嘉祥县高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学

嘉祥县高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________ 一、选择题
1．若函数
1,0,
()
(2),0,
x x
f x
f x x
+≥
⎧
=⎨
+<
⎩
则(3)
f-的值为（）
A．5 B．1-C．7-D．2
2．若偶函数y=f（x），x∈R，满足f（x+2）=﹣f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=1﹣x，则方程f（x）=log8|x|在[﹣10，10]内的根的个数为（）
A．12 B．10 C．9 D．8
3．已知双曲线C 的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，且双曲线C过点P（﹣2，0），则双曲线C的渐近线方程是（）
A．y=±x B．y=±C．xy=±2x D．y=±x
4．已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点M（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）
A．3 B．C．D．
5．与命题“若x∈A，则y∉A”等价的命题是（）
A．若x∉A，则y∉A B．若y∉A，则x∈A C．若x∉A，则y∈A D．若y∈A，则x∉A
6．若函数是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，2）B．C．（0，2）D．
7．等比数列{a n}中，a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，则a6=（）
A．3 B．C．±D．以上皆非
8．若，，且，则λ与μ的值分别为（）
A．B．5，2 C．D．﹣5，﹣2
9．在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺，
末一日织一尺，计织三十日”，由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的（）A．33% B．49% C．62% D．88%
10．四棱锥的八条棱代表8种不同的化工产品，由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（ ）
A ．96
B ．48
C ．24
D ．0
11．已知,A B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大
值为O 的体积为（ ）
A ．81π
B ．128π
C ．144π
D ．288π
【命题意图】本题考查棱锥、球的体积、球的性质，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．
12．命题“∀a ∈R ，函数y=π”是增函数的否定是（ ）
A ．“∀a ∈R ，函数y=π”是减函数
B ．“∀a ∈R ，函数y=π”不是增函数
C ．“∃a ∈R ，函数y=π”不是增函数
D ．“∃a ∈R ，函数y=π”是减函数
二、填空题
13．已知函数f （x ）=（2x+1）e x ，f ′（x ）为f （x ）的导函数，则f ′（0）的值为 ．
14．在等差数列{a n }中，a 1=7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n=8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为 ．
15．下列四个命题：
①两个相交平面有不在同一直线上的三个公交点 ②经过空间任意三点有且只有一个平面 ③过两平行直线有且只有一个平面 ④在空间两两相交的三条直线必共面
其中正确命题的序号是 ． 16．设集合A={x|x+m ≥0}，B={x|﹣2＜x ＜4}，全集U=R ，且（∁U A ）∩B=∅，求实数m 的取值范围为 ． 17．已知奇函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，且在定义域上单调递减，则满足不等式f （1﹣m ）+f （1﹣2m ）＜0的实数m 的取值范围是 ．
18．数列{a n }是等差数列，a 4=7，S 7= ．
三、解答题
19．已知直线l ：x ﹣y+9=0，椭圆E ：
+
=1，
（1）过点M （，）且被M 点平分的弦所在直线的方程；
（2）P 是椭圆E 上的一点，F 1、F 2是椭圆E 的两个焦点，当P 在何位置时，∠F 1PF 2最大，并说明理由；
（3）求与椭圆E 有公共焦点，与直线l 有公共点，且长轴长最小的椭圆方程．
20．已知直线l 1：（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C 1：
ρ2﹣2
ρcos θ﹣4ρsin θ+6=0．
（1）求圆C 1的直角坐标方程，直线l 1的极坐标方程； （2）设l 1与C 1的交点为M ，N ，求△C 1MN 的面积．
21．（本小题满分12分）已知等差数列｛n a ｝满足：n n a a >+1（*
∈N n ），11=a ，该数列的 前三项分别加上1，1，3后成等比数列，且1log 22-=+n n b a . （1）求数列｛n a ｝，｛n b ｝的通项公式； （2）求数列｛n n b a ⋅｝的前项和n T .
