高考数学复习 简单的线性规划教案-人教版高三全册数学教案

简单的线性规划
一、教学目标
2.经历数形之间的转化，掌握简单的二元线性规划问题的解法
二、重点与难点
1.重点：二元线性规划问题的基本解法
2.难点：将实际问题转化为线性规划问题并探究约束条件和目标函数的几何意义
三、教学方法与手段
问题教学法、启发式教学、探究式学习、多媒体课件辅助教学
四、教学过程
(一).创设情境
（1）提出问题（投影）
考察生产中遇到的一个问题：
某工厂生产甲、乙两种产品，生产1甲种产品需要种原料4，种原料12，产生的利润为2万元；生产1乙种产品需要种原料1，种原料9，产生的利润为1万元。

现有库存种原料10，种原料60，如何安排生产才能使利润最大？
（2）分析问题
[面对题目中的诸多数据，培养学生整理数据、分析条件的习惯]
①读题后，让学生对已知数据进行适当整理，使条件清晰化。

②考虑题中“如何安排生产”具体指什么?
[明确利润的问题指向：甲、乙两种产品的产量决定了利润构成]
③假设生产甲种产品吨，生产乙种产品吨，利润记为，则利润如何表示？
生：
师：这里的可以看成是关于两个自变量、的函数，这和我们之前认识的函数形式不一样。

（生成疑问，引起学生对目标函数的关注思考）
（3）构建函数模型
④回到对两个变量、的认识上：
问：两个变量、的取值是任意的吗？受哪些条件的限制？
生回答：生产过程中考虑库存，原料A的使用不超过10t，原料B的使用不超过60t
问：能否把其中蕴含的不等关系列出来？
⑤抽象初数学模型
现在我们将实际问题转化为了这样的一个数学问题
在约束条件下，求出，使利润最大
如何解决这个问题？
（4）考察研究方法
⑥探究约束条件和目标函数的几何意义
【1】引导学生观察约束条件是关于两个变量的二元一次不等式组，表示的是由几条直线围成的平面区域。

预设：
师：请同学们观察约束条件，它是关于、的二元一次不等式组，它具有怎样的几何意义？你能简单描述一下吗？
生：它表示的是由，，及四条直线围成的一个平面区域。

师：很好，请大家动手把这个平面区域画出来。

（展台展示学生所作图形，并用ppt演示）
师：现在我们回到这个函数的认识上来，它是否具有一定的几何意义？如果有，它表示的又是什么？
【2】引导学生发现目标函数也可以看做关于、的二元一次方程，它的几何意义是一条直线（视学生情况，作适当引导提示）
师：变换一下的形式，它也可以表示为，这个时候我们能知道它表示的是什么？
生：它表示为一条斜率为的直线。

师：“”在直线方程中表示什么意义？
生：表示直线在轴上的截距。

师：那么从直线平移的角度看，要使越大，那么这条斜率为的直线越要向上移。

【3】探索直线与平面区域的关系
（使学生认识到直线必须经过平面区域内的点）
师：现在，我们联系的来看问题，我们根据条件建立起的二元一次不等式组对中的变量、取值提出了一定的限制。

那么对应到它们所具有的几何意义上，直线与上述平面区域有怎样的关系？或者换句话说，平面区域对我们所研究的这条直线的位置有什么影响？（视学生情况，引导教学）
（引导：作为有序数对在直角坐标系中它表示一个点，本题中该点首先在平面区域内，又要在直线上，也就是说直线必须经过平面区域）
（5）给出解题步骤
总结上述分析过程我们将明确：求的最大值就是求经过上述平面区域的斜率为的直线在轴上截距的最大值。

