“二项式定理”复习课点评

3反思高三的一轮复习要打造成师生互动的高效精彩课堂教师要静下心来研究研究学生研究教材研究教法才能预设课堂教学中不同的活动方式才能让学生更好地去理解领悟所要掌握的知识
２ ０ １ ２ 年第 １ ０ 期 中学数学月刊 · ２ ７·
“ 二项式定理” 复习课点评
１ ０ ０ １ ０ ０ （ ２－ 槡 ３） －２ ； ２ 第（ ） 题， 分别求出 （ ２ 犪 犪 犪 犪 ０＋ ２＋ ４＋ … ＋ １ ０ ０） １ ０ ０ １ ０ ０ ２ ［ （ ２－ 槡 ３） ＋ （ ２＋ 槡 ３） ］ 和
（
）
最大？ 生９： 当狀为偶数时 ， 中间一项 ， 项数为狉＝狀 ， ２
大的项和最小的项 ． １ 狀 狓 －４ 变式 已知 槡 的 展 开 式 中， 第５ 狓 槡 项和第 ６ 项的二项 式 系 数 最 大 ， 求该展开式中系
（
）
数最大的项和最小的项 ．
·２ ０ １ ２ 年第 １ ０期 ８ · 中学数学月刊 ２ 师： 请同学们思考例２和变式 ． （ 大约３～５分 钟 ）请同学们进行小组讨论 ． （ 教师参与个别小组 讨论 ， 各小组的学生热烈地交换各自的想法 ） 大约３分钟后 ， 生７和生８分别把例２和变式 的答案展示到黑板上 ． 生 ７： （ 例 ２ 展开式中 只 有 第 ５ 项 的 二 项 式 系数最大 ， 所以 狀＝８， 展开式中系数最大项为 犜５
关系？ 生１ 二项式系数与系 数 之 间 不 只 是 正 负 差 １： 数值也不相等 ． 异， 师： 三位同 学 回 答 得 都 很 好 ， 请 大 家 思 考， 如 １ 狀 狓 －４ 果把例 ２ 变为 “ 已知 槡 的展开 式中 ， 第 狓 槡 求该展开式中系数最 ５ 项是 二 项 式 系 数 最 大 项 ，
贾学如 （ 江苏省江安高级中学 ２ ） ２ ６ ５ ３ ４ 我校一位 骨 干 教 师 对 全 市 开 设 高 三 数 学 一 轮复习研讨课 “ 二 项 式 定 理” ， 给笔者留下深刻的 印象 ． 教师在教学过程中 “ 大胆地 放 ， 适 时地收 ” ， 由传统意 义 上 的 “ 知 识 贩 卖 者 ”转 化 为 课 堂 的 组 织者 、 引导 者 、 合 作 者； 学生学习也不再是知识信 息的被动吸收者 ， 而是在思考中 学 ， 在合 作中 学 ， 在实践中学 ， 学生的主体性得到真正体现 ． 在本节 课中 ， 教师精心设计了四个课堂活动 ， 使得课堂被 “ 放活 ” ， 教学效率得到真正提高 ， 实属一堂高效优 质的复习课 ． 示．
４
（ 犪 １
＋ 犪 ３
１ ０ ０
＋ 犪 ５
＋
１ ０ ０
…
２
２ ＋ 犪 ９ ９）
＝
［ （ ２－ 槡 ３）
狀
－（ ２＋ 槡 ３） ４
］ ，再 作 差 ，化 简 得
原式等于 １； 第（ ） 题， ３ 犪 犪 犪 犪 狘 ＋ 狘 ＋ 狘 ＋…＋ 狘 ＝ ０狘 １狘 ２狘 １ ０ ０狘
１ ０ ０ ； 犪 ２＋ 槡 ３） ０ －犪 １ ＋犪 ２ － … ＋犪 １ ０ ０ ＝（
师： 请大家判断两位同学的答案是否正确 ． 生 ３： 第（ ）题和第 （ ）题答案正确 ， 第（ ）题 ２ ３ １
狉 狉 应该为 犜 而不 二项展开式通项为等式 ， Ｃ 狓， 狉 １＝ ５ ＋
