2-4隐函数的导数和参数方程求导

合集下载

隐函数参数方程求导法则

1 ln y ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4 2 对 x 求导
y 1 1 1 1 1 y 2 x 1 x 2 x 3 x 4

1 1 1 1 x 1 x 2 x 3 x 4
若参数方程关系, 可导, 且
可确定一个 y 与 x 之间的函数
则
(t ) 0 时, 有
d y d y d t d y 1 (t ) dx d t dx d t dx (t ) dt (t ) 0 时, 有 d x d x d t dx 1 (t ) d y d t d y d t d y (t ) dt (此时看成 x 是 y 的函数 )
4
因x=0时y=0, 故
例2. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 y y 0 8 9 3 9 x y x 2 x2 4 16 y 3 3 y 3 y 3
2 2
3 3 故切线方程为 y 3 ( x 2) 2 4
第三章
第四节隐函数和参数方程求导
一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数
若由方程函数为隐函数 . 由例如, 表示的函数 , 称为显函数 . 可确定显函数可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
可确定 y 是 x 的函数 ,
但此隐函数不能显化 .
隐函数求导方法: 两边对 x 求导
x a cos t 确定函数例5. 设由方程（其中为参数） y b sin t
t
y y ( x) , 求
x 1-sin 例6. 设由方程（其中为参数）确定函数 y cos

高数-隐函数与参数方程求导.ppt

解: 方程两边对 x 求导
确定的隐函数
得 5y4 d y 2 d y 1 21x6 0 (*)
dx dx
因 x = 0 时 y = 0 , 故代入(*)求解。
4
例3. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导
x 8
2 9
y
y
0
将点
代入
1 3 y 0 43
y x2 3
第四节
第二章
隐函数与参数方程求导
一、隐函数的导数二、对数求导法三、由参数方程确定的函数的导数
1
一、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 , 则称
此函数为隐函数 .
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
exy1 x2 y y 1 0 可确定 y 是 x 的函数 ,
如 x 0 e y 1 0
若将直角坐标系中的原点取为极点，
把 x 轴的正半轴取为极轴。
设直角坐标系中点 M 的坐标 x, y 极坐标系中点M 的坐标 r,
r oM 称为极坐标的极径。
y
• M r,
ry
0x
x
0r
称为极坐标的极角。
0 2
由极轴出发逆时针方向为正。
两坐标系中变量间关系：xy
r r
cos sin
x 2 y 2 r 2
关系,
可导, 且
则
(t) 0时, 有
dy dx
dy dt d t dx
dy dt
1 dx
(t) (t )
(t) 0时, 有
dt
dx dx d t dy dt dy

多元函数的隐函数与参数方程求导

多元函数的隐函数与参数方程求导隐函数求导是微积分中常用的求导方法之一，它用于求解含有多个未知变量的方程。

而参数方程则是将一个变量表示为另外两个变量的函数，通常用于描述曲线或曲面。

一、多元函数的隐函数求导对于一个含有多个未知变量的方程，如果我们无法将其中一个变量表达为其他变量的函数形式，就需要使用隐函数求导的方法。

以二维平面上的函数为例，假设有一个方程 f(x, y) = 0，我们想要求解关于y 的导数dy/dx。

首先，我们需要确保该方程存在一个解y=f(x)。

求解步骤如下：1. 对方程两边同时对 x 求导，得到：∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx = 02. 将这个方程关于 dy/dx 进行变形，得到 dy/dx 的表达式：dy/dx = - (∂f/∂x) / (∂f/∂y)这样，我们就得到了多元函数隐函数的导数表达式。

二、多元函数的参数方程求导参数方程是将一个变量（通常为 t）表示为另外两个变量（通常为 x 和 y）的函数形式。

在参数方程中，我们可以通过对 t 的求导来求解 x和 y 的导数。

以二维平面上的函数为例，假设有一个由参数方程描述的曲线：x = f(t)y = g(t)我们要求解这条曲线上各个点的导数 dy/dx。

求解步骤如下：1. 先对 x 和 y 分别关于 t 求导，得到导数 dx/dt 和 dy/dt。

2. 计算 dy/dx：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)这样，我们也可以得到多元函数参数方程的导数表达式。

