人教版七年级初一数学下学期第六章 实数单元提优专项训练试题

人教版七年级初一数学下学期第六章 实数单元提优专项训练试题
一、选择题
1．下列说法错误的是（ ） A ．﹣4是16的平方根 B ．16的算术平方根是2 C ．
116的平方根是14
D ．25＝5
2．计算：1
2
2019(1)(1)(1)-+-++-的值是（ ）
A ．1-
B ．1
C ．2019
D ．2019-
3．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如
a b c ++就是完全对称式(代数式中a 换成b ，b 换成a ，代数式保持不变).下列三个代数
式：①2
()a b -；②ab bc ca ++；③222a b b c c a ++．其中是完全对称式的是（ ） A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③
4．下列实数中是无理数的是（ ） A ．
B ．
C ．0.38
D ．
5．如图，四个有理数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若n+p=0，则m ，n ，p ，q 四个有理数中，绝对值最大的一个是（ ）
A ．p
B ．q
C ．m
D ．n
6．观察下列各等式：
231-+= -5-6+7+8=4
-10-l1-12+13+14+15=9 -17-18-19-20+21+22+23+24=16 ……
根据以上规律可知第11行左起第11个数是（ ） A ．-130
B ．-131
C ．-132
D ．-133
7．如图，数轴上的点E ，F ，M ，N 表示的实数分别为﹣2，2，x ，y ，下列四个式子中结果一定为负数是（ ）
A ．x +y
B ．2+y
C ．x ﹣2
D ．2+x
8．在下列实数：2
π
34、227、﹣1.010010001…中，无理数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
9．若a 、b 为实数，且满足|a －2|2b -0，则b －a 的值为( ) A ．2
B ．0
C ．－2
D ．以上都不对
10．估计20的算术平方根的大小在（ ） A ．2与3之间
B ．3与4之间
C ．4与5之间
D ．5与6之间
二、填空题
11．已知M 是满足不等式36a -<<
的所有整数的和，N 是满足不等式x
≤
372-的最大整数，则M ＋N 的平方根为________． 12．一个数的平方为16，这个数是 ．
13．如果一个有理数a 的平方等于9，那么a 的立方等于_____． 14．若()2
21210a b c -+++-=，则a b c ++=__________．
15．对任意两个实数a ，b 定义新运算：a ⊕b=()
()a a b b a b ≥⎧⎨⎩
若若＜，并且定义新运算程序仍然是
先做括号内的，那么（5⊕2）⊕3=___．
16．定义新运算a ☆b ＝3a ﹣2b ，则（﹣2）☆1＝_____．
17．规定用符号[]x 表示一个实数的整数部分，如[3.65]3,31⎡⎤==⎣⎦，按此规定113⎡⎤-=⎣⎦
_____．
18．设a ，b 都是有理数，规定 3*=+a b a b ，则()()48964***-⎡⎤⎣⎦=__________．
19．下列说法： ①
()
2
10-10-=；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③两条直
线被第三条直线所截，同位角相等；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，其中正确的个数有 ___________ 20．如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为7，我们发现第1次输出的结果为10，第2次输出的结果为5，……，第2019次输出的结果为_____．
三、解答题
21．据说，我国著名数学家华罗庚在一次访问途中，看到飞机邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数32768，它是一个正数的立方，希望求它的立方根，华罗庚不假思索给出了答案，邻座乘客非常惊奇，很想得知其中的奥秘，你知道华罗庚是怎样准确计算出的吗？请按照下面的问题试一试：
（1）由33101000,1001000000==，因为1000327681000000<<332768______位数；
（2）由32768的个位上的数是8332768________，划去32768后面的三位数768得到32，因为3
3
3=27,4=64332768
_____________
(3)已知13824和110592-分别是两个数的立方，仿照上面的计算过程，请计算：
________=
22．在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算法则“⊕”：
a ⊕
b ⊕
c =
2a b c a b c --+++.如：(1)-⊕2⊕3=123(1)23
52
---+-++=.
