高中数学模块综合测试2北师大版选修1-1

模块综合测试(二)
(时间120分钟 总分值150分)
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分) 1．命题p ：∀x ∈R ，x ≥1，那么命题¬p 为( ) A ．∀x ∈R ，x ≤1 B ．∃x ∈R ，x <1
C ．∀x ∈R ，x ≤－1
D ．∃x ∈R ，x <－1
解析：全称命题否认是特称命题． 答案：B
2．双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个一样焦
点F ，且该点到双曲线渐近线距离为1，那么该双曲线方程为( )
A. x 2－y 2＝2
B.
x 2
3
－y 2＝1
C. x 2－y 2＝3
D. x 2－y 2
3
＝1
解析：此题主要考察双曲线与抛物线有关知识．由，a 2＋b 2＝4 ①，焦点F (2,0)到双曲线一条渐近线bx －ay ＝0距离为|2b |
a 2
＋b
2
＝1
②，由①②解得a 2＝3，b 2＝1，应选B.
答案：B
3．命题p ，q ，如果命题“¬p 〞与命题“p ∨q 〞均为真命题，那么以下结论正确是( )
A ．p ，q 均为真命题
B ．p ，q 均为假命题
C ．p 为真命题，q 为假命题
D ．p 为假命题，q 为真命题
解析：命题“¬p 〞为真，所以命题p 为假命题．又命题“p ∨q 〞也为真命题，所以命题q 为真命题．
答案：D
4．[2021·福建高考]直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，那么“k ＝1”是“△OAB 面积为1
2
〞( )
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分又不必要条件
解析：假设k ＝1，那么直线l ：y ＝x ＋1与圆相交于(0,1)，(－1，0)两点，所以△OAB 面积S △OAB ＝12×1×1＝1
2，所以“k ＝1〞⇒
“△OAB 面积为12〞；假设△OAB 面积为1
2，那么k ＝±1，所以“△
OAB 面积为1
2〞D ⇒/“k ＝1〞，所以“k ＝1〞是“△OAB 面积为
1
2
〞充分而不必要条件，应选A. 答案：A
5．设f (x )＝x ln x ，假设f ′(x 0)＝2，那么x 0等于( )
A. e 2
B. e
C. ln22
D. ln2
解析：f ′(x )＝x ′·ln x ＋x ·(ln x )′＝ln x ＋1， ∴f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2，∴ln x 0＝1，∴x 0＝e. 答案：B
6．假设直线y ＝x ＋1与椭圆x 2
2＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同
点，那么|AB
→|等于( )
A.43
B.423
C.83
D.823
解析：联立方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋1，x 2
2＋y 2
＝1，得3x 2＋4x ＝0，
解得A (0,1)，B (－43，－1
3)，
所以|AB →|＝－43
－02
＋
－13
－12
＝423
.
答案：B
7．假设函数f (x )定义域为(0，＋∞)，且f (x )>0，f ′(x )>0，那么以下关于函数y ＝xf (x )说法正确是( )
A. 存在极大值
B. 存在极小值
C. 是减少
D. 是增加
解析：y′＝f(x)＋xf′(x)，∵x∈(0，＋∞)，且f(x)>0，f′(x)>0，∴y′>0，即函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上是增加．
答案：D
8．以下四个结论中正确个数为( )
①命题“假设x2<1，那么－1<x<1”逆否命题是“假设x>1或x<－1，那么x2>1”；
②p：∀x∈R，sin x≤1，q：假设a<b，那么am2<bm2，那么p∧q为真命题；
③命题“∃x∈R，x2－x>0”否认是“∀x∈R，x2－x≤0”；
④“x>2〞是“x2>4”必要不充分条件．
A．0个B．1个
C．2个D．3个
解析：只有③中结论正确．
答案：B
9．如图是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d大致图像，那么x21＋x22等于( )
A. 2
3
B.
4
3
C. 8
3
D. 4
解析：由图像可知，函数f(x)图像过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，∴f(x)＝x(x－1)(x－2)＝x3－3x2＋2x.
∴f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.
