北师大版高中数学必修二第一学期高二年级期中考试(理科甲卷)

南昌市2014—2015学年度上学期期中检测
高二理科数学(甲)
命题人：南昌二中周启新
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共21小题，共150分.共4页，考试时间120分钟，考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.
注意事项：
1、答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上.
2、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效.
3、请保持卡面清洁，不折叠、不破损.
第Ⅰ卷(选择题，共48分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

)
1．经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为3
4
，则y＝
A.－1
B.－3
C.0
D.2
2．直线2x－y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程为
A．x＋2y－1＝0B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－5＝0D．x＋2y－5＝0
3．若直线062=++y ax 和直线0)1()1(2
=-+++a y a a x 垂直，则a 的值为
A ．0或23- B.0或32-C ．0或32D ．0或2
3 4．已知直线l ：()10y m x ++=与直线(21)1my m x -+=平行，则直线l 在x 轴上的截
距是
A 、1
B 、－1 C
、2
D 、－2
5．若抛物线2
2y px =的焦点与双曲线13
22
=-y x 的右焦点重合，则p 的值为 A ．2-B ．2C ．4-D ．4
6.若圆的方程2
2
680x y x y +--=，设该圆过点（3,5）的最长弦和最短弦分别为AB ，CD ，则四边形ACBD 的面积为
A.
B.
C.
D.7．若双曲线2222x y 1a b
-=(a>0，b>0)的渐近线与圆(x －2)2+y 2
=1相切，则双曲线的离心率
为 A 、43
B
、3C 、2D
8．设变量x 、y 满足1,
0,220,x y x y x y +≥⎧⎪
-≥⎨⎪--≥⎩
则目标函数z=2x+y 的最小值为
A ．6
B ．4
C ．2
D ．
32
9.在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为 A ．cos 2ρθ=B ．sin 2ρθ=C ．4sin()3π
ρθ=+
D ．4sin()3
π
ρθ=- 10．若圆2
2
44100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=的距离为
,则直线l 的斜率的取值范围是
A.[2-
]B.22⎡⎣
D.[0,)+∞ 11．设圆(x ＋1)2＋y 2
＝25的圆心为C ，A(1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为
A ．2421x －2425y ＝1
B ．2421x ＋2425y ＝1
C ．2425x －2421y ＝1
D ．2425
x ＋2421y ＝1
12．设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是
A.⎝
⎛⎦⎥⎤233，2 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫233，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫233，＋∞
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．l 1，l 2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是_____ ___．
14．直线415
315x t y t
⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩
（
t 为参数）被曲线4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所截得的弦长
为 .
15．已知点P 是抛物线y 2
＝4x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是(4，a )，则当|a |>4时，|PA |＋|PM |的最小值是____ ____．
16．在平面直角坐标系xoy 中，已知点(3,0)P 在圆222
:24280
C x y mx y m +--+-=
内，动直线AB 过点P 且交圆C 于A ,B 两点，若ΔABC 的面积的最大值为16，则实数m 的取值范围为 。

三、解答题（本大题共6小题，共74分） 17．（本题满分12分）
设不等式组44330
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≥+≥y x y x x 表示的平面区域为D 。