综上所述，多元函数的隐函数和参数方程求导的步骤和原理是类似的，只是需要根据具体的函数形式进行求解。

总结：多元函数的隐函数求导和参数方程求导是微积分中常用的求导方法。

对于隐函数求导，需要通过对方程两边同时对某个变量求导，并变形后得到导数表达式。

而对于参数方程求导，需要分别对 x 和 y 关于参数求导，并计算 dy/dx 的表达式。

这两种方法在解决多元函数的导数问题时非常有用，能够帮助我们更好地理解函数的性质和变化趋势。

2-4隐函数和参数方程求导--经济数学--赵树嫄共25页

3 2
3
3 4
故切线方程为 y 3 3 3 (x2)
2
4
即
3x4y830
03.07.2019
蚌埠学院高等数学
5
对数求导法
1.方法: 先在 y f(x) 两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出y的导数.
2.适用范围: 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数.
例如幂指函数：yu (x)v(x) (u (x)0)
dx d t dt dy

dx dt

1 dy
(t) (t)
(此时看成 x 是 y 的函数 ) d t
03.07.2019
蚌埠学院高等数学
10
若上述参数方程中(t),(t)二阶可导,且 (t)0,
则由它确定的函数 yf(x)可求二阶导数 .
x(t)
利用新的参数方程 dy (t) ,可得 dx (t)
dV dt
故

dx dt
两边对 t 求导
R2 h2
(hx)2 d
d

25h2
R2(h
x)2
,
x t
,
而
dV
25(cm3
r
s)R

h
h
x
dt
r hxR
当x

h 2
时,
dx dt
1R020(cmhs)
03.07.2019
蚌埠学院高等数学
20
内容小结
1. 隐函数求导法则
思考与练习
1.
求螺线
r在对应于

2
的点处的切线方程.
x r cos co s

2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率

第二章导数与积分
例4
1
求由方程 + sin=0所确定的隐函数的二阶导数
2
解
方程两边对求导, 得 1 − ′ + 2 cos ·′ = 0.
1
2
∴ ′ =
.
2 − cos
上式两端再对求导, 得
−2sin · ′
=
∴ ′′=
(2 − cos )2
第四节隐函数和参数方程求导相关变化率
d
=
∵
=
=
d
d
− cos 1 − cos
d
∴
d2
d 2
=
d
d
sin
sin
d
d
d
d
1
−
cos

1
−
cos

=
·
=
d
d
d
d
1
1
cos (1 − cos ) − sin · sin
·
=−
=
(1 − cos )
1 − cos
(1 − cos )2
第四节隐函数和参数方程求导相关变化率
2
.
第二章导数与积分
四、相关变化率
设 = ()及 = ()都是可导函数,
与之间存在某种关系
d d
与之间也存在一定关系
d
d
称为相关变化率
相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
解法: 找出相关变量的关系式
对 t 求导
例7 已知椭圆的参数方程 ቊ = sin , 求椭圆在 = 相应点处的
4
切线方程 .

隐函数及参数方程函数的求导及取对数的方法介绍

dy 存在可导的反函数 t x ，则存在，且 t dx dy yt dx xt
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dt dy 1 y ( t ) dx dt dx dt dx x( t ) dt
即
记住公式
y t 0 dy y t 且 dx x x0 xt x x0 xt0

即 y x a( 2 ) 2

例9
不计空气的阻力以初速度 v0 , 发射角 ,
发射炮弹, 其运动方程为 x v0 t cos , 1 2 y v0 t sin 2 g t , 求 (1) 炮弹在时刻 t0 的运动方向; ( 2) 炮弹在时刻 t0 的速度大小 .
x 2t , x 例如消去参数 t t 2 y t , 2 1 x 2 x2 2 y x yt ( ) 2 2 4 问题: 消参困难或无法消参如何求导?
设函数 x x( t ), y y( t )可导, x( t ) 0，且x xt
dy a sin t sin t dy dt 解 dx dx a a cos t 1 cos t dt sin dy 2 1. 当 t 时, x a( 1), y a . t dx 2 2 2 1 cos 2
所求切线方程为 y a x a( 1) 2
方法:
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数. --------对数求导法适用范围:
多个函数相乘和幂指函 u( x )v ( x )的情形. 数
( x 1)3 x 1 例4 设 y , 求y. 2 x ( x 4) e
解等式两边取对数得