∵x 1，x 2是极值点，∴x 1，x 2是方程f ′(x )＝3x 2－6x ＋2＝0两根．∵x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝2
3
.
∴x 21
＋x 22
＝(x 1＋x 2)2
－2x 1x 2＝8
3
.
答案：C
10. 把函数f (x )＝x 3－3x 图像c 1向右平移u 个单位长度，再向下平移v 个单位长度后得到图像c 2.假设对任意u >0，曲线c 1与c 2至多有一个交点，那么v 最小值为( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
解析：f ′(x )＝3x 2－3.
令f ′(x )>0，得x >1或x <－1.
1min 答案：B
11．F 是抛物线y 2＝4x 焦点，过点F 且斜率为3直线交抛物线于A 、B 两点，那么||FA |－|FB ||值为( )
A. 83
B. 163
C. 833
D. 823
解析：此题主要考察直线与抛物线位置关系以及抛物线有关性
质．直线AB 方程为y ＝
3(x －1)，由⎩⎪⎨
⎪⎧
y 2＝4x ，
y ＝3x －1
得3x 2－
10x ＋3＝0，故x 1＝3，x 2＝1
3，所以||FA |－|FB ||＝|x 1－x 2|＝
8
3
.应选A. 答案：A
12．[2021·浙江高考]如图，F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝
1(a ，b >0)左、右焦点，B 是虚轴端点，直线F 1B 与双曲线C 两条渐近线分别交于P 、Q 两点，线段PQ 垂直平分线与x 轴交于点M .假设|MF 2|＝|F 1F 2|，那么双曲线C 离心率是( )
A. 233
B. 62
C.
2
D.
3
解析：此题主要考察双曲线离心率求解．结合图形特征，通过
PQ 中点，利用线线垂直性质进展求解．不妨设c ＝1，那么直线PQ ：y ＝bx ＋b ，双曲线C 两条渐近线为y ＝±b a x ，因此有交点P (－a
a ＋1，
b a ＋1)，Q (a 1－a ，b
1－a )，设PQ 中点为N ，那么点N 坐标为(a 2
1－a 2
，
b
1－a 2
)，因为线段PQ 垂直平分线与x 轴交于点M ，|MF 2|＝|F 1F 2|，所以点M 坐标为(3,0)，因此有k MN ＝b
1－a
2
－0
a
2
1－a
2
－3
＝－1
b
，所以3－4a 2
＝b 2
＝1－a 2
，所以a 2
＝23，所以e ＝6
2
.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)
13．命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0”否认是__________． 解析：特称命题否认是全称命题，故原命题否认是∀x ∈R ，x 2
＋2x ＋2>0.
答案：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0
14．双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)与方向向量为k ＝(6,6)直线交
于A ，B 两点，线段AB 中点为(4,1)，那么该双曲线渐近线方程是________．
解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么x 21a 2－y 21b 2＝1且x 22a 2－y 22
b 2＝1
得：y 2－y 1x 2－x 1＝b 2x 2＋x 1a 2y 2＋y 1＝4b 2a 2，又k ＝1，∴4b 2a 2＝1即：b a ＝±1
2
.
即双曲线渐近线方程为：y ＝±12
x .
答案：y ＝±1
2
x
15．函数f (x )＝ax 4－4ax 3＋b (a >0)，x ∈[1,4]，f (x )最大值为3，最小值为－6，那么a ＋b ＝________.
解析：f ′(x )＝4ax 3－12ax 2.
令f ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)，或x ＝3. 所以f (x )最小值为f (3)＝b －27a . 又f (1)＝b －3a ，f (4)＝b ， ∴f (4)为最大值，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝3，b －27a ＝－6，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝13，
b ＝3，
∴a ＋b ＝10
3
.
