福建省莆田第八中学高三数学上学期期中试题理

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注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷(选择题)
一、选择题(60分)
1.设集合{|43}A x x =-<<, {|2}B x x =≤,则A B ⋂=( ) A . ()4,3- B . (]4,2- C . (]
,2-∞ D . (),3-∞
2.已知复数z 满足
11z
i z
-=-+,则z =( ). A .1 B .2 C .2 D .22 3. “a b >”是“
11
a b
<”的( ) A .充分必要条件 B .必要不充分条件 C .充分不必要条件 D .既不充分也不必要条件 4.为了得到函数sin(2)3
y x π
=-的图象,可由函数sin 2y x =的图象怎样平移得到
A .向右平移
6π B .向左平移6π C .向右平移3π D .向左平移3
π
5.已知平面直角坐标系内的两个向量,且平面内的任一向量都可以
唯一的表示成(
为实数),则m 的取值范围是( ) A . B .
C .
D .
6.已知函数()f x 的图象如图所示,则函数()f x 的解析式可能是( )
A . ()()
244log x x f x x -=+ B . ()()
244log x x f x x -=-
C . ()(
)12
44
log
x
x
f x x -=+ D . ()()44x x f x x -=+
7.若α∈[0,2π),则满足1sin2α+ =sin α+cos α的α的取值范围是 A . π0,2⎡

⎢⎥⎣⎦ B . []
0,π C . 3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D . ][3π7π0,,2π44⎡⎫
⋃⎪⎢⎣⎭
8.已知{}n a 为等差数列,1a +3a +5a =105,246a a a ++=99,以n S 表示{}n a 的前n 项和,则使得n S 达到最大值的n 是
A .21
B .20
C .19
D .18
9.某大学的8名同学准备拼车去旅游,其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名,分乘甲、乙两辆汽车,每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置),其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有( ). A . 18种 B .24种 C . 48种 D . 36种 10.已知单位向量1e u v 与2e u u v
的夹角为3
π
,则向量122e e +u v u u v 在向量12e e -u v u u v 方向上的投影为( ) A . 12-
B . 1
2
C . 714-
D . 714
11.设,x y 满足约束条件⎪⎩

⎨⎧≥≥≥+-≤--0,0020
63y x y x y x 若目标函数(0,z ax by a b =+>>0)的最大值为12,则32a b
+的
最小值为 ( )
(A )256 (B ) 83 (C ) 113
(D ) 4
12.若关于x 的不等式0x xe ax a -+<的解集为()(),0m n n <,且(),m n 中只有一个整数,则实数
a 的取值范围是( )
A .221,32e e ⎛⎫
⎪⎝⎭ B .221,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C .221,3e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D .221,3e e ⎡⎫⎪⎢⎣
⎭ 第II 卷(非选择题)
二、填空题
13.已知平面向量满足且,则________.
14.已知展开式中,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为,则__________.
15.定义在R 上的函数()f x ,对任意的x R ∈都有()()f x f x -=-且当0x ≥时,
()22f x x x =-,则不等式()0xf x <的解集为__________.
16.若点在以为圆心,为半径的弧B (包括、两点)上,∠APB=90°,且,则的取值范围为__________.
三、解答题
17.(本题12分)已知2,0(1,sin()),(cos ,3sin ),2
x x x x ωωωωπ
∈=+=R >,u v 函数1()2
=⋅-f x u v 的最小正周期为π. (Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)求函数()f x 在区间[0,]2
π上的值域.
18.(本题12分)在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知3cos a b
A =
. (I )求A 的大小;
(II )若3a =,求ABC ∆周长的最大值.
19.(本题10分)已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项12a =,且1241,1,1a a a +++成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设11n n n b a a +=
, *n N ∈, n S 是数列{}n b 的前n 项和,求使3
19
n S <成立的最大的正整数n . 20.(本题12分)已知正项数列{}n a 满足()()
2
*123114
n n a a a a a n N +++⋅⋅⋅+=+∈。

(1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)设2n
n n b a =⋅,求数列{}n b 的前n 项和n T 。

