四川省成都市2018届高中毕业班第三次诊断性检测数学(理科)试题(含答案)

成都市2015级高中毕业班第三次诊断性检测
数学（理科）
本试卷分选择题和非选择题两部分。

第Ⅰ卷（选择题，第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，只将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．设全集{}=0123U ，，，，集合()(){}
130A x x x =∈--≤N ，则集合U A ð中元素的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】 A
【解析】由题意得{}1,2,3A =，所以{}0U A =ð，故选A. 考点：集合的基本运算. 2．若复数i
1i
a z +=
-(i 是虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2
【答案】 C 【解析】因为()()()i 1i 11i
i 1i 22
a a a a z ++-+++=
==-是纯虚数，所以10a -=，即1a =，故选C. 考点：1、复数的运算，2、纯虚数的概念.
3．命题“()1,x ∀∈+∞，1ln x x -≥”的否定是（ ）
A ．()1,x ∀∈+∞，1ln x x -≤
B ．()1,x ∀∈+∞，1ln x x -<
C ．()01,x ∃∈+∞，001ln x x -≥
D ．()01,x ∃∈+∞，001ln x x -< 【答案】 D
【解析】“()1,x ∀∈+∞，1ln x x -≥”的否定是“()01,x ∃∈+∞，001ln x x -<”，故选D. 考点：含一个量词的命题否定.
4．定义符号函数1,0,
sgn 0,0,1,0,x x x x >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
则函数()sin sgn f x x x =⋅的图象大致是（ ）
【答案】 B
【解析】用排除法，易知()f x 是偶函数，故排除A 选项；当0x <<π时，()0f x >，故排除D 选项；当2x π<<π时，()0f x <，故排除C 选项.故选B. 考点：函数的图象. 5．已知实数ln 2
2
a =，22ln 2
b =+，()2
ln 2c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）
A ．c a b <<
B ．c b a <<
C ．b a c <<
D ．a c b << 【答案】A
【解析】易知ln2122<<，22ln22+>，()2
0ln 21<<，所以c a b <<.故选A. 考点：指数与对数运算及单调性. 6．当,2απ⎛⎫
∈π
⎪⎝⎭
时，若()()2sin cos 3ααπ--π+=，则sin cos αα-的值为（ ）
A ．
3 B ．23- C ．43 D ．4
3
-
【答案】C
【解析】由诱导公式得()()2
sin cos sin cos ααααπ--π+=+=
，所以7
2s i n c o s
9
αα=-，()
()2
2
16sin cos sin cos 4sin cos 9αααααα-=+-=，又,2απ⎛⎫
∈π ⎪⎝⎭
，所以s i n c o s αα-
>所以
4
s i n c o s 3
αα-
=.故选C.
考点：1、诱导公式；2、同角基本关系求值.
7．已知甲袋中有1个黄球和1个红球,乙袋中有2个黄球和2个红球.现随机地从甲袋中出1个球放入乙袋中,再从乙袋中随机取出1个球,则从乙袋中取出红球的概率为（ ） A ．
13 B ．12 C ．59 D ．29
【答案】B
【解析】先从甲袋中取出1个球放入乙袋，再从乙袋出1个球的总数为11
2510C C =，取出红球的总数为111113125C C C C +=，所以乙袋中取出红球的概率为51
102
P =
=.故选B. 考点：古典概型.
8．某企业可生产,A B 两种产品.投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，场地100平方米.若该企业现可使用资金1400万元，场地900平方米投资生产,A B 两种产品，则两种产品的量之和的最大值是（ ） A ．467吨 B ．450吨 C ．575吨 D ．600吨 【答案】C
【解析】设生产,A B 产品的产量分别为,x y （单位：100吨），由题意得约束条件2003001400,200100900,0,0,
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩求目标函
数z x y =+的最大值.由约束条件得可行区域（如图），其中()4.5,0A ，()3.25,2.5B ，140,
3C ⎛⎫
⎪⎝⎭
.
由可行区域可得目标函数z x y =+经过()3.25,2.5B 时，z 取最大值，故max 5.75z =（100吨）. 故选C. 考点：线性规划问题.
9．在正三棱柱111ABC A B C - (底面是正三角形,侧棱垂直于底面的棱柱)中，所有棱长之和为定值a .若正三棱柱
111ABC A B C -的顶点都在球O 的表面上，则当正三棱柱侧面积取得最大值24时，该球的表面积为（ ）
A
． B ．323π C ．12π D ．643
π
【答案】D
【解析】设正三棱柱111ABC A B C -底面边长为x ，侧棱为y ，则63x y a +=，三棱柱111ABC A B C -侧面积3S xy =.