是 Ｃ狓 ． 师： 这位同学说得好 ， 对两位同学的展示作出 正确的评价 ． 活动二 掌握二项展开式中的指定项的求法 ３ 狓 －３ 例 １ 已知二项式 槡 狓 槡
４ 狓 ＝７ ０ 狓；展 开 式 中 系 数 最 小 项 为 犜４ ＝ ＝Ｃ ８ ３ ４ ５ ４ 狓 ＝－５ ６ 狓４ 和 犜６ ＝－Ｃ 狓 ＝－５ ６ 狓４ ） －Ｃ ８ ８ 生 ８： （ 变式 展开式中第 ５ 项和第 ６ 项的二
７ ７ １ １
则展 开 式 中 系 数 最 大 项 为 犜５ ＝ ① 若 狀＝７， 系数最小项为 犜４ ＝－３ ３ ５ 狓 ， ５ 狓４ ； 展 开 式 中 系 数 最 大 项 为 犜５ ＝ ② 若 狀 ＝８， 系数最小项为 犜４ ＝－ ７ ０ 狓， ５ ６ 狓４ 和 犜６ ＝－ ５ ６ 狓４ ； 展 开 式 中 系 数 最 大 项 为 犜５ ＝ ③ 若 狀 ＝９， 系数最小项为 犜６ ＝－１ １ ２ ６ 狓２ ， ２ ６ 狓４ ． 师： 做得很好 ． （ 教师用红粉笔作出正确的评判 ） 活动四 掌握求展开式中各项系数和
狉 １ ０ ０ 狉 狉 狉 １ ０ 狉 狉 狉 － － （ 犜 ２ ３ 狓） ３） ２０ Ｃ 狓 －槡 ＝（ －槡 ＝ 狉 １ ＝Ｃ １ ０ ０ １ ０ ０ ＋ 狉 １ ０ 狉 狉 － 所以犪 犪 狓狉， ３） ２０ Ｃ 狉 为 奇 数 时， 犪 －槡 狉 狉 ＝（ １ ０ ０， 狉 为负 ； 第（ ）题还有其他解法 狉 为偶数时 ， 犪 ３ 狉 为正 ．
狉 狉 ５
（
３
）．
１ ０
（
）
（ ）求展开式中 狓 的二项式系数与系数 ； １
２
）求展开式中的常数项 ； （ ２ （ ）求展开式中的有理项 ． ３ 师： 请同学们思考并完成例 １． （ 学生在求解的时候 ， 教师在教室巡视 ． ３～５ 分钟后 ， 不 少 学 生 做 好 了 ）生 ４ 主 动 到 黑 板 上 展
狉 生 ４：（ 简 记） 犜 狓 狉 １ ＝ Ｃ １ ０ ＋ 狉 狉 （ ） Ｃ 狓 －３ １ ０
１ ０ ２ 狉 － ３ １ ０ 狉 － ３
狉 ３ （ ） 狓 ＝ －３
狉 －
，
０－２ 狉 （ ）令１ １ 犜３ ＝ ＝ ２， 得 狉 ＝ ２， ３ ２ ２ （ ） 所以二项式系数和系数分别为４ Ｃ 狓２ ， ５ －３ １ ０ 和４ ０ ５． ０－２ 狉 （ ）令１ 得狉＝５， 所以展开式中的 ２ ＝０， ３ 常数项为 犜６ ＝－６ １２ ３ ６． ０－２ 狉 （ ） 令１ 得狉＝ 所以展开式 ３ ２， ５， ８， ∈ 犣， ３ 中的 有 理 项 为 犜３ ＝４ ０ ５ 狓２ ， 犜６ ＝－６ １２ ３ ６， 犜９ ＝ ２ ９ ５２ ４ ５ 狓－２ ． 师： 请大家判断生 ４ 的展示是否正确 ． （ 学生看黑板 ， 认真思考 ） 生 ５ 主动用黄粉笔把生 ４ 的展示内容进行完 善． ０－２ 狉 在１ 且狉 ∈ ０ ≤狉 ≤ １ ０， ∈ 犣后添上“ ３ （ 学生已经养成自我完善的习惯 ） 犣” ． 师： 生 ４ 思路清晰 ， 生 ５ 又进行补充 、 完善 ， 现 在答案很完美 ． （教师用红粉 笔作 出正 确的 评判 ） 下面请同 学 们 总 结 二 项 展 开 式 中 的 指 定 项 的 求 法． 生 ６： 首 先 写 出 通 项， 再 化 简， 令字母的指数 符合题目要求 ， 如： 求常数项时 ， 指数为零 ； 求有理 项时 ， 指数为整数 ， 从中 解 出狉， 代 回 通 项， 就求出 指定项 ． 师： 生 ６ 归纳得很好 ． 活动三 理解展开式中二项式系数与系数 １ 狀 狓 －４ 例 ２ 已 知 槡 的 展 开 式 中， 只有 狓 槡 第 ５ 项的二项式系 数 最 大 ， 求该展开式中系数最
