2010届高考数学热点：平面向量

平面向量
很多同学都觉得平面向量很容易，是高考中的容易题，不错，表面看了确实如此，但是向量作为中学数学中的一个重要工具在三角、函数、导数、解几、立几等问题中有着广泛的应用，也是连结高中各块知识的纽带之一，处处闪现着各种数学思想，特别是数形结合思想。

本专题会在突出基础知识和基础题型的前提下，进一步强化平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高考生的分析问题与综合运用知识解决问题的能力，使考生站在新的高度来认识和理解向量。

我们先来分析一下解析几何高考的命题趋势：
（1）题型稳定：近几年来高考平面向量试题一直稳定在1-2个小题上，分值约为10分左右，占总分值的8%左右，但是如果把向量与其他知识结合的综合题目，分值会大的多。

（2）数学高考命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交互渗透，在知识网络的交汇点设计试题．由于向量具有代数和几何的双重身份，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项知识的媒介．因此，平面向量与其他知识的结合特别是与解析几何的交汇、融合仍将是高考命题的一大趋势，同时它仍将是近几年高考的热点内容．
①向量在高考中出现的题型多以选择、填空题为主，重点考查向量的相关概念，向量平行、垂直的充要条件，向量的数量积的定义及代数运算、坐标运算。

②出现了少量的解答题，与解几、函数、三角综合为主，主要考查向量的几何特性及向量的工具作用。

（4）题型新颖，位置不定：近几年平面向量试题的难度有所上升，选择题、填空题均属易中等题，个别试题和函数结合较难，是客观题中的难题。

强调向量与相关知识的联系（如三角函数、函数、方程、不等式等），凸现平面向量的工具性。

突出考查平面向量的数形结合思想。

在近年高考中，对平面向量内容的考查的主要知识点和题型有：
1、向量的概念：
①向量：②零向量：③单位向量：④平行向量（共线向量）⑤相等向量：.
2、向量加法：设,AB a BC b ==，则a
+b =AB BC +=AC . （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律；
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：
3、向量的减法 ：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，记作：)(b a b a -+=-，求
两个向量差的运算，叫做向量的减法，③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终
点的向量（a 、b 有共同起点）4、实数与向量的积：
①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a ⋅=λλ；
（Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a
的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的.②数乘向量满足交换律、结合律与分配律.
5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ.
6、平面向量的基本定理：
如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
７、两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ叫做a 与b 的数量积（或内积）规定00a ⋅=.
８、向量的模与平方的关系：22
||a a a a ⋅==. ()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-；()2222a b a a b b ±=±⋅+222a a b b =±⋅+ ９、平面向量数量积的运算律：
①交换律成立：a b b a ⋅=⋅②对 实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈ ③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()
c a b =⋅±
特别注意：（1）结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅；（2）消去律不成立a b a c ⋅=⋅不
能得到b c =⋅
（3）a b ⋅=0不能得到a =0或b =0. 10、两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =1212x x y y +.
11、向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ（001800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹
角.cos θ=cos ,a b
a b a b •<>=•=22
2221212
121y x y x y y x x +⋅++. 当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800
，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题.
12、垂直：如果a 与b 的夹角为900
则称a 与b 垂直，记作a ⊥b . 13、两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b ＝O ⇔02121=+y y x x
充分认识平面向量的具有几何形式和代数形式的双重身份，是数形结合的重要体现.在基础知识复习时要注意向量考察的层次，分层次进行复习:
第一层次：复习好向量本身的内容，包括平面向量的主要概念，主要运算，和、差、
数乘、内积的运算法则，定律，几何意义及应用
第二层次：平面向量本身的综合，特别是平面向量的坐标表示，线性运算，基本定
理以及内积的应用，及课本例题、习题的教学价值。

第三层次：平面向量与其它知识的综合
平面向量有几何和代数两种形式，而它们之间的桥梁就是平面直角坐标系，
实际上向量是解析几何的内容，它把数形很好的结合在一起，这正是数学学习中一个重要的思想方法，高考中除了对平面向量本身的概念、运算加以考查外，更重要的是与其他知识的联系，即用向量知识来解决代数、几何等综合问题。

