数学高考综合能力题选讲26南海实验学校

建构数列模型的应用性问题
100080
北京中国人民大学附中
梁丽平
题型展望
数列作为特别的函数，在高中数学中据有相当重要的地点，波及实质应用的问题宽泛而多样，如：增添率、银行信贷等．解答这一类问题，要充足应用察看、概括、猜想的手段，注意此间的递推关系，成立出等差、等比、或递推数列的模型．
成立数列的递推关系来解题将有可能成为高考命题改革的一个方向．
典范选讲
例 1．某县位于荒漠边沿，当地居民与风沙进行着艰辛的斗争，到 2000 年终全县的绿地已占全县总
面积的 30%．从 2001 年起，市政府决定加大植树造林、开拓绿地的力度，则每年有 16%的原荒漠地带变
成了绿地，但同时，原有绿地的 4%又被侵害，变为了荒漠．
（Ⅰ） 在这类政策之下，能否有可能在未来的某一年，全县绿地面积超出 80%？
（Ⅱ） 起码在多少年终，该县的绿地面积才能超出全县总面积的 60%？
解说：此题为实质问题，第一应当读懂题意，搞清研究对象，而后把它转变为数学识题．不难看出，这是一道数列型应用问题．所以，我们能够设：
全县面积为 1，记 2000 年终的全县绿地面积占总面积的百分比为 a 0 ，经过 n 年后全县绿地面积占总
面积的百分比为 a n ，则我们所要回答的问题就是：
（Ⅰ）能否存在自然数 n ，使得 a n >80% ？ （Ⅱ）求使得 a n >60%成立的最小的自然数 n . 为认识决这些问题，我们能够依据题意，列出数列
a n 的相邻项之间的函数关系，而后由此递推公
式出发，想法求出这个数列的通项公式．
由题可知： a 0
30% 3 ，
10
4
a n
4
a
n 1
1 4% a n 16% 1 a n
5
25
所以，当 n 1时， a n
4
a n 1
4
，两式作差得：
5
25
a
n 1
a n
4
a n
a
n 1
5
又 a 1 a 0
4
a 0
4 a 0 4
1
a 0
1 ，
5
25
25 5
10
所以，数列 a n
a n 1
是以 a 1 a 0
1 为首项，以
4
为公比的等比数列．
10
5
所以， a n
a n
a
n 1
a
n 1
a n 2 L
a 1 a 0
a 0
1 (1 ( 4 )n )
3 4 1 4
10
5
) n
4
10
5
2 (
5
1
5
由上式可知：关于随意 n
N ，均有
a n 4
．即全县绿地面积不行能超出总面积的
．
5
80%
（Ⅱ）令 a n
3
，得 ( 4
)n 2 ，
5
5
5 ( 4
)n 随 n 的增大而单一递减，所以，我们只要从 n
由指数函数的性质可知：
g n
0 开始考证，直
5
到找到第一个使得 ( 4 )
n
2
的自然数 n 即为所求．
5
5
可知：当 n 0,1,2,3,4 ，均有 ( 4
)n
2
，而当 n 5 ，(
4
)n0.32768 2 ，5555
由指数函数的性可知：当n 5 ，均有(4
)n 2 ．55
所以，从 2000 年终开始， 5 年后，即 2005 年终，全地面才开始超面的60%．
点：（Ⅱ）中，也可通估的方法来确立n 的．
例 2．某人划年初向行款 10 万元用于房．他 10 年期款，款的方式：分 10 次等，每年一次，并从借后次年年初开始，若 10 年期款的年利率 4％，且每年利息均按复利算（即今年的利息入次年的本金生息），每年多少元（精准到 1 元）？
解：作解决个的第一步，我第一需要明确的是：假如不考其余要素，同样款的
在不一样期的价是不一样的．比方：在的10 元，其价大于 1 年后的 10 元．原由在于：
在的 10 元，在 1 年的内要生利息．
在此基上，个，有两种思虑的方法：
法 1．假如注意到依据款的定，在款所有清， 10 万元款的价，与个人款的价相等．我能够考把所有的款都化到同一（即款所有付清）去算．
10万元，在 10 年后（即款所有付清）的价105 1
10 4% 元．
每年款 x 元．第 1 次的 x 元，在款所有付清的价 x 14%9 ；
第2 次的 x 元，在款所有付清的价 x 1
8
；4%
⋯⋯；
第 10 次的 x 元，在款所有付清的价x 元．于是：
105× (1+4％ ) 10= x(1+4 ％) 9+x(1 ＋4％) 8＋x(1 ＋ 4％ ) 7+⋯ +x
10
1.04-1
由等比数列乞降公式可得：105 1.0410 =x ．此中
1.0410 =(1+0.04) 10 =1+100.04+45 0.042 +120 0.043 +210 0.044 + L 1.4802
所以， x105 1.48020.04
=12330
0.4802