22．（本小题满分12分）
设0
3πα⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭，αα=
（1）求cos 6πα⎛
⎫+ ⎪⎝⎭的值；
（2）求cos 212πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值．
23．如图，菱形ABCD 的边长为2，现将△ACD 沿对角线AC 折起至△ACP 位置，并使平面PAC ⊥平面
ABC ．
（Ⅰ）求证：AC ⊥PB ；
（Ⅱ）在菱形ABCD 中，若∠ABC=60°，求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值； （Ⅲ）求四面体PABC 体积的最大值．
24．如图，正方形ABCD 中，以D 为圆心、DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆O 交于点F ，连接CF 并延长交AB 于点E ．
（Ⅰ）求证：AE=EB；
（Ⅱ）若EF•FC=，求正方形ABCD的面积．
嘉祥县高中2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D111] 【解析】
试题分析：()()()311112f f f -=-==+=. 考点：分段函数求值． 2． 【答案】D
【解析】解：∵函数y=f （x ）为 偶函数，且满足f （x+2）=﹣f （x ）， ∴f （x+4）=f （x+2+2）=﹣f （x+2）=f （x ）， ∴偶函数y=f （x ） 为周期为4的函数， 由x ∈[0，2]时，
f （x ）=1﹣x ，可作出函数f （x ）在[﹣10，10]的图象，
同时作出函数f （x ）=log 8|x|在[﹣10，10]的图象，交点个数即为所求． 数形结合可得交点个为8， 故选：D ．
3． 【答案】A
【解析】解：抛物线y 2
=8
x 的焦点（2，0），
双曲线C 的一个焦点与抛物线y 2
=8
x 的焦点相同，c=2
，
双曲线C 过点P （﹣2，0），可得a=2，所以b=2．
双曲线C 的渐近线方程是y=±x ．
故选：A ．
【点评】本题考查双曲线方程的应用，抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查．
4．【答案】B
【解析】解：依题设P在抛物线准线的投影为P′，抛物线的焦点为F，
则F（，0），
依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|=|PF|，
则点P到点M（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和，
d=|PF|+|PM|≥|MF|==．
即有当M，P，F三点共线时，取得最小值，为．
故选：B．
【点评】本题主要考查抛物线的定义解题，考查了抛物线的应用，考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．
5．【答案】D
【解析】解：由命题和其逆否命题等价，所以根据原命题写出其逆否命题即可．
与命题“若x∈A，则y∉A”等价的命题是若y∈A，则x∉A．
故选D．
6．【答案】B
【解析】解：∵函数是R上的单调减函数，
∴
∴
故选B
【点评】本题主要考查分段函数的单调性问题，要注意不连续的情况．
7．【答案】C
【解析】解：∵a3，a9是方程3x2﹣11x+9=0的两个根，
∴a3a9=3，
又数列{a n }是等比数列，
则a
62
=a 3a 9=3，即a 6=±
．
故选C
8． 【答案】A
【解析】解：由，得
．
又，，
∴，解得．
故选：A ．
【点评】本题考查了平行向量与共线向量，考查向量的性质，大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化，该题是基础题．
9． 【答案】B 【
解
析
】
10．【答案】
B
【解析】
排列、组合的实际应用；空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】首先分析题目已知由公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，求安全存放的不同方法的种数．首先需要把四棱锥个顶点设出来，然后分析到四棱锥没有公共点的8条棱分4组，只有2种情况．然后求出即可得到答案．
【解答】解：8种化工产品分4组，设四棱锥的顶点是P ，底面四边形的个顶点为A 、B 、C 、D ．
分析得到四棱锥没有公共点的8条棱分4组，只有2种情况，
（PA 、DC ；PB 、AD ；PC 、AB ；PD 、BC ）或（PA 、BC ；PD 、AB ；PC 、AD ；PB 、DC ）
那么安全存放的不同方法种数为2A 44
=48．
故选B ．
【点评】此题主要考查排列组合在实际中的应用，其中涉及到空间直线与直线之间的位置关系的判断，把空间几何与概率问题联系在一起有一定的综合性且非常新颖． 11．【答案】D
【解析】当OC ⊥平面AOB 平面时，三棱锥O ABC -的体积最大，且此时OC 为球的半径．设球的半径为R ，
则由题意，得211sin 6032R R ⨯⨯︒⋅=6R =，所以球的体积为34
2883
R π=π，故选D ． 12．【答案】C