21.(本题12分)“双十一”已经成为网民们的网购狂欢节,某电子商务平台对某市的网民在今年“双十一”的网购情况进行摸底调查,用随机抽样的方法抽取了100人,其消费金额t (百元)的频率分布直方图如图所示:
(1)求网民消费金额t 的中位数0t ;
(2)把下表中空格里的数填上,能否有90%的把握认为网购消费与性别有关;
(3)将(2)中的频率当作概率,电子商务平台从该市网民中随机抽取10人赠送电子礼金,求这10人
中女性的人数X 的数学期望.
男 女 合计 0t t ≥
0t t <
30 合计 45
附表:
()
20P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0k
2.072
2.706
3.841
()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=
++++.
22.已知函数.
(Ⅰ)若,求曲线在处的切线方程; (Ⅱ)求的单调区间;
(Ⅲ)设,若对任意,均存在,使得,求a 的取值范围.
参考答案
1.B
【解析】试题分析:画数轴分析可得(]
4,2A B ⋂=-.故B 正确. 考点:集合的运算.
【易错点晴】本题主要考查的是集合的交集运算,属于容易题.解不等式时一定要注意端点处等号是否成立,否则很容易出现错误. 2.A 【解析】
试题分析:11||1
11z i
i z i z z i -+=-⇒==⇒=+-,选A.
考点:复数的模
【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念,属于基本题.首先对于复数的四则运算,要切实掌握其运算技巧和常规思路,如
()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念,
如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b
(,)a b 、共轭为
.-a bi
3.D 【解析】
试题分析:∵11a b <⇔11a b -=0b a
ab -<,∴a b >⇒/0b a ab -<,0b a ab -<⇒/a b >,故
“a b >”是“11
a b
<”既不充分也不必要条件,故选D.
考点:充要条件 4.A 【解析】
试题分析:因为sin(2)3
y x π
=-)6
(2sin π
-
=x ,所以sin 2y x =的图象向右平移
6
π
即得到
sin(2)3
y x π
=-的图像.
考点:函数y=Asin (ωx+φ)的图象变换.
点评:本题考查三角函数图象的变换,本题解题的关键是看出是从哪一个图象向那一个图象平移,再把自变量的系数化成1,看出变化的大小即可. 5.D
【解析】根据题意知,向量、是不共线的向量, ()2,23ma nb m n m n -=+-v
v ,
,解得,所以实数的取值范围是,故选D.
考点:平面向量共线(平行)的坐标表示. 6.A
【解析】结合函数图象, ()10f =,选项D 中()1
1404
f =+
≠,选项D 错误; 函数()f x 的图象关于y 轴对称,则函数为偶函数,选项B 错误;
当1
2
x =时,
102f ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
,选项C 中, 11
2
212
1144log 022f -⎛⎫⎛⎫=+⨯> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,选项C 错误;
本题选择A 选项. 7.D 【




1sin2α
+ =sin α+cos α得
[)][3π7πsin cos 00,2π0,,2π44αααα⎡⎫
+≥∈∴∈⋃⎪⎢⎣⎭
Q
选D. 8.B
【解析】由1a +3a +5a =105得33105,a =即335a =,由246a a a ++=99得4399a =即
433a = ,∴2d =-,4(4)(2)412n a a n n =+-⨯-=-,由1
0n n a a +≥⎧⎨<⎩得20n =,选B
9.B
【解析】试题分析:由题意,第一类,一年级的孪生姐妹在甲车上,甲车上剩下两个要来自
不同的年级,从三个年级中选两个为2
33C =,然后分别从选择的年级中再选择一个学生为11224C C =,故有3×4=12种.
第二类,一年级的孪生姐妹不在甲车上,则从剩下的3个年级中选择一个年级的两名同学在
甲车上,为133C =,然后再从剩下的两个年级中分别选择一人为11
224C C =,这时共有
3×4=12种
根据分类计数原理得,共有12+12=24种不同的乘车方式 考点:计数原理的应用 10.A
【解析】∵单位向量1e u v 与2e u u v
的夹角为
3
π ∴111
cos 32
e e π⋅==u r u r
∴()
2
12121e e e e -=-=u r u u r u r u u r ,
∴ 向量122e e +在向量12e e -u v u u v
方向上的投影为:
()()
()()
1212121212
21
22e e e e e e e e e e +⋅-=+⋅-=--u r u u r u r u u r u r u u r u r u u r u r u u r
,故选A. 11.A
【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax by z +=(0,0a b >>),过直线20x y -+=与直线360x y --=的交点(4,6)时,目标函数z ax by =+(0,0a b >>)取得最

