课件2：1.3.1 推出与充分条件、必要条件

第一章 常用逻辑用语
1.3.1 推出与充分条件、 必要条件
思考：判断下列命题的真假：
（1）若x>a2+b2，则x>2ab； 真
（2）若a>b>0，则a2>b2； 真
（3）若ac>bc，则a>b；
假
（4）若ab=0，则a=0；
假
一般地，“若p，则q”是真命题，则说明
pq
“若p，则q”是假命题，则说明
（1）若A为B的充分条件，则A _____ B; （2）若A为B的必要条件，则A _____ B;
判断充分条件和必要条件的方法：
“A B”“A是B的充分条件” “B是A的必要条件”
“A B”“A是B的必要条件” “B是A的充分条件”
充分条件与必要条件的理解
从集合角度理解 p q，：相当于p q ，
一般地，对于命题“若p，则q”为真命题，即 pq
则我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件
注意：
（1）“p是q的充分条件”意味着： p成立就足以推出q成
立
（2）“q是p的必要条件”意味着：若p要成立则q必不可少
（3）对同一个真命题“若p，则q”，有
“p是q的充分条件” “q是p的必要条件”
练习：用 、 、 、 填空
例2、 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中 的q是p的必要条件?
(1) 若 x=y,则x2=y2; (2) 若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等; (3) 若a>b,则ac>bc. 解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题.
即p能推出q. 所以,命题(1)(2)中的q是p的必要条件.
例3、 判断下列命题中前者是后者的什么条件？后者是 前者的什么条件？
（1）若a>b,c>d，则a+c>b+d。 （2）若ax2+ax+1>0的解集为R，则0<a<4。 （3）若a2>b2，则a>b。
(1) p q ,q p
前者是后者的充分不必要条件。 (2) p q ,q p
前者是后者的必要不充分条件。
判别充要条件 问题的
判别步骤：
① 认清条件和结论 ② 考察p 判别技巧： ① 可先简化命题。
q和q
p的真假。
② 否定一个命题只要举出一个反例即可。
本节内容结束
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pq
思考：对命题“若x>a2+b2，则x>2ab”，下列说法 是否正确？
（1）要使“x>2ab”，只要“x>a2+b2”就够了； （2）若“x>a2+b2”要成立， 则“x>2ab”一定要成立.
（1）因为“x>a2+b2”成立就足以推出“x>2ab”成立 所以我们说， “x>a2+b2”是“x>2ab”成立的充分条件 （2）因为“x>2ab”是“x>a2+b2”成立必不可少的条件 所以我们说， “x>2ab”是“x>a2+b2”成立的必要条件
即A x （p x），B x （q x）
若A B，则p是q的充分条件 若B A，则p是q的必要条件
例1、 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中 的p是q的充分条件?
(1) 若 x=1,则x2-4x+3=0; (2) 若f(x)=x,则f(x)为增函数; (3) 若x为无理数,则x2为无理数 . 解:命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题. 所以,命题(1)(2)中的p是q的充分条件.
(3) p q ,q p 前者是后者的既不充分也不必要条件。
小结
1、一般地：若p则q为真，
记作：p q 或 q p
2、充分条件与必要条件
一般地，如果已知p q ，那么我们就
说p是q的充分条件， q是p的必要条件。
理解 1、从概念的角度理解
(1)若p q,但q / p,则p是q的充分不必要条件；
(2)若q p,但p / q,则p是q的必要不充分条件；
(3)若p / q,且q / p,则p既不是q的充分条件 也不是q必要条件；
2、从命题的角度去理解 设原命题为“若p，则q” 如果原命题为真，则p是q的充分条件
如果逆命题为真，则p是q的必要条件
3、从集合的角度去理解 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现
即A x （p x），B x （q x）
若A B，则p是q的充分条件 若B A，则p是q的必要条件
充要条件
问题： 分析下列命题“若p，则q”中，p与q之间的关系？
若x 2，则x2 - 4x 4 0.
一般地，如果既有p q,又有q p,就记作p q. 此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件。 显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件。
如果p q，那么p与q互为充要条件。
充要条件 充分条件、必要条件和充要条件的联系和区别
(1)若p q,但q / p,则p是q的充分不必要条件；
(2)若q p,但p / q,则p是q的必要不充分条件；
(3)若p q,且q p,则p是q的充要条件；
(4)若p / q,且q / p,则p既不是q的充分条件 也不是q必要条件；
•p足以导致q,也就是 说条件p充分了； •q是p成立所 必须具 备的前提。
即

q
判断方法： 1、从概念的角度理解 (1)若p q,则p是q的充分条件；
(2)若q p,则p是q的必要条件；
2、从命题的角度去理解 设原命题为“若p，则q” 如果原命题为真，则p是q的充分条件 如果逆命题为真，则p是q的必要条件 3、从集合的角度去理解 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现
（1）（3）中p是q的充要条件 （2）p是q的充分条件，而不是必要条件
p不是q的充要条件
充要条件 判断时注意：
(1)确定条件p是什么，结论q是什么；
(2)先从条件推结论，再从结论推条件。
小结
定 义 如果已知 p q，则说p是q的充分条件 q是p的必要条件。
判别步骤 ① 认清条件和结论 ② 考察p q和 q p的真假 判别技巧 ① 可先简化命题。 ② 否定一个命题只要举出一个反例即可。