一、选择题（每小题 5 分）
1.(2009年某某卷文)已知平面向量a =,1x （）
，b =2
,x x （－）， 则向量+a b A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于y 轴
D.平行于第二、四象限的角平分线
【答案】
【解析】+a b 2(0,1)x =+,由210x +≠及向量的性质可知,C 正确. 2.（2008全国一3）在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）
A ．2133
+b c B ．5233-c b C ．2133-b c D ．1233+b c 解析：A. 由()
2AD AB AC AD -=-，322AD AB AC c b =+=+，1233AD c b =+； 3.（2009某某卷理）一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知1F ，2F 成0
60角，且1F ，2F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为
A. 6
B. 2
C. 【解析】28)60180cos(20021222123=--+=F F F F F ，所以723=F ，选
D. 4.（2008某某卷3）．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =，(1,3)AC =,则BD =（ ）
A ．（－2，－4）
B ．（－3，－5）
C ．（3，5）
D ．（2，4） 解析：因为)5,3(,)1,1(--=-==--=-=AB AD BD AD AB AC BC ，选B 。

5.（2009某某卷理）设向量a ，b 满足：||3=a ，||4=b ，0⋅=a b ．以a ，b ，-a b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ( )A ．3B ．4 C ．5 D ．6
答案：C
【解析】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现．
6.（2008某某卷7）设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD =2,CE EA =2,AF FB =则AD BE CF ++与BC ( )
A.反向平行
B.同向平行
C.互相垂直
D.既不平行也不垂直
解析： 由定比分点的向量式得:212,1233
AC AB AD AC AB +==++ 12,33BE BC BA =+12,33
CF CA CB =+以上三式相加得 1,3
AD BE CF BC ++=-所以选A. 7.（2009某某卷文）已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c =（ ）A ．77(,)93 B ．77(,)39-- C ．77(,)39 D ．77(,)93--【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用．
【解析】不妨设(,)C m n =，则()1,2,(3,1)a c m n a b +=+++=-，对于()//c a b +，则有3(1)2(2)m n -+=+；又()c a b ⊥+，则有30m n -=，则有7
7,93
m n =-=- 8.（2009卷文）已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d ，那
么
A ．1k =且c 与d 同向
B ．1k =且c 与d 反向
C ．1k =-且c 与d 同向
D ．1k =-且c 与d 反向
【答案】D
【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考
查.∵a ()1,0=，b ()0,1=，若1k =，则c =a +b ()1,1=，d =a -b ()1,1=-，
显然，a 与b 不平行，排除A 、B.
若1k =-，则c =-a +b ()1,1=-，d =-a +b ()1,1=--，
即c //d 且c 与d 反向，排除C ，故选D.
8.（2008某某卷7)若过两点P 1(-1,2),P 2(5,6)的直线与x 轴相交于点P ，则点P 分有向线段12PP 所成的比λ的值为A
(A)－13 (B) －15 (C) 15 (D)13
解析：设点(,0)P x ，则021603λ-==--，选 A 9.（2009卷文）设D 是正123PP P ∆及其内部的点构成的集合，点0P 是123PP P ∆的中心，若集合0{|,||||,1,2,3}i S P P D PP PP i =∈≤=，则集合
S 表示的平面区域是
( )
A ． 三角形区域
B ．四边形区域
C ． 五边形区域
D ．六边形区域 【答案】D
【解析】本题主要考查集合与平面几何基础知识.本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及
学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力.
属于创新题型.
如图，A 、B 、C 、D 、E 、F 为各边三等分点，答案是集合S
为六边形ABCDEF ，其中，()021
,3i P A P A PA i =≤= 即点P 可以是点A.
10.（2009卷理）已知向量a 、b 不共线，
c k =a +b (k ∈R ),
d =a -b ,如果c //d ，那么 （ ）
A ．1k =且c 与d 同向
B ．1k =且c 与d 反向
C ．1k =-且c 与d 同向
D ．1k =-且c 与d 反向
【答案】D
【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考
查.
取a ()1,0=，b ()0,1=，若1k =，则c =a +b ()1,1=，d =a -b ()1,1=-，
显然，a 与b 不平行，排除A 、B.
若1k =-，则c =-a +b ()1,1=-，d =-a +b ()1,1=--，
即c //d 且c 与d 反向，排除C ，故选D.
12.（2008某某卷9）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足0)()(=-⋅-c b c a ,则c 的最大值是C
（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）2
2 解析：本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题。

||||1,0,a b a b ==⋅=
展开2()()0||()||||cos ,a c b c c c a b c a b θ-⋅-=⇒=⋅+=⋅+
||||cos ,c a b θθ∴=+=则c 的最大值是2;
或者利用数形结合,a ，b 对应的点A,B 在圆22
1x y +=上, c 对应的点C 在圆222x y +=上即可.
13.(2009某某卷理)设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ）
A.0PA PB +=
B.0PC PA +=
C.0PB PC +=
D.0PA PB PC ++=
【解析】:因为2BC BA BP +=，所以点P 为线段AC 的中点，所以应该选B 。