①根据题意，3⊕(7)-⊕11
3
的值为__________； ②在651128
,,
,,0,,,,7
77999
---这15个数中，任意取三个数作为a ，b ，c 的值，进行“a ⊕b ⊕c ”运算，在所有计算结果中的最大值为__________；最小值为__________．
23．先阅读内容，然后解答问题： 因为：11111111111
1,,12223233434910910
=-=-=-=-⨯⨯⨯⨯ 所以：1111122334910+++⋯+⨯⨯⨯⨯＝1111111122334910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
(1)
111111122334910+-+-+- ＝1﹣
191010
= 问题：（1）请你猜想（化为两个数的差）：1
20152016⨯＝ ；
120142016
⨯＝ ；
（2）若a 、b 为有理数，且|a ﹣1|+（ab ﹣2）2＝0，求
111
(1)(1)(2)(2)ab a b a b +++++++…+1(2018)(2018)
a b ++的值． 24．阅读下列解题过程：
（1
2====；
（2
== 请回答下列问题：
（1）观察上面解题过程,
的结果为__________________．
（2）利用上面所提供的解法，请化简： ......
25．你能找出规律吗？
（1＝，＝；＝，
＝．
“＜”）．
（2）请按找到的规律计算：
；
（3）已知：a，b＝（可以用含a，b的式子表示）．26．阅读下列材料：
问题：如何计算
1111 122334910
++++
⨯⨯⨯⨯
呢？
小明带领的数学活动小组通过探索完成了这道题的计算．他们的解法如下：
解：原式
1111111 (1)()()()
22334910 =-+-+-++-
1
1
10
=-
9
10
=
请根据阅读材料，完成下列问题：
（1）计算：
1111 12233420192020 ++++
⨯⨯⨯⨯
；
（2）计算：1111 26129900 ++++；
（3）利用上述方法，求式子
1111 155********
+++
⨯⨯⨯⨯
的值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
分别根据平方根的定义，算术平方根的定义判断即可得出正确选项．【详解】
A．﹣4是16的平方根，说法正确；
B .2，说法正确；
C .
116的平方根是±1
4
，故原说法错误；
D .，说法正确． 故选：C ． 【点睛】
此题考查了平方根以及算术平方根的定义，熟记相关定义是解题的关键．
2．A
解析：A 【分析】
根据题意，1-的奇数次幂等于1-，1-的偶数次幂等于1，然后两个加数作为一组和为0，即可得到答案. 【详解】
解：∵1-的奇数次幂等于1-，1-的偶数次幂等于1， ∴1
2
2019(1)(1)(1)-+-+
+-
=1234201720182019[(1)(1)][(1)(1)][(1)(1)](1)-+-+-+-++-+-+-
=2019(1)- =1-； 故选：A. 【点睛】
本题考查了数字规律性问题，有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握1-的奇数次幂等于1-，1-的偶数次幂等于1.
3．A
解析：A 【分析】
在正确理解完全对称式的基础上，逐一进行判断，即可得出结论． 【详解】
解：根据信息中的内容知，只要任意两个字母交换，代数式不变，就是完全对称式，则：①（a-b ）2=（b-a ）2；是完全对对称式．故此选项正确．
②将代数式ab+bc+ca 中的任意两个字母交换，代数式不变，故ab+bc+ca 是完全对称式， ab+bc+ca 中ab 对调后ba+ac+cb ，bc 对调后ac+cb+ba ，ac 对调后cb+ba+ac ，都与原式一样，故此选项正确；
③a 2b+b 2c+c 2a 若只ab 对调后b 2a+a 2c+c 2b 与原式不同，只在特殊情况下（ab 相同时）才会与原式的值一样
∴将a 与b 交换，a 2b+b 2c+c 2a 变为ab 2+a 2c+bc 2．故a 2b+b 2c+c 2a 不是完全对称式．故此选项错误，
所以①②是完全对称式，③不是 故选择：A ．
【点睛】
本题是信息题，考查了学生读题做题的能力．正确理解所给信息是解题的关键．
4．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据有理数和无理数的概念解答：无限不循环小数是无理数．
【详解】
解: A、π是无限不循环小数，是无理数；
B、=2是整数，为有理数；
C、0.38为分数，属于有理数；
D. 为分数，属于有理数.
故选：A.