12,

4612
a b +=,即236a b +=,而
32a b
+=3231313252()()26666a b b a a b a b ++=+++=…。

12.B 【解析】
试题分析:0x
xe ax a -+<可化为()1x xe a x <-,令()()(),1x
f x xe
g x a x ==-,显然
0a ≠,函数()()1g x a x =-过定点()1,0C ,令()()'10,0x f x x e x =+==,所以在
(),1-∞,()f x 单调递减,在()1,+∞,()f x 单调递增,()f x 在1x =处取得极小值,画
x
2
36x y --=
2 -2 O
z ax by =+
y
20
x y -+=
图象下图所示,由图可知,当直线()()1g x a x =-介于,AC BC 之间时,符合题意
()1x xe a x <-的解集为
()()
,0m n n <,且
()
,m n 中只有一个整数
解.2121,,2,A B e e ⎛⎫⎛⎫----
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以212,23AC BC k k e e ==,所以221,32a e e ⎡⎫
∈⎪⎢⎣
⎭.
考点:导数.
【思路点晴】本题主要考查化归与转化的数学思想方法,考查函数导数与单调性、极值和最值的关系,考查函数数形结合的数学思想方法.先将圆不等式转化为两个函数
()()(),1x f x xe g x a x ==-,()g x 图象是直线,过定点,利用导数求出()f x 的单调区
间和极值,画出图象,旋转直线,结合题目要求“一个整数点”,就可以求得a 的取值范围. 13.
【解析】由平方得. . 14.6 【解析】
由题意得,令,可得展开式中各项的系数和为, 由展开式中各项的二项式系数的和为,则. 15.()()2,00,2-⋃
【解析】当0x ≥时,由()2
20f x x x =->,得2x >;由()2
20f x x x =-<,得02x <<.
∵()()f x f x -=-, ∴函数()f x 为奇函数。

∴当0x <时,由()2
20f x x x =->,得20x -<<;由()2
20f x x x =-<,得2x <-.
不等式()0xf x <等价于()0
{ 0
x f x ><或()0
{
0x f x <>, 解得02x <<或20x -<<。

∴不等式()0xf x <的解集为()()2,00,2-⋃。

答案: ()()2,00,2-⋃ 16.
【解析】分析:以点为圆心建立平面直角坐标系,得到点A,B,C 的坐标,设,根据将表示为参数θ的函数,然后根据三角函数的知识求解即可. 详解:以点为圆心建立如图所示的平面直角坐标系.
由题意得,设,则点C 的坐标为. ∵, ∴, ∴,解得, ∴, 其中, ∵, ∴, ∴.
∴的取值范围为.
点睛:解答本题的关键是根据向量的相等及题意将表示为的函数,然后再结合三角函数的最
值问题求解,求解三角函数的最值时首先要将函数化为的形式,然后再把看作一个整体求解即可.
17.(Ⅰ)1ω=;(Ⅱ)1
[,1]2
-. 【解析】
试题分析:(Ⅰ)以向量数量积为载体,通过二倍角公式化成一角一函数,再求ω的值;(Ⅱ)由x 的范围求出26
x π
+
的范围,再求正弦值的范围即值域.
试题解析:(Ⅰ)依据题意,211
()(1,sin())(cos ,3sin )222
f x x x x ωωω=-
=+⋅-g πu v 21
cos 3sin cos 2
x x x ωωω=+⋅- (1分)
1cos 231
sin 2222
13cos 2sin 222x x x x ωωωω+=
+-=+
sin(2)6
x ω=+π
. (4分)
0ωQ >,
函数的最小正周期T=π, 2222, 1.T ωω∴=
==∴=πππ
(6分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知()sin(2)6
f x x =+π
(7分)
当02x π≤≤时,可得7
2666x +ππ≤≤π (8分)
有1sin(2)126
x -+π
≤≤ (11分)
所以函数()y f x =在[0,]2π上的值域是1
[,1]2
-. (12分)
考点:1.二倍角公式;2.数量积运算;3.三角函数的性质(周期性、值域等). 18.(I )3
A π
=;(II )9.
【解析】 试


析:(
I




弦定



角,


sin 3,tan 3,0,3
A A A A A π
π==<<∴=
;(II )利用正弦定理
32sin =A
a
,所以23,3b B c C ==,ABC ∆周长为32323B C ++,利用三角函数求出即可.
试题解析:解:(I )由已知条件结合正弦定理有:
3cos a b
A =
,从而有: sin 3cos ,tan 3,0,3
A A A A A π
π==<<∴=
Q .
(II )由正弦定理得:
=23sin sin sin b c a B C A
==, 23sin ,23sin b B c C ∴==
223sin 23sin 23sin sin()6sin()36b c B C B B B ππ⎡⎤
+=+=+-=+⎢⎥⎣⎦
5,36sin()66
6
66
B B π
π
ππ
<+
<
∴<+≤Q
. 3
B b c π
∴=
+∆当时,的最大值为6,ABC 周长最大值是9.
考点:正弦定理及利用三角函数求边的最值. 19.(Ⅰ)31n a n =-, *N n ∈.(Ⅱ)11n =.
【解析】试题分析:(1)设数列{}n a 的公差为d ,由 11a +, 21a +, 41a +成等比数列,得()()2
3333d d +=+,解得3d =. 从而求得31n a n =-. (
2



