经济数学 微分中值定理课件

f F
(b) (b)
f (a) F (a)
f F
' ( ' (
)成立. )
几何解释:
y
在曲线弧AB上至少有
X F(x)
C
Y f ( x)
M
B
一点C(F (), f ()), 在
该点处的切线平行于
A
N
D
弦AB.
o F(a) F(1)F(x)
F(2)F(b)
x
证 作辅助函数
(x ) f(x ) f(a ) f(b ) f(a )[F (x ) F (a )]. F (b ) F (a )
至少存 (在 x 在 0,x1之 一 )使 间 ,个 f得 ()0.
但 f(x )5 (x4 1 )0,(x (0,1))矛盾, 为唯一实根.
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理( 1 )如果函数f(x)在 闭区间[a,b]上连续(,2在 ) 开区间(a,b)内可导,那末在 (a,b)内至少有一点(ab)，使等式
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.
证 定义辅助函数
f1(x) f(0x,),
xa ,

F(x), xa
F1(x)
0,
, xa
在U0(a,)内任取一 x, 在 点以a与x为端点的区,间上
f1(x),F1(x)满足柯西中值定件理 , 的则条 有
f(b)f(a)f() F(b)F(a) F()
f(b)f(a)f(). ba
例4 设f函 (x )在 [0 数 ,1 ]上,连 在 (0 ,1 )内 续,可 证 :导 明
至少存 (0 ,1 )在 使 , f(一 )2 [点 f(1 )f(0 )]
证 分析: 结论可变形为
f(1)f(0)f()
( x)
常把这种极限称0为或 型未定式. 0
例如,
limtan x , ( 0 )
x0 x
0
lnsinax
lim
,( )
x0 lnsinbx
定理 设 (1) 当 x a时,函数 f ( x) 及 F ( x) 都趋于零; (2) 在 a 点的某去心邻域内, f ( x)及 F( x) 都存在 且 F( x) 0; (3) lim f ( x) 存在(或为无穷大); xa F ( x) 那末 lim f ( x) lim f ( x) . xa F ( x) xa F ( x)
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 x ) x ( 0 1 ) 也 y 可 f ( x 0 写 x ) x ( 0 成 1 ).
增量y的精确表达. 式 拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 微分中值定理 拉格朗日中值定理又称有限增量定理.
练习题
一 、填 空题 ： 1、 函 数 f (x) x 4在 区 间 [1,2]上 满 足 拉 格 朗 日 中 值 定 理 ， 则 ξ =_______. 2 、 设 f ( x ) ( x 1 )( x 2 )( x 3 )( x 4 ) ， 方 程 f ( x ) 0 有 ____________ 个 根 ， 它 们 分 别 在 区 间 _____________上 . 3、 罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是 _________________. 4、 微 分 中 值 定 理 精 确 地 表 达 函 数 在 一 个 区 间 上 的 _______与 函 数 在 这 区 间 内 某 点 处 的 _______之 间 的关系. 5、 如 果 函 数 f ( x )在 区 间 I 上 的 导 数 __________， 那 么 f (x)在 区 间 I 上 是 一 个 常 数 .
证 设 f(x )x 5 5 x 1 , 则f(x)在 [0,1]连,续
且 f(0 ) 1 ,f( 1 ) 3 . 由介值定理 x 0 ( 0 ,1 )使 ,f( x 0 ) 0 .即为方程的小于1的正实根. 设x 1 另 (0 ,1 )x 有 1 , x 0 ,使 f(x1)0.
f(x)在x0,x1之间满足罗尔件 定, 理的条
证明：
f (x xn
)
f ( n ) ( x ) ，（ 0 n!
1）.
七 、 设 f ( x )在 [a, b ] 内 上 连 续 ， 在 (a, b ) 内 可 导 ， 若
0 a b , 则 在 ( a , b ) 内 存 在 一点 ， 使
af (b ) bf (a ) [ f ( ) f ( )]( a b ) ] .
即 f()f(b)f(a)0 ba
拉格朗日中值公式
或 f ( b ) f ( a ) f ( )b ( a ).
注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
设 f(x )在 [a ,b ]上连 在 (a ,b 续 )内， ,可导
x0,x0 x (a,b)则 , 有
10
2
f (x) (x2 )
x .
设g(x)x2,
则f(x),g(x)在[0,1]上满足柯西中条 值件 ,定理的
在(0,1)内至少存在 ,有 一点
f(1)f(0)f()
10
2
即 f( ) 2 [f( 1 ) f( 0 )].
四、小结
罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间的关系；
Rolle f(a)f(b) Lagrange F(x)x Cauchy
物理解释:
yf(x)
2 b x
变速直线运动在 折返点处,瞬时速 度等于零.
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证 f(x)在 [a,b]连,续 必有最 M大 和值 最m 小 . 值
(1)若 Mm. 则f(x)M. 由此 f(x得 )0. (a,b), 都f有 ()0. (2)若 Mm . f(a)f(b), 最值不可能同时在取端得点 . 设 Mf(a),
二 、 试 证 明 对 函 数 y px 2 qx r 应 用 拉 氏 中 值 定 理
时 所 求 得 的 点 总 是 位 于 区 间 的 正 中 间 .
三 、 证 明 等 式 arcsin
( x (0,1) ) .
1 x 2 arctan
x 1 x2 2
四、设a b 0，n 1，证明
则(在 a,b)内至少存 使 f在 ()一 M . 点
f( x ) f( ), f( x ) f( ) 0 ,
若x0, 则f有 ( x)f()0; x
若x0, 则f有 ( x)f()0; x
f ( ) lx i 0m f( x x ) f( ) 0 ; f ( ) lx i 0m f( x x ) f( ) 0 ; f()存在 , f ( )f ( ). 只f有 ()0 .
f(b)f(a)f'()(ba) 成立.