答案：103
16. [2021·湖北省襄阳五中月考]函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )，给出以下命题：①假设a 2－b ≤0，那么f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；②假设a 2－b >0，那么f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；③当x ＝a 时，f (x )有最小值b －a 2；④当a 2－b ≤0时，f (x )有最小值
b －a 2.其中正确命题序号是________．
解析：此题考察含绝对值二次函数单调区间与最小值问题求解．由题意知f (x )＝|x 2－2ax ＋b |＝|(x －a )2＋b －a 2|.假设a 2－
b ≤0，那么f (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|＝(x －a )2＋b －a 2，可知f (x )在
区间[a ，＋∞)上是增函数，所以①正确，②错误；只有在a 2－b ≤0
条件下，才有x ＝a 时，f (x )有最小值b －a 2，所以③错误，④正确．
答案：①④
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)(1)设集合M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x <3}，那么“x ∈M 或x ∈P 〞是“x ∈(M ∩P )〞什么条件？
(2)求使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立充要条件． 解：(1)x ∈R ，x ∈(M ∩P )⇔x ∈(2,3)． 因为“x ∈M 或x ∈P 〞x ∈(M ∩P )． 但x ∈(M ∩P )⇒x ∈M 或x ∈P .
故“x ∈M 或x ∈P 〞是“x ∈(M ∩P )〞必要不充分条件． (2)当m ≠0时，不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立⇔
⎩⎪⎨
⎪⎧
4m <0Δ＝4m 2
＋16m <0
⇔－4<m <0.
又当m ＝0时，不等式4mx 2－2mx －1<0对x ∈R 恒成立， 故使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立充要条件是－4<m ≤0. 18．(12分)[2021·山西忻州联考]设函数f (x )＝x e x
－x (a
2
x ＋1)
＋2.
(1)假设a ＝1，求f (x )单调区间；
(2)当x ≥0时，f (x )≥x 2－x ＋2恒成立，求a 取值范围． 解：(1)∵a ＝1，∴f (x )＝x e x
－x (12x ＋1)＋2＝x e x
－12
x 2
－x ＋2，
∴f ′(x )＝(e x －1)(x ＋1)，∴当－1<x <0时，f ′(x )<0；
当x <－1或x >0时，f ′(x )>0，
∴f (x )在(－1,0)上单调递减，在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增．
(2)由f (x )≥x 2
－x ＋2，得x (e x
－a ＋22x )≥0，即要满足e x
≥
a ＋22
x ，
当x ＝0时，显然成立；当x >0时，即e x x ≥a ＋22，记g (x )＝e x x ，
那么g ′(x )＝e x x －1
x
2
， 易知g (x )最小值为g (1)＝e ，∴
a ＋2
2
≤e，得a ≤2(e－1)．
19．(12分)设直线l ：y ＝x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)相交于
A ，
B 两个不同点，l 与x 轴相交于点F .
(1)证明：a 2＋b 2>1；
(2)假设F 是椭圆一个焦点，且AF
→＝2FB →，求椭圆方程．
(1)证明：将x ＝y －1代入x 2a 2＋y 2
b 2＝1，消去x ，整理，得(a 2＋
b 2)y 2－2b 2y ＋b 2(1－a 2)＝0.
由直线l 与椭圆相交于两个不同点，得
Δ＝4b 4－4b 2(a 2＋b 2)(1－a 2)＝4a 2b 2(a 2＋b 2－1)>0，所以a 2＋b 2>1.
(2)解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
那么(a 2＋b 2)y 21－2b 2y 1＋b 2(1－a 2
)＝0，① 且(a 2＋b 2)y 22－2b 2y 2＋b 2(1－a 2)＝0.②
因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2
. 将y 1＝－2y 2代入①，与②联立，消去y 2，整理得(a 2＋b 2)(a 2－1)＝8b 2.③
因为F 是椭圆一个焦点，那么有b 2＝a 2－1. 将其代入③式，解得a 2
＝92，b 2
＝72
，
所以椭圆方程为2x 29＋2y 2
7
＝1.
20．(12分)两点M (－1,0)、N (1,0)，动点P (x ，y )满足|MN →|·|NP →|－MN
→·MP →＝0，
(1)求点P 轨迹C 方程；
(2)假设P 1、P 2是轨迹C 上两个不同点，F (1,0)，λ∈R ，FP 1
→＝λFP 2→，求证：1|FP 1→| ＋1|FP 2→|
＝1.
