非扩展映像近似Picard迭代的收敛定理

是C -
→C
F (T ) 的 紧 非 扩 张 映 像 ， 0 ≤ sn ≤ s < 1 ，对任意Βιβλιοθήκη λ (1 − t1
nk
） ）‖
x
nk
-
p
‖
≤
‖
x
nk
p
‖
tn → 1 ， ∑ (1 − tn ) = +∞
n =1
且
(1 − tnk ) ε
（4） x 0 ∈ C , Ishikawa 迭代序列{ x
n
进而由（4） ‖x n
T :D→ X
是非扩张映像，若对任意的
x, y ∈ D ， 有
|| Tx − Ty || ≤ || x − y || 。关于非扩张映像不动点的存在性
及逼近不动点迭代办法的研究已经取得了很多成果 迭 代 过 程
[1− 4 ]
其中 {tn }, {sn } 是实数列及 t ， s 是给定常数，如果 {xn } 有 界，则 lim
∞ n =1
→ C 是具不动点的非扩张映像，
xn +1 = (1 − tn ) xn + tnT ( snTxn + (1 − sn ) xn ) , tn → 1 , sn → 0 , ∑ (1 − tn ) < +∞ 的子序列 {xn k } ， 使
|| xn k − Txn k || → 0
当空间
定义为
D
是线性赋范空间
X
的非空子集，
∑ (K
n =1
∞
n
− 1) < ∞ , {xn } ⊂ C
T :D→ X
（ⅰ） 0
是非扩张映像，设 {xn } ⊂
D 定义如下：
≤ tn ≤ t < 1,
∑t
n =1
∞
xn +1 = (1 − tn ) xn + tnT n ( snT n xn + (1 − sn ) xn ), n ≥ 1.
33非扩展映像近似picard迭代的收敛定理沧州师专数学系河北沧州061001是一致凸banach空间是具不动点的非扩张映像对任意的存在ishikawa迭代过程当映像t具紧性时ishikawa迭代过程强收敛于某不动点当空间满足opials条件时ishikawa迭代过程弱收敛于某不动点
第 24 卷第 1 期 2008 年 3 月
p ‖+‖ T y
nk
nk
-
p‖
≤
nk
p ‖+‖ y
-
p‖
nk
由空间一致凸性，存在 λ
= λ(
ε1
M1
)>o
+t
使
=‖ x = ‖
nk
-
p ‖+‖ snk T x nk +(1- snk ) x
nk
-
p‖
nk
‖ xn
k
+1 -
p ‖=‖ (1 − t
-1） （ Ty nk
nk
)x
nk
nk
Ty
nk
-
p‖
n}
由于﹛x n ﹜有界，则存在 M 1 〉0 使 ‖ Ty 从而 -
x 0 ∈ C , 存在 Ishikawa 迭代序列{ x
n
p‖≤
‖x
n
-
p‖≤ M
1
xn +1 = (1 − tn ) xn + tn yn yn = snTxn + (1 − sn ) xn
的子序列{ x 证明
nk
,
n ≥ 0.
事实上由于 ‖x
n
C → C 的具非空不动点集 F (T ) 的紧非扩张映像，对任意
n
-
Tx
n
‖ x 0 ∈ C , 近似 Picard 迭代序列{ x
n n
}
≤ ≤
‖x ‖x
-
Ty Ty
n
‖+‖ Ty ‖+‖
n
-
Tx x
n
n
‖
强收敛于 T 的不动点. 定义 称 Banach 空间
n
n
y
n
-
‖
X
满足 Opial 条件, 若
（ 2t
nk
+
Ty nk − p || x nk − p ||
x
nk
可见 ‖ x 0
nk
n
Ty
‖→ 0
蕴含 ‖ Tx
n
x
‖→
引理 7 证毕。 定理 2.1 设 C 是一致凸 Banach 空间 的具非空不动点集
∞
≤
-1）‖
-
p ‖+ (1 − t
)‖
x
nk
-
p‖
X
中非空闭凸集， T
(2- λ ) = （ 1-λ
， 而用
n→∞
|| xn − Txn || = 0.