【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀a ∈R ，函数y=π”是增函数的否定是：“∃a ∈R ，函数y=π”不是增函数． 故选：C ．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．
二、填空题
13．【答案】 3 ．
【解析】解：∵f （x ）=（2x+1）e x
，
∴f ′（x ）=2e x +（2x+1）e x
， ∴f ′（0）=2e 0+（2×0+1）e 0
=2+1=3．
故答案为：3．
14．【答案】 （﹣1，﹣） ．
【解析】解：∵S n =7n+，当且仅当n=8时S n 取得最大值，
∴
，即
，解得：
，
综上：d 的取值范围为（﹣1，﹣）．
【点评】本题主要考查等差数列的前n 项和公式，解不等式方程组，属于中档题．
15．【答案】 ③ ．
【解析】解：①两个相交平面的公交点一定在平面的交线上，故错误；
②经过空间不共线三点有且只有一个平面，故错误；
③过两平行直线有且只有一个平面，正确；
④在空间两两相交交点不重合的三条直线必共面，三线共点时，三线可能不共面，故错误，
故正确命题的序号是③，
故答案为：③
16．【答案】m≥2．
【解析】解：集合A={x|x+m≥0}={x|x≥﹣m}，全集U=R，所以C U A={x|x＜﹣m}，
又B={x|﹣2＜x＜4}，且（∁U A）∩B=∅，所以有﹣m≤﹣2，所以m≥2．
故答案为m≥2．
17．【答案】[﹣，]．
【解析】解：∵函数奇函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，且在定义域上单调递减，
∴不等式f（1﹣m）+f（1﹣2m）＜0等价为f（1﹣m）＜﹣f（1﹣2m）=f（2m﹣1），
即，即，得﹣≤m≤，
故答案为：[﹣，]
【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性将不等式进行转化是解决本题的关键．注意定义域的限制．
18．【答案】49
【解析】解：
=
=7a4
=49．
故答案：49．
【点评】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）设以点M （，）为中点的弦的端点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
∴x 1+x 2=1，y 1+y 2=1，
把A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）代入椭圆E ：
+
=1，
得，∴k AB =
=﹣=﹣，
∴直线AB 的方程为y ﹣=﹣（x ﹣），即2x+8y ﹣5=0．
（2）设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 1，
则cos ∠F 1PF 2==
﹣1=
﹣1=﹣1，
又r 1r 2≤（
）2=a 2
（当且仅当r 1=r 2时取等号）
∴当r 1=r 2=a ，即P （0，）时，cos ∠F 1PF 2最小，
又∠F 1PF 2∈（0，π），∴当P 为短轴端点时，∠F 1PF 2最大．
（3）∵
=12，
=3，∴
=9．
则由题意，设所求的椭圆方程为
+
=1（a 2＞9），
将y=x+9代入上述椭圆方程，消去y ，得（2a 2﹣9）x 2+18a 2x+90a 2﹣a 4
=0，
依题意△=（18a 2）2﹣4（2a 2﹣9）（90a 2﹣a 4
）≥0， 化简得（a 2﹣45）（a 2
﹣9）≥0，
∵a 2﹣9＞0，∴a 2
≥45，
故所求的椭圆方程为=1．
【点评】本题考查直线方程、椭圆方程的求法，考查当P 在何位置时，∠F 1PF 2最大的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、余弦定理、椭圆性质的合理运用．
20．【答案】
【解析】解：（1）∵，将其代入C 1得：
，
∴圆C 1的直角坐标方程为：． 由直线l 1：
（t 为参数），消去参数可得：y=
x ，可得
（ρ∈R ）．
∴直线l 1的极坐标方程为：（ρ∈R ）．
（2），可得
⇒，
∴
．
【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．【答案】（1）12-=n a n ,n
n b 21=；（2）n n
n T 23
23+-=. 【解析】
试题分析：（Ⅰ1）设d 为等差数列{}n a 的公差，且0>d ，利用数列的前三项分别加上3,1,1后成等比数列，
求出d ，然后求解n b ；（2）写出n
n n T 21
2...232321321-++++=
利用错位相减法求和即可． 试题解析：解：（1）设d 为等差数列{}n a 的公差，0>d ，
由11=a ，d a +=12，d a 213+=，分别加上3,1,1后成等比数列，]
所以)24(2)2(2
d d +=+ 0>d ，∴2=d
∴122)1(1-=⨯-+=n n a n
又1log 22--=n n b a ∴n b n -=2log ，即n
n b 21
=
（6分）
考点：数列的求和．
22．【答案】（1；（2．
【解析】
试题分析：（1αα=⇒