答案：B 。

【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，
可以借助图形解答。

14.（2009全国卷Ⅱ文）已知向量a = (2,1)， a ·b = 10，︱a + b ︱=b ︱=
（A （B （C ）5 （D ）25
答案：C
解析：本题考查平面向量数量积运算和性质，由a b +=a+b ）2=a 2+b 2
+2ab=50，得|b|=5 选C 。

15.（2008某某卷5）已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=，则OC =（ ）
A ．2OA O
B - B ．2OA OB -+
C ．2133OA OB -
D ．1
233
OA OB -+ 解析：本小题主要考查平面向量的基本定理。

依题22().OC OB BC OB AC OB OC OA =+=+=+-∴2.OC OA OB =-
16.（2009全国卷Ⅰ理）设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c b c -•-的最小
值为 ( D )
（A ）2- （B 22- （C ）1- (D)12-
解:,,a b c 是单位向量()()2()a c b c a b a b c c
∴-•-=-++
|||12cos ,121|a b c a b c +=-<=-+>≥- D.17.(2009某某卷理)已知
{|(1,0)(0,1),},{|(1,1)(1,1),}P a a m m R Q b b n n R ==+∈==+-∈是两个向量集合，则P Q =
A ．｛〔1，1〕｝ B. ｛〔-1，1〕｝C. ｛〔1，0〕｝ D. ｛〔0，1〕｝
【答案】A
【解析】因为(1,) (1,1)a m b n n ==-+代入选项可得(){}1,1P Q ⋂=故选A.
18.（2008某某卷8）将函数21x y =+的图象按向量a 平移得到函数12
x y +=的图象，则（ ）
A ．(11)=--，a
B ．(11)=-，a
C ．(11)=，a
D ．(11)=-，a
解析：本小题主要考查函数图像的平移与向量的关系问题。

依题由函数21x y =+的图象得
到函数12x y +=的图象，需将函数21x
y =+的图象向左平移1个单位，向下平移1个单位；故(11).=--，
a 选A
19.（2009全国卷Ⅱ理）已知向量()2,1,10,||a a b a b =⋅=+=||b =
C.5
D. 25 解：222250||||2||520||a b a a b b b =+=++=++||5b ∴=。

故选C
20.（2009某某卷理）平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b = 则2a b +=
（A 【解析】由已知|a|＝2,|a ＋2b|2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2
＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12
∴2a b +=【答案】B
21.（2009某某某某卷理）已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且
,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PC PA •=•=•，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的
（A ）重心 外心 垂心 （B ）重心 外心 内心
（C ）外心 重心 垂心 （D ）外心 重心 内心
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
解析：
,0OA OB OC O ABC NA NB NC O ABC ==∆++=∆由知为的外心；由知，为的重心;
()00,,
,.PA PB PB PC PA PC PB CA PB CA PB AP BC P C •=•∴-•=∴•=∴⊥⊥∴∆，，同理，为ABC 的垂心，选
22.（2009某某卷文）若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=
A.3a+b
B. 3a-b
C.-a+3b
D. a+3b
【答案】B
【解析】由计算可得(4,2)3c c b ==-故选B
二、填空题（每小题 5 分）
23.（2008某某卷15）关于平面向量，，a b c ．有下列三个命题： ①若a b =a c ，则=b c ．②若(1)(26)k ==-，，，a b ，∥a b ，则3k =-． ③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为60．
其中真命题的序号为．（写出所有真命题的序号）
解析：①()0a b a c a b c ⋅=⋅⇒⋅-=，向量a 与b c -垂直
②∥a b b a λ⇒=126
k ⇒=-3k ⇒=- ③||||||==-a b a b ,,a b a b ⇒-构成等边三角形，a 与+a b 的夹角应为30
所以真命题只有②。

24.（2008全国二13）设向量(1
2)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ．
解析：λ+a b ＝)32,2(++λλ则向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线27
4322=⇒--=++⇔λλλ 25.（2008卷10）已知向量a 与b 的夹角为120，且4==a b ，那么(2)+b a b 的值为 ．
【标准答案】: 0
【试题分析】: 利用数形结合知，向量a 与2a+b 垂直。