３ ３ ７ １ １ ２ ５
所 以 狀 ＝９， 展开式中系数最大项 项式系数最大 ，
４ ２ 为 犜５ ＝Ｃ 展开式中系数最小项为 狓 ＝１ ２ ６ 狓２ ； ９ ５ ４ 犜６ ＝－Ｃ 狓 ＝－１ ２ ６ 狓４ ） ９ 师： 请大家判断两位同学的展示是否正确 ．
３ ３ ３ ３
（ 学生看黑板 ， 认真思考并讨论 ） 学生齐 声 说 正 确 ． 教师用红粉笔做出正确的 评判 ． １ 狀 狓 －４ 师 ：槡 的展开式中第狉＋１ 项二项 狓 槡 狉 狉 式系数为 Ｃ 请问狉 等 于 多 少 时 ， 二项式系数 Ｃ 狀， 狀
１ ０ ０ 例 ３ 设 （ ２－槡 ３ 狓） 犪 犪 狓＋犪 狓２ ＋ … ＝ ０＋ １ ２ ０ ０ ， 求下列各式的值 ． 狓１ ＋犪 １ ０ ０ （ ） １ 犪 １ ＋犪 ２ ＋ … ＋犪 １ ０ ０； ２ （ ） （ ２ 犪 犪 ０ ＋犪 ２ ＋犪 ４ ＋ … ＋犪 １ ０ ０） － （ １ ＋犪 ３＋ ２ 犪 ５ ＋ … ＋犪 ９ ９ ）； （ ） ； ３ 犪 犪 犪 犪 狘 ＋ 狘 ＋ 狘 ＋…＋ 狘 ０狘 １狘 ２狘 １ ０ ０狘
大项和最小项 ． ” 各小组 再 次 进 行 讨 论 ， 教师参与个别小组讨 论． 生１ ３ 分钟后 ， ２ 到黑板上展示 ． 生１ 因为第５项是二项式系数最大项 ， 所以 ２： 狀＝７ 或 ８ 或 ９．
师： 请大家判断黑板上答案是否正确 ．
２ ０ １ ２ 年第 １ ０ 期 中学数学月刊 · ２ ９· （ 学生看黑板 ， 认真思考并讨论 ） 学生齐 说 正 确 ， 教师用红粉笔做出正确的评 判． 师： 这里的 犪 狉 是展开式中二 项 式系 数还是 系 数？求展开式中各项系数和常用什么方法？ 生１ ４： 犪 狉＋１项的系数 ．求展 狉 是展开式中第 开式中各项系数和通常用 “ 赋值法 ” ． 师： 第（ ）题这两种解法 均 正 确 ， 第二种解法 ２ 第（ ）题 去 绝 对 值 符 号 ， 关键是抓通项 更简洁 ． ３
１ 教学过程简录
活动一 基础自测 ５ （ ） （ 的二项展开式通项为 ； １ １＋狓） ）狓 ＋ ２ （ ２ 狓 为 ；
（
） 展开 式 中 的 二 项 式 系 数 之 和
６
２ 狀 １ ２ 狀 ２ ２ ２ 狀 ４ － － （ ）化简 ３ ３ ３ ３ ＋Ｃ ＋Ｃ ＋…＋ 狀· 狀·
狀 １ ２ － Ｃ ３ ＋１＝ ． 狀 · 师： 今天我们复习二项式定理 ． 请两位同学把
基础自测题的答案展示到黑板上 ．
狉 狉 （ 学生课前已经完成 ）第 １ 题生 １ 写成 Ｃ 狓， ５ 狉 狉 生 ２写成 犜 第（ ） 题和第 （ ） 题两人答 狓． ２ ３ 狉 １ ＝Ｃ ５ ＋ 狀 案一致 ， 分别为 ６ ４和１ ０ ．
２ 二项 式 系 数 最 大 ， 为Ｃ 当狀 为 奇 数 时， 中间两 狀 ；
狀
狀－１和 狀＋１， 项数分别为狉＝ 二项式系数 项， 狉＝ ２ ２