（可以让学生试着对上述分析过程加以总结）
师：图形成为解决该问题的工具，让我们一起把上面的分析过程整理一下，写出题的解答过程。

解：由约束条件作出不等式组表示的平面区域如下图：
可变形为，它表示一条斜率为在轴上截距为的直线。

（提问：这条直线在坐标轴上怎么画出来？回忆此前分析过程中提及到的“平移”可先作出一条斜率为的特殊直线即，那么便可看做由通过平移得到）
作出参照直线：
如图平移至点时，直线在轴上截距最大（这个时候，我们只要求出点坐标，即可求出的最大值）
由得
当时，的最大值为
即甲、乙两种产品分别生产1.25t和5t时，可获得最大利润
（至此，我们完成了问题的求解）
（6）总结回顾
面对利润最大值问题，我们构建了含有两个变量的函数，这与我们以往常见的函数形式是不一样的，同时，变量又受一系列条件即不等关系的限制，在这个实际问题的解决中，我们通过对不等式组及所建函数几何意义的探究，借助图形完成了这个问题的求解.
这类问题，有一个特定的名称———线性规划
(引出本节课题，并给出线性规划的定义)
（二）建构数学(投影)
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划
（注：①此处不必强化“线性”的概念
②“目标函数”，“约束条件”回到问题情境的解题过程中加以了解，并借机介绍简单线性规划特点，给出“建构数学”的第二点内容）
2.简单的线性规划（二元线性规划）
（1）目标函数：由两个变量表示
（2）约束条件：二元一次不等式组
（对照问题情境中的解题过程，尝试让学生总结一下研究简单线性规划问题的基本步骤）
（1）设变量，给出约束条件，建立目标函数
（2）由约束条件画出可行域
（3）变形目标函数，作出参照直线
（4）平移参照直线至可行域内满足条件的点
（5）求出点坐标，代入求值
（整理解题步骤的过程也是让学生进一步深化认识的过程）
（三）应用数学
例一：投资生产产品时，每生产100需要资金200万元，需场地200，可获利润300万元；投资生产产品时，每生产100需要资金300万元，需场地100，可获利润200万元。

现某单位可使用资金1400万元，场地900，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？
（在对数据整理分析的过程中，注意选择合适的单位，要求学生将数据以表格的形式整理出来，培养良好的分析问题习惯，屏幕上展示这个数据分析表）
资金（百万元）场地（百平方米）利润（百万元）
A产品（百吨） 2 2 3
B产品（百米） 3 1 2
限制14 9
（下面让学生做题，投影展示学生作业）
具体解题过程如下：
解：设生产产品百吨，生产产品百米，利润百万元，则
约束条件为
目标函数为
作出可行域如图：
目标函数可变形为，它表示斜率为，在轴上截距为的一条直线
作出参照直线：
平移参照直线至点时，最大，最大
由得
此时
即生产产品吨，生产产品米时，获利最大，且最大利润为万元。

【总结回顾】
情境与例1中可行域是由几条直线围成的一个多边形区域，而目标函数最值的选取通常是经过该多边形的某个顶点。

这种情况是不是一般二元线性规划问题所具有的共同规律呢？同学们不妨通过以下两个小题验证一下自己的猜想。

学生练习：
（1）已知满足约束条件，则的最大值是。

(2)已知满足约束条件，则目标函数的最大值和最小值分别是。

（目的是让学生在后期做以填空题形式给出的线性规划问题时，可以用求出直线交点坐标代入目标函数的方法求最大值、最小值）
（四）回顾总结
（1）学生总结：关注本课致力解决的问题和解决问题的方法以及基本的求解步骤
（2）师总结：我们共同研究的内容是简单的线性规划问题，即研究目标函数在约束条件下的最大值、最小值问题。

这类问题的解决方法是图解法，关键是数形之间的转化。

即根据约束条件画出可行域，并弄清目标函数的几何意义。

即使在以后的学习中，我们所遇到的目标函数表示的不是一条直线，只要能弄清它的几何意义，那么我们也一定能够利用图形来解决问题。

至于含有多个变量的线性规划问题怎么去研究，有兴趣的同学可以课后阅读书本上的相关内容。

五、作业布置()
六、板书设计（略）。