【点睛】
本题考查的是无理数，熟知初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数是解答此题的关键．
5．B
解析：B
【分析】
根据n+p=0可以得到n和p互为相反数，原点在线段PN的中点处，从而可以得到绝对值最大的数．
【详解】
解：∵n+p=0，
∴n和p互为相反数，
∴原点在线段PN的中点处，
∴绝对值最大的一个是Q点对应的q．
故选B．
【点睛】
本题考查了实数与数轴及绝对值．解题的关键是明确数轴的特点．
6．C
解析：C
【分析】
通过观察发现：每一行等式右边的数就是行数的平方，故第n行右边的数就是n的平方，而左起第一个数的绝对值比右侧的数大1，并且左边的项数是行数的2倍，前一半的符号为负，后一半的符号为正．
【详解】
解：第一行：211
=；
第二行：224
=；
第三行：239=； 第四行：2416=； …… 第n 行：2n ； ∴第11行：211121=．
∵左起第一个数的绝对值比右侧的数大1，并且左边的项数是行数的2倍，前一半的符号为负，后一半的符号为正．
∴第11行左起第1个数是-122，第11个数是-132． 故选：C ． 【点睛】
此题主要考查探索数与式的规律，正确找出规律是解题关键．
7．C
解析：C 【分析】
根据点E ，F ，M ，N 表示的实数的位置，计算个代数式即可得到结论． 【详解】
解：∵﹣2＜0＜x ＜2＜y ，
∴x +y ＞0，2+y ＞0，x ﹣2＜0，2+x ＞0， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了实数，以及实数与数轴，弄清题意是解本题的关键．
8．C
解析：C 【分析】
根据“无理数”的定义进行分析判断即可. 【详解】 ∵在实数：
π
2、227
、-1.010010001…中，属于无理数的是：
?-1.010010001
2
π
，
∴上述实数中，属于无理数的有3个. 故选C. 【点睛】
本题考查了无理数，熟记“无理数”的定义：“无限不循环小数叫做无理数”是解答本题的关键.
9．C
解析：C 【详解】
根据绝对值、算术平方根的非负性得a-2=0,20b -=, 所以a=2,b=0. 故b －a 的值为0-2=-2. 故选C.
10．C
解析：C 【解析】
试题分析：∵16＜20＜25， ∴
∴4＜5．
故选C ．
考点：估算无理数的大小．
二、填空题 11．±2 【分析】
首先估计出a 的值，进而得出M 的值，再得出N 的值，再利用平方根的定义得出答案． 【详解】
解：∵M 是满足不等式－的所有整数a 的和， ∴M ＝－1＋0＋1＋2＝2， ∵N 是满足不等式x≤的
解析：±2 【分析】
首先估计出a 的值，进而得出M 的值，再得出N 的值，再利用平方根的定义得出答案． 【详解】
解：∵M a <<a 的和，
∴M ＝－1＋0＋1＋2＝2，
∵N 是满足不等式x ∴N ＝2，
∴M ＋N ＝±2． 故答案为：±2． 【点睛】
此题主要考查了估计无理数的大小，得出M ，N 的值是解题关键．
12．【详解】
解：这个数是 解析：
【详解】 解：
2(4)16,±=∴这个数是4±
13．±27 【分析】
根据a 的平方等于9，先求出a ，再计算a3即可． 【详解】 ∵（±3）2=9，
∴平方等于9的数为±3， 又∵33=27，（-3）3=-27． 故答案为±27． 【点睛】 本题考查了
解析：±27 【分析】
根据a 的平方等于9，先求出a ，再计算a 3即可． 【详解】 ∵（±3）2=9，
∴平方等于9的数为±3， 又∵33=27，（-3）3=-27． 故答案为±27． 【点睛】
本题考查了平方根及有理数的乘方．解题的关键是掌握平方根的概念及有理数乘方的法则.
14．【分析】
先根据绝对值、算术平方根、偶次方的非负性求出a 、b 、c 的值，再代入即可得． 【详解】
由题意得：，解得， 则，
故答案为：． 【点睛】
本题考查了绝对值、算术平方根、偶次方的非负性的应用
解析：1
2
-
【分析】
先根据绝对值、算术平方根、偶次方的非负性求出a 、b 、c 的值，再代入即可得．
【详解】
由题意得：2102010a b c -=⎧⎪
+=⎨⎪-=⎩，解得1221a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪
⎩
，
则()112122a b c ++=+-+=-， 故答案为：12
-． 【点睛】
本题考查了绝对值、算术平方根、偶次方的非负性的应用等知识点，熟练掌握绝对值、算术平方根、偶次方的非负性是解题关键．
15．【分析】
根据“⊕”的含义，以及实数的运算方法，求出算式的值是多少即可． 【详解】 (⊕2)⊕3=⊕3=3， 故答案为3． 【点睛】
本题考查了定义新运算，以及实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关
解析：【分析】
根据“⊕”的含义，以及实数的运算方法，求出算式的值是多少即可． 【详解】
2)⊕
3=3， 故答案为3． 【点睛】
本题考查了定义新运算，以及实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
16．﹣8 【分析】
原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】
解：根据题中的新定义得：（﹣2）☆1＝3×（−2）−2×1＝−6−2＝−8， 故答案为−8. 【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，
解析：﹣8
【分析】
原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
【详解】
解：根据题中的新定义得：（﹣2）☆1＝3×（−2）−2×1＝−6−2＝−8，
故答案为−8.
