线性代数向量的内积

解 设 3 x1 , x 2 , x 3 T 0, 且分别与 1 , 2正交 . 则有
1 , 3 2 , 3 0
1 , 3 x1 x2 x3 0 即 2 , 3 x1 2 x2 x3 0 解之得 x1 x3 , x2 0. x1 1 3 x2 0 若令 x3 1, 则有 x 1 3
也为R4的一个正交规范基 .
如何构造向量空间的正交规范基？如何将一 组线性无关的向量化成正交规范基？下面介绍将 线性无关的向量组正交规范化的施密特(Schmidt) 正交化方法。
四、施密特(Schmidt)正交化方法
定理 设 1 , 2 ,L , s 是一组线性无关的向 量，则可以找到一组正交的向量 1 , 2 ,L , s 使得向量组 1 , 2 ,L , s 与 1 , 2 ,L , s 等价。 证明 首先，令 1 1 再令 2 2 k 1 及 1 , 2 0
试用施密特正交化方法把这组向量规范正交化。 解
取 b1 a1 ;
1 1 1 a2 , b1 4 5 b2 a2 b1 3 2 1 ; b1 , b1 3 1 6 1 1
称 x , y 为向量x与y的内积
说明 内积是向量的一种运算，如果x，y都是列 向量，内积可用矩阵记号表示为
x , y x T y x1 ,
x2 , L ,
y1 y xn 2 M yn
内积的运算性质
其中 x , y, z 为n维向量, 为实数 :
即 1 , 2 k 1 , 1 0 从而求出
1 , 2 k 1 , 1
再令 3 3 k1 1 k2 2 及 1 , 3 2 , 3 0
1 , 3 可求出 k1 1 , 1 2 , 3 k2 Nhomakorabea2 , 2
由上可知 1 , 2 , 3构成三维空间的一个正交基.
５正交规范基 定义3 设n维向量 e1 , e2 , , er 是向量空间 V (V R n ) 的一个基, 如果e1 , e2 ,, er 两两正交且都是单位向量, 则称e1 , e2 ,, er 是 V 的一个正交规范基(标准正交基).
b3 a3
a3 , b1 b1 , b1
b1
a3 , b2 b2 , b2
b2
4 1 1 1 2 0 3 1 再把它们单位化，取 1 1 b1 e1 2 , 6 b1 1 1 1 b3 e3 0 . 2 b3 1
定义2 令 x
x, x x x L x ,
2 1 2 2 2 n
称 x 为 n 维向量 x的 长度 或 范数 .
向量的长度具有下述性质：
1. 非负性 当 x 0时, x 0;当 x 0时, x 0; 2. 齐次性 x x ; 3. 三角不等式
x y x y.
(1) 对称性
(2) 齐次性
x, y y, x ;
x, y x, y ;
(3) 可加性 x y , z x , z y , z ;
许瓦兹(Schwarz)不等式：
设x，y是n维向量空间Rn中的任意两个 向量，则有不等式
x, y
总成立
2
x, x y, y
二、向量的长度及性质
, r 两两正交, 则称1 , 2 , , r 是向量空间V
的正交基.
例1 已知三维向量空间中两个向量 1 1 1 1, 2 2 1 1 正交，试求一个非零向量 3使 1 , 2 , 3构成三维空 间的一个正交基.
一般地，由 1 , 2 , L s 求出 1 , 2 ,L s 的公式为
1 1
1 , 2 2 2 1 1 , 1
1 , 3 2 , 3 3 3 1 2 1 , 1 2 , 2

1 , s 2 , s s 1 , s s s 1 2 L s 1 1 , 1 2 , 2 s 1 , s 1
性质（1），（2）可由定义直接得出，下面 我们证明性质（3）
x y
2
x y, x y x, x y y, x y
x, x x, y y, x y, y
x 2 x, y y
2
2
2
由许瓦兹不等式 x , y x , x y , y x 2 y 即 可得 即
§4.4
向量的内积
一、内积的定义及性质
定义1 设有n 维向量 x1 x2 x , x n
y1 y2 y , y n
令
x , y x1 y1 x2 y2 L xn yn
x, y x y
2
x y x 2 x y y ( x y )2
2
2
2
x y x y.
单位向量及n维向量间的夹角
（1）长度为1的向量称为单位向量 任何一个非零向量都可以通过除以它的长度 化成单位向量。把向量化成单位向量的过程叫做 把向量规范化或单位化。 x, y 2 当 x 0, y 0 时 , arccos x y 夹角 . 记作 x , y 称为n维向量x与y的 当x=0或y=0时，规定x与y的夹角为 [0, ] 上 不确定的角
证明
T 1
设 11 2 2 L r r 0
T
以 a 左乘上式两端, 得 1 1 1 0
由 1 0 1 1 1
T 2
0, 从而有1 0 .
同理可得2 r 0. 故 1 , 2 ,, r 线性无关.
４ 向量空间的正交基 若1 , 2 ,, r 是向量空间V的一个基, 且1 , 2 ,
三、正交向量组的概念
１ 正交的概念
若 x , y 0 ，则称向量x与y正交， 记作 x y
由定义知, 若 x 0, 则 x 与任何向量都正交.
２ 正交向量组的概念
若一非零向量组中的向量两两正交，则称 该向量组为正交向量组．
３向量的正交性的性质 （1）若向量x与y正交，则有
x y x y
例如
1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 0 0 e1 , e 2 0 , e 3 1 2 , e4 1 2 . 0 1 2 1 2 0 0
同理可知
1 0 0 0 0 1 0 0 1 , 2 , 3 , 4 . 0 0 1 0 0 0 0 1
ei
1
i
i
( i 1, 2, L , s )
从而可以进一步得到与 1 , 2 ,L , s 等价的 正交规范向量组
e1 , e2 ,L , es
1 1 4 2 , a 2 3 , a 3 1 , 例2 设 a 1 1 1 0
由以上公式的构成可知向量组 1 , 2 ,L , s 两两正交，且 1 , 2 ,L , s 都可由 1 , 2 ,L , s 线性表示，反之 1 , 2 ,L , s 也都可由 1 , 2 ,L , s 线性表示，所以,两向量组等价。
以上求等价正交向量组的方法称为施密特 ( Schmide )正交化方法。 将所求正交向量组单位化：
1 1 5 1 2 0 . 3 1 1 1 1 b2 e2 1 , 3 b2 1
e1 ,e2 ,e3即为所求.
证明
2
2
2
（在二维几何空间中，这就是勾股定理。)
x y x y, x y
2
x, x 2 x, y y, y
x与y正交，所以 x , y 0
x y x, x y, y x y
2
2
2
L （2）若 1 , 2 , , r 是一个正交向量组， L 则 1 , 2 , , r 线性无关。