法 2．从另一个角度思虑，我能够分步算．考个人在每年款后欠行多少．
仍旧每年款 x 元．第一年款后，欠行的余：105 14% x 元；
假如第 k 年款后，欠行的余a k元， a k a k 1 14%x ．
不得出： a10＝105×(1+4％)10－x(1+4％)9－x(1＋4％)8－x(1＋4％)7－⋯－x
另一方面，按道理，第10 次款后，个人已把款所有清了，故有a100 ．由此布列方程，获得同的果．
点：存、款典型的数列用，解决的关在于： 1．分清利、复利（即等差与等比）； 2．找好的切入点（如本的两种不一样的思虑方法），适合化．
例 3．将四形的每条都涂以、黄、三种色中的一种，要使得相的的色互不同样，有多少种不一样
的涂色方法？
解：本从表面上看是摆列合的，与数列没相关系，但直接考其实不，此，我考更一般的（即于
n 形的涂色），并建构以下推数列的模型：
n 形（各挨次a1 ,a2 ,⋯, a n）足条件的涂色方法有b n种．考n＋1形的涂法：
从 a1开始考，于a1，有3种涂法；于 a2，因为要不一样于a1，故有2种涂法；⋯⋯；
于 a n，有2种涂法；最后考 a n 1，假如不考条能否与 a1同色，也有2种涂法，故涂法种数 3 2n．
上述涂色的方法中，包含两种，第一种是边 a n 1与边 a 1 的颜色不一样，这类涂色方法恰巧切合题意，
其
总数应当为 b n 1 ；第二种是边 a n 1与边 a 1 的颜色同样，关于这一种涂色方法，假如我们把边
a n 1与边 a 1 看
作是同一条边，则其涂色方法也知足题目中关于
n 边形的要求，故涂色方法总数应当为
b n ．由此，不难
得出：
b n 1 b n 3 2n ．
所以， b n 1 b n 1 3 2n 1 ．另一方面，明显有 b 3 3 2
1 6 ．所以，
b
2 k
1
b
2 k 1
b
2k 1
b
2 k 1
b
2k 3
L b 5 b 3 b 3
3 22k 1
3 22k 3 L 3 23 3 2 22 k 1
2
b 2k 3 22k
b 2k
1
22k
2 ， k
N ,且 k 2
明显， b 4 18 ．
评论：此题的难点在于递推数列模型的成立．一般来说，数列型应用题的特色是：与
n 相关．
高考真题
1. （1999 年全国高考）右图为一台冷轧机的示
企图．冷轧机由若
干对轧辊构成，带钢从一端输入，经过各对 轧辊逐渐减薄后输
出．
（Ⅰ）输入带钢的厚度为 ，输出带钢的厚度为
，若每对轧辊的减薄率不超出 r 0 ．问冷轧机起码
需要安装多少对轧辊？
输入该对的带钢厚度 从该对输出的带钢厚度
( 一对轧辊减薄率
输入该对的带钢厚度
)
（Ⅱ）已知一台冷轧机共有 4 对减薄率为 20％的轧辊，所有轧辊周长均为 1600mm ．若第 k 对轧辊有
缺点，每转动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为
L k ．为了便于检
修，请计算 L 1、 L 2、 L 3 并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑消耗）
轧锟序号 k
1
2
3 4 疵点间距 L k ( 单位： mm )
1600
2. (2001 年全国高考 ) 从社会效益和经济效益出发， 某地投入资本进行生态环境建设， 并以此发展旅行
家产，依据规划，今年度投入
800 万元，此后每年投入将比上一年减少
1
．今年度当地旅行业收入
5
估计为 400 万元，因为该项建设对旅行业的促使作用，估计此后的旅行业收入每年会比上一年增添
1 ．
4
（Ⅰ）设 n 年内（今年度为第一年） 总投入为 a n 万元，旅行业总收入为 b n 万元，写出 a n ,b n 的表达式．
（Ⅱ）起码经过几年，旅行业的总收入才能超出总投入？
3. （2002 年全国高考）某城市 2001 年终汽车保有量为 30 万辆，估计此后每年报废上一年终汽车保有
量的 6%，而且每年新增汽车数目同样，为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超出
60 万辆，那
么每年新增汽车数目不该超出多少辆？
[ 答 案 与 提 示 ： 1 ．（ Ⅰ ） 至 少 需 要 安 装 不 小 于
lg
lg
的整数对轧辊；（Ⅱ）
lg 1 r 0
L 1
3125, L 2 2500, L 3 2000 ． 2 ．（Ⅰ）a n
4000 1 ( 4
) n ，b n
1600 (5 ) n 1 ；（Ⅱ）5 年． 3 ．每
5
4
年新增汽车数目不该超出万辆]。