2-4-隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数-初等函数的导数

x y
(t), (t),
(t T ) 所确
定，如果函数 x (t) 具有单调连续反函数t 1(x) ，那
么由参数方程所确定的函数可以看成是由函数y (x) ，
t 1(x) 复合而成的函数 y ( 1(x)) . 因此，当
x (t), y (t) 都可导且(t) 0 时，利用复合函数求导
内容小结
1. 隐函数的导数
直接对方程两边求导对数求导法
*2. 参数方程求导法 3. 初等函数的导数
作业
P94 2(2), (4), 3(2), (3), 4(4), (6), 5
1 t2
例8
求星形线
x y
acos3t, asin3t,
(a 0,0 t 2π) 在t π 4
处的切线方程.
解 dx 3acos2tsint, dy 3asin2tcost,所以
dt
dt
dy dx
3asin 2tcost 3acos2tsint
tant
于是，在t
π 处的切线斜率为k 4
例 5 设 y xsin x (x 0), 求 y.
解这是所谓的幂指函数，等式两边同时取对数，得 ln y sin x ln x,
上式两边同时对 x 求导，得
y cos x ln x sin x ,
y
x
于是
y xsin x (cos x ln x sin x ).
x
有时幂指函数也可写成 y esin xln x ，于是有
则
dy dx
2 y2 6xy 3x2 4xy 12 y2
,
dy dx
x1 y1
3
2 12 6 11 12 4 1112

隐函数和参数式函数的导数解析

dy
dy dx
dy dt
dt dx
dt dx
,
即
dy (t) dx (t)
dt
注意这里的导数是通过参数表达出来的．
例8
设
x y
1 t
t t
2 3
，
求
dy .
dx
dy
解
dy dx
dt dx
(t t3 ) (1 t 2 )
1 3t 2
2t
dt
讨论分析
讨论分析
例9
求曲线
x
y
sin t, cos 2t
讨论分析
例7 求函数 y ( x 1)3 x 2 的导数．
x4
解函数两边同时取对数，得
ln y 3ln( x 1) 1 ln( x 2) ln( x 4)
2
两边同时对 x 求导，得
1 y
y
3 x1
1 2
1 x2
1 x 4
于是
y ( x 1)3
x x
2 4
3 x1
1 2
求导的方程中解出 y (所得的表达式中一般同时含有
x 和 y, 这与显函数求导式中不含 y 相异).
对数求导法注意使用类型；
参数式函数的求导法
SUCCESS
THANK YOU
2024/10/16
SUCCESS
THANK YOU
2024/10/16
讨论分析
二、对数求导法对数求导法则
主要用于解决两类函数的求导问题：（1）一类是幂指函数，即 y [u( x)]v( x)
（2）一类是由一系列函数的乘、除、乘方、开方所构成的函数. 对数求导法——在等式两边先取对数，将显函数化成隐函数，然后用隐函数的求导法则求出导数．

第四节隐函数的导数、由参数方程确定的函数的导数

但并不是所有的隐函数都能被显化，如 y x ln y
由隐函数的显化我们可以看到，所谓方程F(x, y)=0 确定一个函数 y=f (x) 就是将此函数代入方程，则方
程F (x, y)= F (x, f(x))≡0成为恒等式。
例如，将函数 y 1 x2 代入方程 x2 y2 1 0
第四节隐函数的导数、由参数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数二、对数求导法三、由参数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数
若由方程
可确定y是x的函数, 则称此
函数为隐函数.
由
表示的函数，称为显函数。
例如,
可确定y是x的函数 ,
可确定显函数
（隐函数的显化）
对于不能显化或不易显化隐函数如何求导？
再设函数 x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dx

dy dt

dt dx

dy dt

1 dx
(t) (t)
dt
dy
即
dy dx

dt dx

t t
dt
例1 设
求
解：
例2 已知摆线方程
求在
但有时会遇到因变量与自变量的对应规则是用一
个方程 F (x, y)=0 表示的函数，这种函数称为隐函数。
如，
x2 y2 1 0
x2 xy y2 4
一般的，如果变量 x 和 y 满足方程 F (x, y)=0，在一定条件下，当 x 在某区间内任取一值时，相应的总有满足该方程的唯一的 y 值存在，那么就说方程 F (x, y)=0 在该区间内确定了一个隐函数。

高等数学2-4隐函数+对数求导+参数方程的导数+相关变化率(应用,如灌水速率).