解：(1)|MN →|＝2，那么MP →＝(x ＋1，y )，
NP
→＝(x －1，y )． 由|MN →||NP →|－MN →·MP →＝0， 那么2
x －1
2
＋y 2－2(x ＋1)＝0，
化简整理得y 2＝4x .
(2)由FP 1→＝λ·FP 2→，得F 、P 1、P 2
三点共线，
设P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，斜率存在时，直线P 1P 2方程为：y ＝k (x －1)．
代入y 2＝4x 得：k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0. 那么x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k
2
. ∴1|FP 1→| ＋1|FP 2
→| ＝1x 1＋1＋1x 2＋1 ＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1
＝1. 当P 1P 2垂直x 轴时，结论照样成立．
21．(12分)[2021·吉林长春调研]函数f (x )＝(3x 2－6x ＋6)e x
－x 3.
(1)求f (x )单调区间与极值；
(2)假设x 1≠x 2，满足f (x 1)＝f (x 2)，求证：x 1＋x 2<0. 解：(1)∵f ′(x )＝3x 2e x －3x 2＝3x 2(e x －1)， ∴当x >0时，f ′(x )>0；当x <0时，f ′(x )<0.
那么f (x )单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)． ∴f (x )在x ＝0处取得极小值f (0)＝6，无极大值． (2)f (x 1)＝f (x 2)且x 1≠x 2，由(1)可知x 1，x 2异号． 不妨设x 1<0，x 2>0，那么－x 1>0.
令g (x )＝f (x )－f (－x )＝(3x 2－6x ＋6)e x －(3x 2＋6x ＋6)·e －x －2x 3，
那么g ′(x )＝3x 2e x ＋3x 2e －x －6x 2＝3x 2(e x ＋e －x －2)≥0， ∴g (x )在R 上是增函数．
又g (x 1)＝f (x 1)－f (－x 1)<g (0)＝0， ∴f (x 2)＝f (x 1)<f (－x 1)，
又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴x 2<－x 1，即x 1＋x 2<0.
22．(12分)[2021·四川高考]椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)焦距
为4，其短轴两个端点与长轴一个端点构成正三角形．
(1)求椭圆C 标准方程；
(2)设F 为椭圆C 左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，求F 作TF 垂线交椭圆C 于点P ，Q .
①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)； ②当|TF ||PQ |
最小时，求点T 坐标．
解：(1)由可得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 2＋
b 2＝2b ，
2c ＝2a 2－b 2＝4，
解得a 2＝6，b 2＝2，
所以椭圆C 标准方程是x 26＋y 2
2
＝1. (2)①由(1)可得，F 坐标是(－2,0)，设T 点坐标为(－3，m )，那么直线TF 斜率k TF ＝
m －0
－3－－2
＝－m .
当m ≠0时，直线PQ 斜率k PQ ＝1
m
，直线PQ 方程是x ＝my －
2.
当m ＝0时，直线PQ 方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2形式． 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 方程与椭圆C 方程联立，
得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝my －2，x 26＋y
2
2＝1，
消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0， 其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0. 所以y 1＋y 2＝4m m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3，
x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12
m 2＋3
.
所以PQ 中点M 坐标为(－6m 2＋3，2m
m 2＋3)，
所以直线OM 斜率k OM ＝－m
3
.
又直线OT 斜率k OT ＝－m
3，所以点M 在直线OT 上，因此OT
平分线段PQ .
②由①可得， |TF |＝m 2＋1， |PQ |＝
x 1－x 2
2
＋y 1－y 2
2
＝m 2＋1[y 1＋y 22
－4y 1y 2]
＝
m 2
＋1
[
4m m 2＋32
－4·－2
m 2＋3
]
＝
24m 2＋1m 2＋3.
所以|TF ||PQ |＝
124·m 2＋32
m 2＋1
＝
124
·m 2
＋1＋4m 2＋1＋4≥
124·4＋4＝3
3
.
当且仅当m 2
＋1＝4m 2＋1即m ＝±1时，等号成立，此时⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪TF PQ 取得最小值．
所以当⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪
TF PQ 最小时，T 点坐标是(－3,1)或(－3，－1)．。