sin 6πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭03πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，⇒662πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，
⇒cos 6πα⎛⎫+=
⎪⎝
⎭；（2）由（1）可得21cos 22cos 1364ππαα⎛
⎫
⎛
⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⇒sin 23πα⎛⎫
+=
⎪⎝⎭
⇒cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 12343434πππππππαααα⎡⎤⎛
⎫
⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+
=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
=
试题解析：（1αα∴
sin 6πα⎛
⎫+= ⎪⎝⎭………………………………3分
∵03πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴662πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，∴cos 6πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭………………………………6分
（2）由（1）可得2
21
cos 22cos 121364ππαα⎛⎫⎛
⎫
+=+-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．………………………………8分
∵03πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴233ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，
，∴sin 23πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭．……………………………………10分 ∴cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 12343434πππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
=………………………………………………………………………………12分
考点：三角恒等变换．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）证明：取AC中点O，连接PO，BO，由于四边形ABCD为菱形，∴PA=PC，BA=BC，∴PO⊥AC，BO⊥AC，又PO∩BO=O，
∴AC⊥平面POB，又PB⊂平面POB，∴AC⊥PB．
（Ⅱ）∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PO⊂平面PAC，
PO⊥AC，∴PO⊥面ABC，∴OB，OC，OP两两垂直，
故以O为原点，以方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，∵∠ABC=60°，菱形ABCD 的边长为2，
∴，
，
设平面PBC的法向量，直线AB与平面PBC成角为θ，
∴，取x=1，则，于是，
∴，∴直线AB与平面PBC成角的正弦值为．
（Ⅲ）法一：
设∠ABC=∠APC=α，α∈（0，π），∴，，
又PO⊥平面ABC，∴=
（），
∴
，
∴，当且仅当，即时取等号，
∴四面体PABC体积的最大值为．
法二：设∠ABC=∠APC=α，α∈（0，π），
∴，，又PO⊥平面ABC，
∴=（），
设，则，且0＜t＜1，
∴，
∴当时，V'PABC＞0，当时，V'PABC＜0，
∴当时，V PABC取得最大值，∴四面体PABC体积的最大值为．
法三：设PO=x，则BO=x，，（0＜x＜2）
又PO⊥平面ABC，
∴，
∵，
当且仅当x2=8﹣2x2，即时取等号，∴四面体PABC体积的最大值为．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的求法，几何体的体积的最值的求法，考查转化思想以及空间思维能力的培养．
24．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）∵以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径半圆交于点F，
且四边形ABCD为正方形，
∴EA为圆D的切线，且EB是圆O的切线，
由切割线定理得EA2=EF•EC，
故AE=EB．
（Ⅱ）设正方形的边长为a，连结BF，
∵BC为圆O的直径，∴BF⊥EC，
在Rt△BCE中，由射影定理得EF•FC=BF2=，
∴BF==，解得a=2，
∴正方形ABCD的面积为4．
【点评】本题考查两线段相等的证明，考查正方形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．。