江苏省江阴市山观高级中学高考数学一轮复习 复数 第2

第2课时复数的代数形式及其运算
1．复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行：
设
12
, (,,,)
z a bi z c di a b c d R
=+=+∈，则
(1)
2
1
z
z±＝；
(2)
2
1
z
z⋅＝；
(3)
2
1
z
z＝ (
≠
2
z ).
2．几个重要的结论：
⑴ )|
|
|
(|
2
|
|
|
|2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
z
z
z
z
z
z+
=
-
+
+
⑵ z
z⋅＝＝ .
⑶若z为虚数，则2|
|z＝()
2
z=≠
填或
3．运算律
⑴ n
m z
z⋅＝ .
⑵ n
m
z)
(＝ .
⑶ n
z
z)
(2
1
⋅＝)
,
(R
n
m∈.
例1．计算：
i
i
i
i
i
2
1
2
1
)
1(
)
1(
2005
40
40
+
+
-
+
+
-
-
+
解：提示：利用i
i i
i=
±
=
±2005
2,2
)
1(
原式＝0
变式训练1：
2
=
（A）1
-（B）
1
2
+（C）
1
2
-+（D）1-
21
2
===-+故选C；例2. 若0
1
2=
+
+z
z，求2006
2005
2003
2002z
z
z
z+
+
+
解：提示：利用z
z
z=
=4
3,1
原式＝2
)
1(4
3
2002-
=
+
+
+z
z
z
z
变式训练2：已知复数z满足z2＋1＝0，则（z6＋i）（z6－i）＝▲ ．
解：2
例3. 已知4,a a R >∈，问是否存在复数z ，使其满足ai z i z z +=+⋅32（a ∈R ），如果存在，求出z 的值，如果不存在，说明理由
解：提示：设),(R y x yi x z ∈+=利用复数相等的概念有⎩⎨⎧==++a
x y y x 23222 0034
22
2>∆⇒=-++⇒a y y i a a z a 216224||2-±-+=⇒≤⇒ 变式训练3：若(2)a i i b i -=+，其中i R b a ,,∈是虚数单位，则a ＋b ＝__________ 解：3
例4. 证明：在复数范围内，方程255||(1)(1)2i z i z i z i -+--+=
+（i 为虚数单位）无解． 证明：原方程化简为
2||(1)(1)1 3.z i z i z i +--+=-设yi x z += (x 、y∈R，代入上述方程得22221 3.x y xi yi i +--=-
221(1)223(2)
x y x y ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩ 将（2）代入（1），整理得281250.x x -+=160,()f x ∆=-<∴Q 方程无实数解，∴原方程在复数范围内无解.
变式训练4：已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a∈R, 若12z z -<1z ，求a 的取值范围.
解：由题意得 z 1＝151i i
-++＝2＋3i, 于是12z z -=42a i -+
,1z =13.
<13，得a 2－8a ＋7<0，1<a<7.
1．在复数代数形式的四则运算中，加减乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化，必须准确熟练地掌握.
2．记住一些常用的结果，如ω,i 的有关性质等可简化运算步骤提高运算速度.
3．复数的代数运算与实数有密切联系但又有区别，在运算中要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围内是否适用.。