n→∞
{xn }
逼 近 不 动 点 的 研 究 中 ， 证 明 见
在一致凸 Banach 空间中， 关于 lim 最近结果有
|| xn − Txn || = 0. 的
lim xn − Txn = 0 这 个 结 论 ， 是 一 个 关 键 的 环 节 ,
n →∞
定理 1.2 （曾六川文[4]）设 C 是一致凸 Banach 空间 空闭凸集， T 是 C
X
中非
Ishikawa 文[1],1996 年 Lei Deng 在文[2]中改进了[1]的结果, 2004 年 Jung Im Kang 等在文[3]中又进一步得到如下结果： 定 理 1.1 设
→ C 的渐近非扩张映像，使得
> 0 ，使
(1) 再由（3）式可见 ||
||
x nk − p
|| x nk − p ||
||= 1
|| x nk − Ty nk ||
另一方面 , 对任意 ‖x -
≥ ε0 > 0
p ∈ F (T ) 有
nk
Ty nk − p
|| x nk − p ||
||≤ 1
nk
T y
‖x
nk
‖≤ ‖x -
-
{tn }, {sn } 偏离 0 与 1,
1 ‖x 2
nk
- Ty
nk
‖≥
ε0
2
= ε1> 0
这一方面
标志着 Ishikawa 迭代过程与 Picard 迭代过程的区别, 另一方面 说明人们对参数列趋向[0,1]端点时的 Ishikawa 迭代（近似 Picard 迭代）过程结果缺乏认识. 本文对此过程进行了研究. 2 主要结果 引理 2.1 设 C 是一致凸 Banach 空间 的具非空不动点集
( k → ∞ ) ，当映像 T 具紧性时，Ishikawa 迭代过程
{xn } 强收敛于某不动点，
X
满足 Opial’s 条件时，Ishikawa 迭代过程
{xn } 弱收敛于某不动点。
关键词：非扩张映像；迭代过程；不动点；近似 Picard 迭代；收敛 中图分类号：O177.91 文献标识码：A 文章编号：1008-4762(2008)01-0033-04 1 引言 定 义 称 tn Picard 迭代. 设
nk
x
k
-
p
nk
‖ + ‖ )
sn k
(
Tx
-
=‖（2 t + (1 − t
nk
-
p ）+ (1 − t
nk
)（ Ty
-
p）
p )+ (1 − s
nk
)x n - (1 − s
p‖
s
nk
nk
)（ x
nk
p ）‖
nk
≤
+ (1 − s
nk
‖ )‖ x
x
nk
nk
-
p
‖+
‖
x
nk
-
p
‖
≤
（ 2t
nk
-1）‖ Ty
其 中 {tn }, {sn } 是 实 数 列 , 且 满 足 : 存 在 常 数
n
= ∞.
a, b
使
0 < a ≤ b < 1 , t n ∈ [ a, b]
*
收稿日期：2006-11-12 作者简介：刘力（1960— ） ，女，河北深泽人，沧州师专数学系副教授。
且 sn
∈ [0, b] .或 tn ∈ [a ,1]
k
} ,
+1 -
p‖ ≤ ‖x n - p‖- λ
k
(1 − tnk ) ε1
1
xn +1 = (1 − tn ) xn + tn yn yn = snTxn + (1 − sn ) xn
n ≥ 0.
≤ ≤ ≤
‖x n ‖x n
k −1 +1
- p‖- λ
(1 − tnk ) ε
k
k −1
- p‖- λ
k
Lim k → +∞ ||
, (ⅱ)
n ≥ 0.
{xnk } 弱收敛于 T 的不动点.