【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．17．-3
【分析】
先确定的范围，再确定的范围，然后根据题意解答即可．
【详解】
解：∵3＜＜4
∴-3＜＜-2
∴-3
故答案为-3．
【点睛】
本题考查了无理数整数部分的有关计算，确定的范围是解答本解析：-3
【分析】
1⎡⎣的范围，然后根据题意解答即可．
【详解】
解：∵34
∴-3＜1--2
∴1⎡=
⎣-3
故答案为-3．
【点睛】
18．1
【分析】
根据规定，利用算术平方根与立方根的定义计算即可得答案．【详解】
∵，
∴
=（）（）
=（2+2）（3-4）
=4（-1）
=
=2-1
=1．
故答案为：1
【点睛】
本题考查平方
解析：1
【分析】
根据规定，利用算术平方根与立方根的定义计算即可得答案．
【详解】
∵*=a b
∴()()48964***-⎡⎤⎣⎦
=*）
=（2+2）*（3-4）
=4*（-1）
==2-1
=1．
故答案为：1
【点睛】
本题考查平方根与立方根，正确理解规定，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题关键． 19．2个
【分析】
①根据算术平方根的性质即可判定；②根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定；③根据平行线的性质即可判断；根据平行公理的推论对④进行判断；⑤根据无理数的性质即可判定；⑥根据无理数的定义即
解析：2个
【分析】
①根据算术平方根的性质即可判定；②根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定；③根据平行线的性质即可判断；根据平行公理的推论对④进行判断；⑤根据无理数的性质即可判定；⑥根据无理数的定义即可判断．
【详解】
①10
=，故①错误；
②数轴上的点与实数成一一对应关系，故说法正确；
③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；故原说法错误；
④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故原说法错误；
与的和是0，是有理数，故说法错误；
⑥无理数都是无限小数，故说法正确．
故正确的是②⑥共2个．
故答案为：2个．
【点睛】
此题主要考查了有理数、无理数、实数的定义及其关系．有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无
π也是无理数．
20．1
【分析】
分别求出第1次到第7次的输出结果，发现从第4次输出的结果开始，每三次结果开始循环一次，则可确定第2019次输出的结果与第6次输出的结果相同．【详解】
解：x=7时，第1次输出的结果为
解析：1
【分析】
分别求出第1次到第7次的输出结果，发现从第4次输出的结果开始，每三次结果开始循环一次，则可确定第2019次输出的结果与第6次输出的结果相同．
【详解】
解：x=7时，第1次输出的结果为10，
x=10时，第2次输出的结果为1
105 2
⨯=，
x=5时，第3次输出的结果为5+3=8，
x=8时，第4次输出的结果为1
84 2
⨯=，
x=4时，第5次输出的结果为1
42 2
⨯=，
x=2时，第6次输出的结果为1
21 2
⨯=，
x=1时，第7次输出的结果为1+3=4，……，
由此发现，从第4次输出的结果开始，每三次结果开始循环一次，∵(2019﹣3)÷3=672，
∴第2019次输出的结果与第6次输出的结果相同，
∴第2019次输出的结果为1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了程序框图和与实数运算相关的规律题；根据题意，求出一部分输出结果，从而发现结果的循环规律是解题的关键．
三、解答题
21．（1）两；（2）2，3；（3）24，-48．
【分析】
（1）根据题中所给的分析方法先求出这32768的立方根都是两位数；
（2）继续分析求出个位数和十位数即可；
（3）利用（1）（2）中材料中的过程进行分析可得结论．
【详解】
解：（1）由103=1000，1003=1000000，
∵1000＜32768＜100000，
∴10100，
故答案为：两；
（2）∵只有个位数是2的立方数是个位数是8，
2
划去32768后面的三位数768得到32，
因为33=27，43=64，
∵27＜32＜64，
∴3040．
3．
故答案为：2，3；
（3）由103=1000，1003=1000000，
1000＜13824＜1000000，
∴10100，
∵只有个位数是4的立方数是个位数是4，
4
划去13824后面的三位数824得到13，
因为23=8，33=27，
∵8＜13＜27，
∴2030．
；
由103=1000，1003=1000000，
1000＜110592＜1000000，