所以
3S xy =≤632a x y ==，即,126a a x y ==时，等号成立，所以24a =，2x =，
4y =.所以正三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心O 到顶点A 43434
+=，所以该球的表面积为643
π
.故选D. 考点：1、简单几何体；2、基本不等式.
10．已知P 为ABC △所在平面内一点，AB PB PC ++=0，2PC PB AB ===，则PBC △的面积等于（
） A B ．3 C ．33 D ．3 【答案】A
【解析】分别取边BC ，AC 的中点,D E ，则2PB PC PD +=，2AB ED =， 因为AB PB PC ++=0，所以ED PD =-，所以,,E D P 三点共线，且1ED PD ==. 又2PC PB ==，所以PD BC ⊥，所以23BC =，所以PBC △的面积1
23132
S =⨯=故选A. 考点：平面向量线性运算.
11.已知,A B 是椭圆C ：22
1259
x y +
=上关于坐标原点O 对称的两个点，,,P M N 是椭圆C 异于,A B 的点,且AP ∥OM ，BP ∥ON ，则MON △的面积为（
）
A B ．32 C ．152 D ．252
【答案】C
【解析】方法一：特殊值法，取,A B 为短轴的端点，即()0,3A ,()0,3B -，点P 为左顶点()5,0P -，则直线OM ，
ON 的方程分别为35y x =
，35y x =-，所以22M ，2
2N ，所以152MON S =△.故选A. 方法二：若,PA PB 与坐标轴平行或垂直时，可得点,M N 为椭圆C 长轴和短轴的一个端点，所以
115
5322
MON S =⨯⨯=△；
若,PA PB 与坐标轴不平行或不垂直时，则9
25
PA PB k k ⋅=-
，设直线OM ，ON 的方程分别为1y k x =，2y k x =，则12925k k ⋅=-.联立22
1
1,259,x y y k x ⎧+
=⎪⎨⎪=⎩解得12211925925M k k ⎛⎫
++， 同理可得222
22925925N k k ⎛⎫
++，
所以2122221
2
2
1
151152
925925925925MON k S k
k
k
k
=
++++△
()()12212111212225
2162225222515
.
2152
k k k k k k k k k k -=
=
⎡⎤+-+⎣⎦-=
=- 故选A.
考点：直线与椭圆的位置关系.
12．在关于x 的不等式()
2222e e 4e e 4e 0x x x a x a -+++> (其中e 2.71828=为自然对数的底数)的解集中，有
且仅有两个大于2的整数,则实数a 的取值范围为（ ） A ．4161,5e 2e ⎛⎤
⎥⎝⎦ B ．391,4e 2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．42164,5e 3e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．3294,4e 3e ⎡⎫
⎪⎢⎣
⎭ 【答案】D
【解析】易得()
2222e e 4e e 4e 0x x x a x a -+++>⇔()
()2
2
e 21e x x a x ->-.
设()()
2
2
e
2f x x =-，()()1e x
g x a x =-，则原不等式等价与()()f x g x >.
若0a ≤，则当2x >时，()0f x >，()0g x <，所以原不等式的解集中有无数个大于2的整数，所以0a >. 因为()20f =，()2
2e 0g a =>，所以()()22f g <.
当()()33f g ≤，即1
2e
a ≥
时，设()()()()4h x f x g x x =-≥， 则()()()2
2
e 2e 2e 2e 22e
x
x
x h x x ax x '=--≤--.
设()()()2
e 2e 242e
x
x x x x ϕ=--≥，则()()()21e 2e 302e x
x x ϕϕ+''=-
≤=， 所以()x ϕ在[)4,+∞上为减函数，所以()()()2
42e
2e 0x ϕϕ≤=-<，
所以当4x ≥时，()0h x '<，所以()h x 在[)4,+∞上为减函数，
所以()()32
4
2
23e 3e 44e 3e 4e e 4022h x h a ⎛
⎫≤=-≤-=-< ⎪⎝
⎭， 所以当4x ≥时，不等式()()f x g x <恒成立，所以原不等式的解集中没有大于2的整数.
所以要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则()()()()()()33,44,55,f g f g f g >⎧⎪>⎨⎪≤⎩
所以2324
25e 2e ,4e 3e ,9e 4e ,a a a ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩
解得3294
4e 3e
a ≤<.故选D.
考点：利用导数研究函数的性质解决不等式成立问题.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共5小题,每小题5分，共25分.请将答案填在题后横线上.
13．5
1x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中各项系数之和为 .
【答案】0
【解析】令1x =，得展开式中各项系数之和为()5
110-=. 考点：二项式定理.
14．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，则异面直线AE
与1BD 所成角的余弦值为 .
【解析】以点D 原点，1,,DA DB DD 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设棱长为2，则()2,0,0A ，()0,0,1E ，
()2,2,0B ，()10,0,2D ，所以()2,0,1AE =-，()12,2,2BD =--，所以111
15cos ,AE BD AE BD AE BD ⋅=
=
以异面直线AE 与1BD 15
. 考点：空间角.