1

1111133132n n n b a a n n +⎡⎤
=
=-
⎢⎥-+⎣⎦
, 得
()1111111113
3253583313223219
n n S n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+-++-=<⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦⎣⎦⎣⎦L ,解得12n <. 故最大的正整数11n =.
试题解析:(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ,则()21n a n d =+-, *N n ∈. 由 11a +, 21a +, 41a +成等比数列,得()()()2
214111a a a +=++, 即()()2
3333d d +=+,得0d =(舍去)或3d =. 所以数列的通项公式为31n a n =-, *
N n ∈.
(Ⅱ)因为()()111111313233132n n n b a a n n n n +⎡⎤
===-⎢⎥-+-+⎣⎦
, 所

()
111111111111325358331323232232n n
S n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+-++-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦L . 由3
19
n S <
,即
()323219n n <+,得12n <. 所以使3
19
n S <
成立的最大的正整数11n =. 20.(1)21n a n =-;(2)()1
6223n n ++-
【解析】试题分析:(1)由已知数列递推式求得数列首项,且得到()2
1141n n S a --=+(*n N ∈且2n ≥),与圆递推式联立可得12n n a a --=(2n ≥)得到数列{}n a 是等差数列,则数列
{}n a 的通项公式可求;
(2)把{a n }的通项公式代入2n
n n b a =⋅,利用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n T .
试题解析:(1)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,当1n =时, ()2
11114
a a =
+,∴当2n ≥时,
()2
41n n S a =+,∴()2
1141n n S a --=+两式相减得2211422n n n n n a a a a a --=+--,即
()()1120n n n n a a a a --+--=,又0n a >,∴12n n a a --=,∴数列{}n a 是首项为1,公差
为2的等差数列,即21n a n =-.
(2)∵()212n n b n =-, 123
123252...212n n T n =⨯+⨯+⨯++
-⨯(),① 134********...232212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯()(), ②
①-②

2312122222212282212n n n n n T n n +++-=+++⋯+--⨯=-+--⨯()()()
11
622216232n n n n ++=-+-+=-+-()(),∴16223n n T n +=+-()
点睛:本题主要考查了等差数列的概念,以及数列的求和,属于高考中常考知识点,难度不大;常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式,分组求和类似于
n n n c a b =+,其中{}
n a 和{}n b 分别为特殊数列,裂项相消法类似于()
1
1n a n n =
+,错位
相减法类似于n n n c a b =⋅,其中{}
n a 为等差数列, {}n b 为等比数列等. 21.(1)10;(2)答案见解析;(3)5.5.
【解析】试题分析:(1)根据频率分布直方图小长方形面积等于对应区间概率,求出第一组,
第二组的频率,再根据频率之和为0.5确定中位数(2)根据条件对应填数据,再代入到卡方公式,最后比较参考数据,确定可靠性(3)先求概率,再根据二项分布得数学期望 试题解析:(1)直方图中第一组,第二组的频率之和为0.0450.0650.5⨯+⨯=, ∴t 的中位数010t =. (2)
男 女 0t t > 25
25
50
0t t <
20 30 50 45
55
100
()
()()()()
()2
2
210025302520100
1.01
2.70645555050
99
n ad bc k a b c d a c b d -⨯-⨯=
=
=
≈<++++⨯⨯⨯. 没有90%的把握认为网购消费与性别有关. (3)网购的网民中,女性的频率为
55
0.55100
=, ∴抽取10人中女性人数()~10,0.55X B , ()100.55 5.5E X =⨯=. 22.(1) ;(2) 单调递增区间为,单调递减区间为;(3). 【解析】 【分析】
(Ⅰ)把a 的值代入中,求出的导函数,把代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率,可得曲线在处的切线方程;
(Ⅱ)求出的导函数,分a 大于等于0和a 小于0两种情况讨论导函数的正负,进而得到函数的单调区间;
(Ⅲ)对任意,均存在,使得,等价于,分别求出相应的最大值,即可求得实数a 的取值范围. 【详解】
(Ⅰ)由已知,,所以斜率,
又切点(1,2),所以切线方程为,即
故曲线在处切线的切线方程为.
(Ⅱ)
①当时,由于x>0,故,,所以的单调递增区间为(0,).
②当a<0时,由,得.
在区间上,,在区间上,,
所以,函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
(Ⅲ)由已知,转化为.,
所以
由(Ⅱ)知,当时,在(0,)上单调递增,值域为R,故不符合题意.
(或者举出反例:存在,故不符合题意.)
当a<0时,在上单调递增,在上单调递减,
故的极大值即为最大值,,
所以,解得.
【点睛】
此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,会利用导数研究函数的单调性,掌握不等式恒成立时所满足的条件,是一道中档题.。

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