复习
高阶导数的直接求法：逐阶求导然后归纳
高阶导数的间接求法：利用已知的高阶导数公式
(sin x)(n) sin( x n )
2
1 1 x
(n)
(1)n
(1
n! x)n1
(cos x)(n) cos( x n π ) 2
(ax )(n) ax lnn a (a 0)
( x )(n) ( 1)L ( n 1) xn (注意的n 情况)
例1 3) 设 y y( x) 由方程 sin( x2 y2 ) e x xy2 0 确定, 求 y.
解 cos( x2 y2 ) (2x 2 yy) e x y2 2xyy 0
dy dx
y2 e x 2cos( x2 y2 ) 2 ycos( x2 y2 ) 2xy
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2ln( x 4) x 3
上式两边对 x 求导得：
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
y
( x 1) 3 x 1 ( x 4)2ex
[
1 x 1
1 3( x 1)
x
2
4
1]
例5 设 y xsin x ( x 0), 求 y.
高阶导数的运算法则和莱布尼茨公式
y 1 b ax
y(n)
b
1 ax
(n)
(1)n n! (b ax)n1
an
y ln(b ax),
y(n)
an
(1)n1(n 1)!
ax bn
sin(ax b) (n) an sin(ax b n )
2
cos(ax b) (n) an cos(ax b n )
例2 设曲线 C 的方程为 x3 y3 3xy, 求过 C 上一点 ( 3 , 的3)切线方程，并证明曲线 C 在该点的法

隐函数求导及参数方程求导

代入 x 0、y 1 及
y
x0 y 1

1 4
得
y
x0 y 1

1 16
.
例4. 求由方程 x y sin y 0
2
1
所确定的隐函数 y=y(x) 的二阶导数解: 在方程的两边分别对x求导
1 y
'
1 2
cos y y 0
'
y
'
2 2 cos y
,
dy
dt y( t ) { 确定 y y( x ) 的求导法: dx dx x( t ) x x( t ) dt
y y( t )
dy
例7
解
求摆线
dy dx
dy dx
t
x a ( t sin t ) 在 t 时的切线方程。 2 y a ( 1 cos t )
方程两边对
3
x 求导 , 得
3
4 x y xy 4 y y 0
将 x 0、 y 1 代入，得
(1 )
1 4
x 求导 , 得
y
x0 y 1
;
视 y y ( x ) 、 y y ( x ) ，将方程 ( 1 ) 两边再对
2
x y 12 y 2 ( y ) 2 4 y 3 y 0 , 12 x 2 y
tan t ,
(
d ( tan t ) dx

( tan t ) x ( t )
4

sec t 3 a cos
2
t sin t

sec t 3 a sin t

2-4 隐函数及由参数方程确定的函数的求导(高等数学)

§2.4 隐函数及由参数方程确定的函数的求导教学内容：一．隐函数的导数1.隐函数概念：如果变量x 和y 满足一个方程0),(=y x F ，在一定条件下，当x 在某区间I 内任意取定一个值时，相应地总有满足该方程的唯一的y 值存在，则称方程0),(=y x F 在区间I 内确定了一个隐函数．2.隐函数的导数：把方程(,)0F x y =中的y 看作是x 的函数()y x ，利用复合函数求导法则，方程两端同时对x 求导，然后解出y '．二．对数求导法1.对数求导法：就是先在()y f x =的两边同取对数，然后借助隐函数求导法，方程两边同时对x 求导，再整理出y 的导数．2.幂指函数的导数：()()v x y u x =（()0,()1u x u x >≠），（1）如果()u u x =、()v v x =都可导，则可利用对数求导法求出幂指函数的导数．通过方程两边同取对数，将幂指函数转换成隐函数再求导．（2）利用公式()()v x y u x =()ln ()e v x u x ⋅=变形成复合函数后再求导．三．由参数方程确定的函数的导数1. (),()x t y t ϕψ==都是可导函数，()0,()t x t ϕϕ'≠ =且有反函数)(1x t -=ϕ，函数()y f x =由参数方程(),()(),x t t y t ϕαβψ=⎧ ≤≤⎨=⎩给出，其中t 为参数，则d d d d d d d d d d yy y t t x x t x t =⋅==()()t t ψϕ''.2.如果(),()x t y t ϕψ==都具有二阶导数，且()0'≠t ϕ，则有 22d d d d ()d '()d d d d d ()d '()d '⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⋅ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭y y t t t x x x x t t t xψψϕϕ d '()1d d '()d t x t t tψϕ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭()2()()()()1'()()t t t t t t ψϕψϕϕϕ''''''-=⋅'()3()()()()()t t t t t ψϕψϕϕ''''''-='.四．例题讲解例1.求由方程e x y xy+=所确定的隐函数()y y x =的导数．例2.求由方程2ln x y xy =+所确定的隐函数()y y x =，在0x =处的导数0x y ='．例3.求由方程1sin 02x y y -+=所确定的隐函数()y y x =的二阶导数y ''．例4.求函数=y例5.已知函数3()2x f x x =-(1)f '．例6.求x xy sin =（0x >）的导数．例7.设2ln(1),arctan ,x t y t t ⎧=+⎨=-⎩求d d y x ，22d d y x ．。