15．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
，已知6
6
a c -=
，sin B C =.则cos 26A π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭ .
【解析】因为s i n
6s i n B C =，所以6b c =，又6
6
a c -=
，所以2a c =，由余弦定理得
22222
6
cos 2426b c a A bc c
+-===，所以10sin A =15sin 2A =1cos 24A =-. 所以153
cos 2cos 2cos sin 2sin 6668
A A A πππ⎛
⎫-
=+= ⎪
⎝⎭. 考点：1、正余弦定理；2、三角恒等变换.
16.已知集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9M =的所有3个元素的子集记为123,,,,k A A A A ，*k ∈N .记i a 为集合i
A （1,2,3,,i k =）中的最大元素，则12k a a a +++= .
【答案】630
【解析】集合M 含有3个元素的子集共有3
984C =，所以84k =.
在集合i A （1,2,3,,i k =）中：最大元素为3的集合有221C =个；最大元素为4的集合有233C =；最大元素为5
的集合有2
46C =；最大元素为6的集合有2510C =；最大元素为7的集合有2615C =；最大元素为8的集合有
2721C =；最大元素为9的集合有2828C =.
所以12314356610715821928630k a a a ++
+=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.
考点：1、集合间的基本关系；2、组合.
三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，243,,S S S 成等差数列，且2343
8
a a a ++=-. （I ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设n n b n a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】(I)1
12n n a -⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
；（Ⅱ）1
2
42
n n n T -+=-
. 【解析】
考点：1、等比数列；2、错位相减法. 18．（本小题满分12分）
某企业统计自2011年到2017年的产品研发费x 和销售额y 的数据如下表:
根据上表中的数据作出散点图,得知产品研发费的自然对数值z (精确到小数点后第二位)和销售额y 具有线性相关关系.
（I ）求销售额y 关于产品研发费x 的回归方程ˆˆˆln y
b x a =+ (ˆˆ,a b 的计算结果精确到小数点后第二位)； （Ⅱ）根据（I ）的结果预则：若2018年的销售额要达到70万元，则产品研发费大约需要多少万元？
【答案】(I)ˆ11.99ln 21.86y x =+；（Ⅱ）55.5.
【解析】
考点：1、用线性回归方程系数公式求线性方程；2、用样本估计总体解决简单实际问题. 19．（本小题满分12分）
如图①,在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，60ABC ∠=，2CD =，4AB =，点E 为AB 的中点；现将三角形BEC 沿线段EC 折起，形成直二面角P EC A --,如图②，连接,PA PD 得四棱锥P AECD -，如图③.
（I ）求证：PD EC ⊥；
（Ⅱ）求平面PEC 与平面PAD 所成的锐二面角的余弦值. 【答案】(I)见解析；2
【解析】
考点：1、点线面间的垂直关系；2、向量方法求面面的夹角. 20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，动点M 与定点()1,0F 的距离和它到直线4x =的距离的比是1:2.记动点M 的轨迹为曲线C ，直线l :()0y kx m m =+≠与曲线C 相交于不同的两点,P Q .
（I ）求曲线C 的方程； （Ⅱ）求OPQ △面积的最大值.
【答案】(I)22
143
x y +=；3 【解析】
考点：1、椭圆的方程；2、直线与椭圆的位置关系. 21．（本小题满分12分）
已知函数()()1ln 1f x k x k x k =--+-，其中,0k k ∈≠R . （I ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）设函数()f x 的导函数为()g x .若函数()f x 恰有两个零点()1212,x x x x <，证明:12203x x g +⎛⎫
>
⎪⎝
⎭. 【答案】(I)22
143
x y +=；3 【解析】
考点：导数在研究函数的单调性中的应用.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程
在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=，直线l 2sin 14ρθπ⎛
⎫+
= ⎪⎝⎭，点,2Q ρπ⎛⎫ ⎪⎝⎭
在直线l 上.以极点为坐标原点O ，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy ，且两坐标系取相同的单位长度.
（I ）求曲线C 及直线l 的直角坐标方程；
(Ⅱ)若直线l 与曲线C 相交于不同的两点,A B ，求QA QB +的值.
【答案】(I)()2
2
24x y -+=，10x y +-=；（Ⅱ）32
【解析】
考点：1、极坐标和直角坐标的互化；2、参数的意义. 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()21f x x x a =++-，a ∈R . （I ）当2a =时，解不等式()4f x ≤；
（Ⅱ）若不等式()1f x <的解集为非空集合，求a 的取值范围. 【答案】(I)[]1,1-；（Ⅱ）31,22⎛⎫
-
⎪⎝⎭
.
【解析】
考点：解含绝对值的不等式.。