【高考考点】: 向量运算的几何意义
【易错提醒】: 如果使用直接法，易出现计算错误。

【备考提示】: 向量的共线、平行、垂直、构成特殊三角形、特殊四边形等希望引起考生注意。

26.（2008某某卷14）已知平面向量(2,4)a =，(1,2)b =-．若()c a a b b =-⋅，则||c =_____________．28
解析：令AB a =，AD b =，
则(1,2)(2,0),(1,2)(3,2)
a b a b a b ⎧+=⎪⇒==-⎨-+=-⎪⎩ 所以()3AD AC b a b ⋅=⋅+=.
27.（2008某某卷13）直角坐标平面上三点(1,2)(3,2)(9,7)A B C -、、，若E F 、为线段BC 的三等分点，则AE AF ⋅=．22
解析：由已知得(5,1),(7,4)E F ,则(4,1)(6,2)22AE AF ⋅=-⋅-=
28.（2008某某卷11）已知a >0，若平面内三点A （1，-a ），B （2，2a ），C （3，3a ）共线，则a =________。

12+解析：本小题主要考查三点共线问题。

2(1,),AB a a =+32(1,),BC a a =-
2322210,a a a a a a ⇒+=-⇒--=12a ∴=+舍负).
29．（2008某某卷13）已知向量(0,1,1)a =-，(4,1,0)b =，
||29a b λ+=且0λ>，则λ=
_____3
解析：由题意(4,1,)λ+-λλa b =22
16(1)29(0)λλλ⇒+-+=>3λ⇒=
30.（2009某某卷文）已知向量(3,1)a =，(1,3)b =，(,2)c k =，若()a c b -⊥则k =． 答案：0
【解析】因为(3,1),a c k -=--所以0k =.
31.（2009某某卷理）已知向量(3,1)a =，(1,3)b =，(,7)c k =，若()a c -∥b ，则k =． 答案：5 【解析】
36
513
k k --=⇒= 32.（2009某某卷文）如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，AD x AB y AC =+，
则 x =31+
y =3
图2
解:作DF AB ⊥,设12AB AC BC DE ==⇒==60DEB ∠=,6
BD ∴=
由45DBF ∠=解得623DF BF ==
=故31x =3y = 33.（2009某某卷文）在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC,AD ∥BC,已知点
A(－2，0)，B （6，8），C(8,6),则D 点的坐标为___________. 【解析】平行四边形ABCD 中,OB OD OA OC +=+ ∴OD OA OC OB =+-＝(－2,0)＋(8,6)－(6,8)＝(0,－2) 即D 点坐标为(0,－2) 【答案】（0，－2） 三．解答题
34.（2009某某卷理）(本小题满分12分）
已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直，其中(0,
)2
π
θ∈．
（1）求θsin 和θcos 的值； （2
）若sin(),0102
π
θϕϕ-=
<<，求cos ϕ的值． 解：（1）∵a 与b 互相垂直，则0cos 2sin =-=⋅θθb a ，即θθcos 2sin =，代入
1cos sin 22=+θθ得55cos ,552sin ±=±
=θθ，又(0,)2
π
θ∈， ∴5
5cos ,552sin ==
θθ. （2）∵2
0πϕ<
<，2
0πθ<
<，∴2
2
π
ϕθπ
<
-<-
，
则10
10
3)(sin 1)cos(2
=
--=-ϕθϕθ， ∴cos ϕ2
2)sin(sin )cos(cos )](cos[=-+-=--=ϕθθϕθθϕθθ. 35.（2009某某卷文）（本小题满分12分）
已知椭圆22
21(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12F F 、
，离心率e =，右准
线方程为2x =。

（I ）求椭圆的标准方程；
（II ）过点1F 的直线l 与该椭圆交于M N 、两点，且2223
F M F N +=，求直线l 的方
程。

【解析】（I ）由已知得2
22⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪
⎩c a a c
，解得
1==a c
∴1==b
∴ 所求椭圆的方程为2
212
+=x y （II ）由（I ）得1(1,0)-F 、2(1,0)F
①若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为1=-x ，由22
1
1
2
=-⎧⎪
⎨+=⎪⎩x x y
得2=±y
设(1,
2-M
、(1,2
--N ，
∴22((2,(4,0)4+=-+-=-=F M F N ，这与已知相矛盾。

②若直线l 的斜率存在，设直线直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为(1)=+y k x ， 设11(,)M x y 、22(,)N x y ，
联立22
(1)
12
=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y k x x y ，消元得2222
(12)4220+++-=k x k x k
∴22121222
422
,1212--+==++k k x x x x k k
， ∴12122
2(2)12+=++=
+k
y y k x x k ，
又∵211222(1,),(1,)=-=-F M x y F N x y ∴221212(2,)+=+-+F M
F N x x
y y
∴22(3+===F M F N x 化简得4
2
4023170--=k k 解得2
217
140
或(舍去)==-k k ∴1=±k
∴ 所求直线l 的方程为11或=+=--y x y x。