２ ２ 最大 ， 为Ｃ ＝Ｃ 狀 狀 ． 师： 本题中二项式系数与系数有何关系？
狀 １ －
狀 １ ＋ຫໍສະໝຸດ ＝４生１ 只有正负差异 ， 数值相等 ． ０： 师： 如 果 把 例 ２ 中 已 知 条 件 改 为 １ 狓－ 槡 （ ） ，二项式系数与系数之间又 有什么 狓 ２槡
１ 第（ ） 题， 分别令狓 ＝ ４ ０， 狓 ＝ 得到原式等于 ２ ３ ２－ 槡 ） （ ２
１ ０ ０ １ ０ ０ －２ ．
（
）
四位学生展示完回到座位 ， 生１ ３ 到前面展示 第（ ）题另一种解法 ． ２
２ 生１ （ ３： 犪 犪 犪 犪 犪 犪 ０＋ ２＋ ４＋…＋ １ ０ ０） － （ １＋ ３ ２ （ 犪 犪 犪 犪 犪 犪 ＋犪 ５＋…＋ ９ ９） ＝ （ ０＋ １＋ ２＋…＋ １ ０ ０） ０ －犪 ＝１． １ ＋犪 ２ －犪 ３ ＋ … ＋犪 １ ０ ０）
阅， 从而不断提升学生的思维 ． 教师对 活 动 中 学 生 的 展 示 作 出 评 判 之 后 ， 再 乘胜追 击 ，激 活 思 维 ． “ 问 题 是 数 学 课 堂 的 心 ， 在活动三中 ， 把例题的 “ 只有第 ５ 项的二项式 脏” 第 ５ 项 是 二 项 式 系 数 最 大 项 ”， 系数最大 ”改为 “ 教师再次引 领 学 生 思 考 ， 组 织 学 生 讨 论、 展 示． 活 动四中的 第 （ ）题 ， 教师追问学生还有其它解法 ３ 吗？以此进一步开动学生的思维 ， 体现 “ 数学教学 是思维过程的教学 ” ． ２ ２ 点评提升适时到位 德国教育家蒂斯多惠指出 ： “ 教育艺术的本质 不在于传授 ， 而在于激励 、 唤醒 、 鼓励 ． ” 本案例 中 ， 教师对于学生好的表现及时给与 让学生体会成功的喜悦 ， 从而调动学 表扬和肯定 ， 生学习的积极性 ． 同时 ， 学生展示和完善之后 ， 教师没有立即进 行点评提升 ， 而是让学生思考并讨论展示内容 ， 让 学生对展示的内容 进 行 判 断 和 评 价 ． 教师点评不 而是用简洁 、 朴实 是把学生的展示内容重讲一遍 ， 的语言着重点评学生知识掌握不到位的地方以及 知识的关键点 、 易错点以及思维盲点等 ． 在活动 二 中 ， 教师让学生从简单的实例中总 提炼二项展开式中的指定项的求法 ． 在活动三 结、 中， 教师追问了三个问题 ， 让学生理清了展开式中 的二项式系数与系数的关系 ， 再把例题进行变式 ， 让学生进行 思 考 ． 在 活 动 四 中， 教 师 追 问 学 生， 求 展开式中各项系数和常用什么方法？在活动四第 （ ）题中 ， 就 学 生 两 种 不 同 解 法 进 行 点 评； 在第 ２ （ ）题中 ， 教师指出去绝对值 符 号 的 理 由 ， 教师再 ３ 追问学 生 还 有 其 他 解 法 吗？ 学 生 沉 默 ．显 而 易 这个问题是学生思维的盲点 ． 教师通过引导学 见，
犪 犪 犪 １ ２ １ ０ ０ ） （ ４ ＋ ２＋…＋ １ ０． ２ ２ ２０
师： 请同学们单独思考并完成例 ３． （ 学生在求解的时候 ， 教师在教室巡视 ． ３～５ 分钟后 ， 不少学生做好了 ） 教师请 已 经 做 好 的 同 学 到 黑 板 上 来 展 示 ， 每 位同学展示一小题 ， 简记如下 ： 第（ ）题 ， 分别令 狓 ＝０， １ 狓 ＝１ 得 到原 式等于