1=n ，得,1222
21+-=a S 即3212+=a a ，①
令2=n ，得,1223
32+-=a S 即13613+=a a ，②
又312)5(2a a a +=+，③
则由①②③解得11=a ，52=a ……………………………………………………….2分
当2≥n 时，由⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=-++1
2212211
1n
n n n n n a S a S ，得到,221n
n n n a a a --=+
则
)12(2312
1
1+=+++n n
n n a a 又52=a ，则
)12(231211
2
2+=+a a
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+∴12n
n a 数列是以23为首项，23为公比的等比数列， 1)23(2312
-⨯=+∴
n n
n a ，即n
n n a 23-=...................................6分 （2）)2(log 3n n n a b += ，则n b n
n ==3log 3
则1
11..........313121211)1(1........431321211+-+-+-+-=+⨯++⨯+⨯+⨯=
n n n n T n 1
1
1+-
=n 1<∴n T ................................................................8分
（3）当06)2()1(<-+-+n n b n n b λ恒成立时，即2(1)
(12)60n n λλ-+--<（*n ∈N ）恒成立.....................................................................9分 设2()(1)(12)6f n n n λλ=-+--（*n ∈N ），
当1λ=时，()60f n n =--<恒成立，则1λ=满足条件； 当1λ<时，由二次函数性质知不恒成立； 当1λ>时，由于对称轴x =
1201λ
λ
--
<-，则()f n 在[1,)+∞上单调递减， ()(1)340f n f λ≤=--<恒成立，则1λ>满足条件，
综上所述，实数λ的取值范围是[1,)+∞........................................12分。