（1）在直角坐标系中画出平面区域D ； （2）若直线3
4
+
=kx y 分平面区域D 为面积相等的两部分，求k 的值。

18.（本题满分12分）
已知抛物线的顶点为椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>的中心.两曲线的焦点在同一坐标轴上，
椭圆的长轴长为4.
抛物线与椭圆交于点2
(,33
M -，求抛物线方程与椭圆方程.
19.（本题满分12分）
设△ABC 的顶点(3,1)A -，内角B 的平分线所在直线方程为4100x y -+=，AB 边上的中线所在直线方程为610590x y +-=，求△ABC 面积. 20．（本题满分12分）
已知圆22
:414450C x y x y +--+=.
（1）若M 是圆C 上任意一点，点(2,3)Q -，求MQ 的最大值与最小值. （2）求2x y μ=-的最大值与最小值.
（3）求3
2
y x ν-=
+的最大值. 21．（本题满分12分）
已知点(0,2)A -，椭圆E ：22
221(0)x y a b a b +=>>的离心率为
3
2
，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为
23
3
，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；
(2)设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当O P Q ∆的面积最大时，求l 的方程. 22．（本小题满分14分）
如图，动点M 与两定点A (－1，0)，B (2，0)构成△MAB ，且∠MBA ＝2∠MAB ．设动点M 的轨迹为C ．
（1）求轨迹C 的方程；
（2）设直线y ＝－2x ＋m （其中m ＜2）与y 轴相交于点P ，与轨迹C 相交于点Q ，R ，且|PQ |＜|PR |，求|PR |
|PQ |的取值范围．
南昌市2014—2015学年度上学期期
中检测
高二理科数学(甲)参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B
C
A
B
D
B
B
C
A
B
D
A
第12题提示：如图，由双曲线的对称性知|OA 1|＝|OB 1|，|OA 2|＝|OB 2|，
∵|A 1B 1|＝|A 2B 2|，
∴|OA 1|＝|OB 1|＝|OA 2|＝|OB 2|， 不妨设双曲线的焦点在x 轴上． ∵有且只有一对相交于O ，所成角 为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，
∴33<b a ≤ 3.e ＝c a ＝1＋b 2
a
2， ∴
23
3
<e ≤2. 二、填空题（每小题4分，共16分）
13．x ＋2y －3＝014．2215．a 2
＋9－1提示：当x ＝4时，y 2＝4×4＝16，所以y ＝±
4，即|y |＝4，因为|a |>4，所以点A 在抛物线的外侧，延长PM 交直线x ＝－1于点N .由抛物线的定义可知|PN |＝|PM |＋1＝|PF |，当三点A ，P ，F 共线时，|PA |＋|PF |最小，此时为|PA |＋|PF |＝|AF |，又焦点坐标为F (1,0)，所以|AF |＝4－12
＋a 2
＝9＋a 2
，即|PM |
＋1＋|PA |的最小值为a 2＋9，所以|PM |＋|PA |的最小值为a 2
＋9－1.
16．(327,323][323,327)--++U 提示：设C 到直线AB 的距离为d ，
则ΔABC 的面积22
2
(32)32162
d d S d d -+=-⋅≤
=，当4d =时取等号，则4CP d ≥=，解得323m ≤-或323m ≥+；又点(3,0)P 在圆222
:24280C x y mx y m +--+-=内，
则2
6190m m --<，解得327327m -<<+。

故实数m 的取值范围为
(327,323][323,327)--++U
三、解答题（本大题共6小题，共75分） 16．解：（1）如图所示，区域D 为ΔABC 6分 （2）依题可知，直线3
4
+=kx y 恒过定点4(0,)3A ，………8分 因为分区域D 为面积相等的两部分，
则直线经过线段BC 的中点15
(,)22
M ，………10分
y
A B
C
所以547231
302
k -==-。