注意 :与罗尔定理去 相掉 比f(了 a条 )f件 (b).中 结论亦 f(b)可 f(a)写 f( 成 ). ba
y 几何解释:
在曲线弧AB上至少有 一点C,在该点处的切 A
C
yf(x)
M
B
N
D
线平行于弦AB.
o a 1 x
2 b
x
证 分析: 条件中与罗尔定f理 (a)相 f差 (b).
f(x)f(x)f(a) f ( ) F(x) F(x)F(a) F ( )
(在x与a之间 )
当 x a 时 , a, limf(x) A,
xa F(x)
limf() A, a F()
f(x) f() lx iam F(x)l iam F()A.
如果f(x)仍属 0型，且 f(x),F(x)满足 F(x) 0
定理
中值定理
中值定理
注意定理成立的条件； 注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.
思考题
试举例说明拉格朗日中值定理的条件 缺一不可.
思考题解答
x2, 0x1 f1(x)3, x1
不满足在闭区间上连续的条件；
f2(x)1 x, x[a,b] 且 ab0
不满足在开区间内可微的条件；
以上两个都可说明问题.
弦AB方程为 yf(a)f(b )f(a)(xa).
ba 曲线 f(x)减去A弦 ,B
所得曲a,线 b两端点的函数.值相等
作辅助函数
F (x ) f(x ) [f( a ) f( b ) f( a )(x a )]. b a
F(x) 满足罗尔定理的条件,
则(a 在 ,b)内至少,存 使F 在 得 () 一 0. 点
(x)满足罗尔定理的条, 件
则(a 在 ,b)内至少,存 使 在 得 () 一 0. 点
则(a 在 ,b)内至少,存 使 在 得 () 一 0. 点 即 f()f(b)f(a)F ()0,
F (b)F (a) f(b)f(a)f().
F(b)F(a) F()
当 F(x)x, F ( b ) F ( a ) b a , F ( x ) 1 ,
f(x)在[0,x]上满足拉氏定理的, 条件
f ( x ) f ( 0 ) f ( ) x 0 ( ) ( 0 , x )
f(0)0,f(x) 1 ,由上式得 1x
ln1(x) x , 1
又 0x 1 1 1x 1 1 1,
1x 1
x x x, 1x 1
即x ln1 (x)x. 1x
第三章 微分中值定理
第一节 中值定理
一、罗尔中值定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 四、小结 思考题
一、罗尔(Rolle)定理
罗尔（Rolle）定理 如果函数f(x)(1在 ) 闭区间[a,b] 上连续(,2 )在开区间(a,b)内可导,(3且 ) 在区间端点的函数 值相等，即f(a) f(b),那末在(a,b)内至少有一点 (a b),使得函数f (x)在该点的导数等于零，
推论 如果函 f(x)数 在区 I上 间的导数 , 恒 那末 f(x)在区 I上 间是一.个常数
例2 证 a明 r x c asri x c n ( c 1 o x 1 s ). 2
证 设 f( x ) ar x a cs r x ,ic x n [ c 1 ,1 ] os
f(x) 1 ( 1 )0.
1x2
1x2
f ( x ) C ,x [ 1 , 1 ]
又 f(0 ) ar0 c a sirn 0 c 0c o s , 22
即C . 2
arcxsa in rcxc o.s 2
例3 证x 明 0 时 , 当 x ln 1 x () x . 1 x
证 设 f(x )ln 1x (),
nb n1 (a b ) a n b n na n1 (a b ) .
五、证明下列不等式：
1、 arctan a arctan b a b ； 2、 当 x 1时 ， e x ex .
六、设函数 y f (x)在 x 0的某邻域内且有n阶导数，
且 f (0) f (0) f (n1) (0)试 用 柯 西 中 值 定 理
第二节 洛必达法则
一0型 、 及 型未定:洛 式必 解达 法法 0
二0、 ,,00,1,0型未定式解法
三、小结
一0型 、 及 型未定:洛 式必 解达 法 0
定义 如果当x a (或x )时，两个函数
f (x) 与F(x) 都趋于零或都趋于无 大穷 ，那末
极限lim f (x)可能存在、也可能不 在存 ．通 xa F(x)
三、柯西(Cauchy)中值定理
柯西（Cauchy）中值定理 如果函数 f (x) 及F(x)
在 闭 区 间 [a,b]上 连 续 , 在 开 区 间(a, b) 内 可 导 , 且
F '( x)在(a, b) 内 每 一点 处均 不为 零，那 末在(a, b) 内
至少有一点 (a b),使等式
注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其 结论可能不成立.
例如, yx,x [2,2];
在 [2,2]上除 f(0)不存,满 在足 外罗尔定 的一切 ,但条 在件 区 [-， 2间 2内 ] 找不到一点 使f(x)0. 又例如, y10,xx, x 0(0,1];
yx,x [0,1 ].
例1 证明方x5程 5x10有且仅有一个 1的正实 . 根
即f '()0
例如, f(x)x22x3(x3 )x (1 ).
在[1,3]上连,续在(1,3)上可,导且 f( 1 ) f(3 ) 0 ,
f(x ) 2 (x 1 ),取 1 ,(1 ( 1 ,3 ))f()0.
几何解释:
y
C
在曲线弧AB上至少有一
点C, 在该点处的切线是
水平的.
o a 1