∴10
100，
∵只有个位数是8的立方数是个位数是2，
8，
划去110592后面的三位数592得到110，
因为43=64，53=125，
∵64＜110＜125，
∴40
50．
；
故答案为：24，-48．
【点睛】
此题考查立方根，解题关键在于理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数．
22．（1）3
（2）53
（3）117
-
【分析】 （1）根据给定的新定义，代入数据即可得出结论；
（2）分a-b-c≥0和a-b-c≤0两种情况考虑，分别代入定义式中找出最大值，比较后即可得出结论．
【详解】
解：①根据题中的新定义得：
3⊕()7-⊕113=()()111137373332
---++-+= ②当a-b-c≥0时，
原式()12
a b c a b c a =
--+++=, 则取a 的最大值，最小值即可，
此时最大值为89，最小值为67
-； 当a-b-c≤0时，
原式()12
a b c a b c b c =-+++++=+， 此时最大值为785993b c +=+=，最小值为6511777b c ⎛⎫⎛⎫+=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ∵
586113977
>>->- ∴综上所述最大值为53，最小值为117
-. 【点睛】 本题考查了有理数的混合运算，读懂题意弄清新定义式的运算是解题的关键．
23．（1）
1120152016-，1140284032-；（2）20192020. 【分析】
（1）根据题目中式子的特点可以写出猜想；
（2）根据|a-1|+（ab-2）2=0，可以取得a 、b 的值，代入然后由规律对数进行拆分，从而可以求得所求式子的值．
【详解】
解：（1）1112015201620152016
=-⨯， 111111()2014201622014201640284032
=⨯-=-⨯， 故答案为：
1120152016-，1140284032
-； （2）∵|a ﹣1|+（ab ﹣2）2＝0，
∴a ﹣1＝0，ab ﹣2＝0，
解得，a ＝1，b ＝2， ∴1111+(1)(1)(2)(2)(2018)(2018)ab a b a b a b +++++++++…… =
111112233420192020
+++⋯+⨯⨯⨯⨯ ＝1﹣1111111+2233420192020+-+-+- (1)
12020 ＝20192020
． 【点睛】
本题考查数字的变化类、非负数的性质、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，求出所求式子的值．
24．（1-2）9
【分析】
（1）利用已知数据变化规律直接得出答案；
（2）利用分母有理化的规律将原式化简进而求出即可.
【详解】
解：（1
==
（2......
=
=-1+10
=9
【点睛】
此题主要考查了分母有理化，正确化简二次根式是解题关键.
25．（1）6，6，20，20，＝，＝；（2）①10，②4；（3）2a b
【分析】
（1)0,0a b =≥≥，据此判断即可．
（2=10===，
4===，据此解答即可．
（3）根据a =b =2a b ==，据此解答即可．
【详解】
解：（1236=⨯=6==；
4520=⨯=20==．
==
故答案为：6，6，20，20，＝，＝；
（210===；
4===；
（3）∵a =b =
2a b =
=， 故答案为：2a b ．
【点睛】
本题考查算数平方根，掌握求一个数算术平方根的方法为解题关键．
26．（1）原式＝2019
2020
（2）原式＝
99
100
（3）原式＝
4
17
【分析】
（1）类比题目中的拆项方法，类比得出答案即可；
（2）先把原式拆分成题（1）原式的样子，再根据（1）的拆项方法，类比得出答案即可；（3）分母是相差4的两个自然数的乘积，类比拆成以两个自然数为分母，分子为1的两个
自然数差的1
4
即可．
【详解】
解：（1）原式＝（1－1
2
）＋（
1
2
－
1
3
）＋（
1
3
－
1
4
）＋……＋（
1
2019
－
1
2020
）
＝1－
1 2020
＝2019 2020
；
（2）原式＝
1111 12233499100 ++++
⨯⨯⨯⨯
＝（1－1
2
）＋（
1
2
－
1
3
）＋（
1
3
－
1
4
）＋……＋（
1
99
－
1
100
）
＝1－
1 100
＝
99 100
（3）原式＝1
4
×（
4444
155********
+++
⨯⨯⨯⨯
）
＝1
4
×（1－
1
5
＋
1
5
－
1
9
＋
1
9
－
1
13
＋
1
13
－
1
17
）
＝1
4
×（1－
1
17
）
＝1
4
×
16
17
＝
4 17
【点睛】
本题考查算式的规律，注意分子、分母的特点，解题的关键是根据规律灵活拆项，并进一步用规律解决问题．。