………………………12分 17．解:因为椭圆的焦点在x 轴上，且两曲线的焦点在同一坐标轴上，所以抛物线的焦点
也在x 轴上，可设抛物线的方程为)0(p 2
≠=p x y ………………2分
)362,32(-M Θ在抛物线上p 32)362(2=-∴4=∴p ………4分
∴抛物线的方程为x y 42=………6分
)362,32(-M Θ在椭圆上19249422=+∴b
a ①………9分
又2a =4②
由①②可得3,42
2
==b a ∴椭圆的方程是13
42
2=+y x ………12分 18.设AB 中点D(x 0,y 0)，则B （2x 0－3，2y 0+1）∵BD 分别在两已知直线上， ∵0000(23)4(21)10013
06105902--++=⎧=∴⎨
+-=⎩
x y B x y 得D(,2)（10，5）
，………4分 设A 关于∠B 平分线对称点A ’(m,n)则有143
31410022
m m m n +⎧
=-⎪⎪-⎨+-⎪-+=⎪⎩得A ’（1，7）……6分.
∵A ’在BC 上，∴BC 方程即BA ′方程为2x+9y-65=0， B 边上高h BC
=
8分 联立方程29650610590
x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得7
(,8)2C -……………………………………10分
∴|BC|=3
21
||512
ABC BC S BC h ∆=⋅=.………………………12分 19．(1)将圆方程配方知圆心(2,7)C ,
半径r =又
Q(-2,3)||QC '∴=…………………………………3分
由||||||QC MQ QC -≤+
得max ||MQ =
min ||MQ =…………6分
（2）因直线u ＝x -2y 与圆C 有公共点故
≤
1212
μ
≤≤ (9)
分
(3)
3
(,)(2,3)
2
y
V M x y A
r
-
-
+
＝的几何意义是圆上一点与连线斜率，
由于相切时V
取的最值易知
max
2
V=.………………………12分
20．解：(1)显然F是椭圆的右焦点，设(c,0)
F
由题意
2
A F
K
c
=c
∴1分
又离心率
c
a
=2
a=，1
b
∴=………………………3分
故椭圆E的方程为
2
21
4
x
y
+=……………………………………5分
(2)由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k,方程为2
y k x
=-
联立直线与椭圆方程：
2
21
4
2
x
y
y k x
⎧
+=
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，化简得：22
(14
k)1
61
20
x k
x
+-+=………6分22
3
16(4k3)0,k
4
∆=->∴>
Q……………………………………7分
设1122
(,),(,)
P xy Q xy，则
1212
22
1612
,
14
k
x x x x
k
+==
+
g………………………9分1
22
1
+
4
P
Q x
k
∴-g
坐标原点O到直线l 的距离为d=
22
1
21
+
41
+
4
O
P
Q
S l k
k k
∆
∴=+=
g g…………………10分令(0)
t t>，则
2
44
4
4
O P Q
t
S
t t
t
∆
==
++
4
4
t
t
+≥
Q（当且仅当
4
t
t
=即2
t=时等号成立）1
O P Q
S
∆
∴≤
故当2
t=2
=，k=±O P Q
∆的面积最大
从而直线l
的方程为2y =-……………………………………12分 21．解：（1）设M 的坐标为(x ，y )，显然有x ＞0，且y ≠0．
当∠MBA ＝90°时，点M 的坐标为(2，±3)．……………………………………2分 当∠MBA ≠90°时，x ≠2，由∠MBA ＝2∠MAB ，有
tan ∠MBA ＝2tan ∠MAB 1－tan 2
∠MAB ，即－|y |
x －2＝2
|y |x ＋11－(|y |x ＋1
)
2
， 化简可得，3x 2－y 2
－3＝0．
而点(2，±3)在曲线3x 2－y 2
－3＝0上，……………………………………………6分 综上可知，轨迹C 的方程为x 2
－y 2
3
＝1（x ＞1）．……………………………………7分
（2）由⎩
⎪⎨⎪
⎧
y ＝－2x ＋m ，x 2－y 2
3＝1．消去y 并整理，得x 2－4mx ＋m 2
＋3＝0．（*）……………9分
由题意，方程（*）有两根且均在(1，＋∞)内．设f (x )＝x 2
－4mx ＋m 2
＋3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
－－4m 2＞1，f (1)＝12
－4m ＋m 2
＋3＞0，△＝(－4m )2
－4(m 2
＋3)＞0．
解得m ＞1，且m ≠2．
∵m ＜2，∴1＜m ＜2．…………………………………………………11分 设Q ，R 的坐标分别为(x Q ，y Q )，(x R ，y R )，由|PQ |＜|PR |及方程（*）有 x R ＝2m ＋3(m 2－1)，x Q ＝2m －3(m 2－1)，
∴|PR ||PQ |＝x R x Q ＝2m ＋3(m 2
－1)2m －3(m 2－1)＝2＋3(1－1
m 2)2－3(1－1m 2)＝－1＋4
2－3(1－1
m
2)
． 由1＜m ＜2，得1＜－1＋
4
2－
3(1－1
m
2)
＜7． 故
|PR |
|PQ |
的取值范围是(1，7)．…………………………………………………14分。