在算子迭代方法中，Picard 迭代是最简单的方法。然而， 许多算子的 Picard 迭代过程都不能收敛。这时就需使用象 Ishikawa 迭代的其它迭代过程，而这些迭代过程都比 Picard 迭 代要复杂。 我们肯定希望找到象 Picard 迭代过程那样的收敛结 果。因此，本文提出了近似 Picard 迭代概念，并得到了相应结 果。很容易看出，基于 Ishikawa 迭代的近似 Picard 迭代，当 n 充分大时，可认为是一个近似的 Picard 迭代过程，进而我们有 如下有意义的问题尚待探讨： （1）近似 Picard 迭代与 Picard 迭代的误差分析； （2） 如何利用近似 Picard 迭代结果推出 Picard 迭代结果。 参考文献： [1] S.Ishikawa, Fixed points and iteration of a nonexpansive mapping in a Banach space[J], Proc.Amer.Math.Soc.59 (1976),65-71. [2] L.Deng, Convergence of the Ishikawa iteration process for nonexpansive mappings[J], J. Math.Anal.Appl. 199 (1996),769-775). [3] Jung Im Kang, Yeol, Je, Cho and Haiyun Zhou, Convergence theorems of iteration sequences for nonexpasive mappings[J]. Commun. Korean Math. Soc. 19(2004), no. 2, pp. 321-328. [4] 曾六川. 逼近 Banach 空间中渐近非扩张映像的不动点 [J]. 数学物理学报，2003，23A(1): 31-37. 由引理 可知存子列
n，m)，从而有
x
nk
引理 2.2 在引理 6 条件下，{ x Lim k → +∞ || 证明
n+ m
-
p‖≤
‖
n
p ‖(对自然数
} 如引理 6 中所指，则
Lim xn = p ,定理 2 证毕
k →∞
x nk − Tx nk ||
=0
推论
设 C 是一致凸 Banach 空间
X
中非空闭凸集， T是
=0.
||
x nk − p
|| x nk − p ||
−
Ty nk − p
|| x nk − p ||
||=
|| x nk − Ty nk || || x nk − p ||
≥
ε1
M1
>0
}使 Lim k → ∞ ||
x nk − Ty nk ||
k
又因为
若否，对任意子列{x n }, 均存在常数 ε 0
ε 1 ((1 − tn ) + (1 − tn )) ≤
k −1
…
强收敛于 T 的不动点. 证明：由文[ ]可知 ﹛
x
‖x n - p‖- λ
0
ε
k
1
∑ (1 − t
i =1 ni
k
nk
﹜ 有界，从而有收敛子列 ﹛
ni
)
Tx
+ ∞ （k → +∞ ）,
nk
﹜(不妨仍记为{ Tx
nk
})，令
Lim Txnk = p ,
X
满足 Opial 条件,
C
推论
设一致凸 Banach 空间
X
满足 Opial 条件,
C是
X
中非空弱紧凸集， T 是 C
∞
→C
的非扩张映像，
X
中非空弱紧凸集， T 是 C
→ C 的非扩张映像，对任意
n
tn → 1 ， ∑ (1 − tn ) = +∞
n =1
且
0 ≤ sn ≤ s < 1 ，对任意
}
·33·
且
sn ∈ [ a , b ]
. 如 果
T
有 不 动 点 , 则
=2‖ x 由（1） （2）可见 ‖x 又因为 ‖ Ty
n
nk
-
p‖
(2)
n→∞
lim || xn − Txn || = 0.
目前关于非扩张及渐近非扩张映像 Ishikawa 迭代逼近不动
nk
-
p ‖≥
点的诸多结果, 要求参数列
k →∞
由引理
由引理条件，我们可取
∑ (1 − t
i =1 nk +1 -
)→
7 可见 Lim xn
k →∞
k
= p ,从而 p 是 T 的不动点，又
因为(见文[ ])
可见 k 充分大时，有‖ x 证毕.
p ‖<
0, 矛盾. 从而引理 6
‖
x
n +1
-
p
‖
≤
x
‖
x
-
n
-
p
‖(
n ≥ 0 )，进而有‖
x 0 ∈ C , 存在近似 Picard 迭代序列{ x 的子列 {xn
}
x 0 ∈ C , 存在 Ishikawa 迭代序列{ x
k
}使 x nk − Tx nk ||
=0
n
(ⅰ)
xn +1 = (1 − tn ) xn + tn yn yn = snTxn + (1 − sn ) xn
的子列 {xn (ⅰ) (ⅱ) 证明
-
p‖≤
n
‖
yn − p ‖
n
=‖ sn
Tx
+ (1 − s -
)x
n
-
p‖
)‖ x
n
X
中非空闭凸集，
≤ sn ‖ x
=‖ x
n
n
p ‖+ (1 − s
n
-
p‖
T
是C
→C
∞
F (T ) 的 非 扩 张 映 像 ，
-
p‖