高中数学第二章2.2.2.1双曲线的简单几何性质课时达标训练含解析新人教A版选修85

2.2.2.1 双曲线的简单几何性质
课时达标训练
1.设双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为( )
A.4
B.3
C.2
D.1
【解析】选C.由双曲线方程可知渐近线方程为y=±x,故可知a=2.
2.双曲线-=1的一个焦点为(2,0),则此双曲线的实轴长为( )
A.1
B.
C.2
D.2
【解析】选C.由已知焦点在x轴上,所以m>0.所以m+3m=4,m=1.所以双曲线的实轴长为2.
3.如果椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,那么双曲线-=1的离心率为
( ) A. B. C. D.2
【解析】选A.由已知椭圆的离心率为,得=,所以a2=4b2.所以e2=
==.所以双曲线的离心率e=.
4.已知双曲线方程为8kx2-ky2=8,则其渐近线方程为.
【解析】由已知令8kx2-ky2=0,得渐近线方程为y=±2x.
答案:y=±2x
5.双曲线与椭圆+=1有相同的焦点,它的一条渐近线为y=x,则双曲线的方程
为.
【解析】由椭圆方程得焦点为(0,±4),
得双曲线焦点在y轴上,且c=4.
由渐近线为y=x得a=b,
所以a=b=2,
方程为-=1.
答案:-=1
6.根据下列条件,求双曲线的标准方程.
(1)与双曲线-=1有共同的渐近线,且过点(-3,2).
(2)与双曲线-=1有公共焦点,且过点(3,2).
【解析】(1)设所求双曲线方程为-=λ(λ≠0),
将点(-3,2)代入得λ=,
所以双曲线方程为-=,
即-=1.
(2)设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).
由题意易求c=2.
又双曲线过点(3,2),所以-=1.
又因为a2+b2=(2)2,所以a2=12,b2=8.
故所求双曲线的方程为-=1.
【补偿训练】双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1,F2,若双曲线上存在点P,使|PF1|=2|PF2|,试确定双曲线离心率的取值范围.
【解析】由题意知在双曲线上存在一点P,使得|PF1|=2|PF2|,如图所示,又因为
|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF2|=2a,即在双曲线右支上恒存在点P使得|PF2|=2a,即
|AF2|≤2a,所以|OF2|-|OA|=c-a≤2a,所以c≤3a.又因为c>a,所以a<c≤3a,所以
1<≤3,即1<e≤3,所以双曲线离心率的取值范围为1<e≤3.。