隐函数及参数方程导数

将此恒等式两边同时对x求导,
注意到 y 是x的函数,
是x的复合函数,
复合函数求导法:
0
=
y
0
=
x
0
=
y
0
=
x
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率例解法一隐函数求导法. 法二反函数求导法
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
例解切线方程法线方程通过原点.
*
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
例
解
*
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
或解
*
练习
证
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
两曲线在该点
切线斜率乘积为负 1 .
,
)
2
,
2
(
是两曲线的交点
*
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
解
练习
*
可确定显函数
例
开普勒方程
显式?
显化.
*
2. 隐函数求导
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
隐函数求导法则
用复合函数求导法则,
并注意到
将方程两边对 x 求导.
变量 y 是 x 的函数.
隐函数不易显化或不能显化，
如何求导
例
解
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率
(2)
仰角增加率
(3)
,
1
tan
,
500
=
=
a
时
当
h
a
a
tan
1
sec

高数第五版2-4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数+资料

(t )
即
d2 dx
y
2

(t
)
(t) (t 3(t)
)
(t
)
.
上页下页
首页
例6
求摆线

x y

a(t a(1

sin t) cos t)
在t

2
处的切线
方程 .
dy
解 dy dt a sin t sin t dx dx a a cos t 1 cos t
解方程两边对x求导得
4x3 y xy 4 y3 y 0
(1)
代入 x 0, y 1得
y
x0 y1

1; 4
将方程(1)两边再对x求导得
12x2 2 y xy 12 y2( y)2 4 y3 y 0
代入 x 0,
y 1,
y
x0 y1
若参数方程
x y

(t (t
)确定 )
y与x间的函数关系
,
称此为由参数方程所确定的函数.
例如
x 2t,

y

t
2
,
t x 2
消去参数 t
y t2 ( x)2 x2 24
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
上页下页
首页
在方程
又 d ln f ( x) 1 d f ( x)
dx
f ( x) dx
f ( x) f ( x) d ln f ( x) dx
f ( x) u( x)v( x)[v( x) ln u( x) v( x)u( x)] u( x)

2-4隐函数和参数方程求导--经济数学--赵树嫄(精)

2018年8月15日星期三
蚌埠学院高等数学
6
sin x ( x 0), 求y. 例3. 设 y x
解
等式两边取对数得 ln y sin x ln x
两边对x求导得
1 1 y cos x ln x sin x y x
1 y y (cos x ln x sin x ) x
g
o
v2 t g 2v t g2

x
落地时刻
2018年8月15日星期三
抛射最远距离
蚌埠学院高等数学
14
x t 2 2 t (0 1) 例6. 设由方程 2 t y sin y 1
确定函数 y y ( x) , 求解: 方程组两边对 t 求导 , 得
d y t f (t ) t, 解: f (t ) dx
练习: P111 题8(1) 解:
dy 1 ; dx t
蚌埠学院高等数学
d y 2 dx
2
1 t
2
1 3 t t
12
2018年8月15日星期三
例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速度大小:
d 1 dh sec d t 500 d t
2
h
sec 2 1 tan 2
dh 已知 140 m min , h = 500m 时, tan 1 , sec 2 2 , dt d 1 1 ( rad/ min ) 140 d t 2 500
2018年8月15日星期三
蚌埠学院高等数学
18
思考题:当气球升至500 m 时停住,有一观测者以

求隐函数偏导数的三种方法

求隐函数的偏导数有三种常用的方法
1. 全微分法：利用全微分的定义，即对于一个自变量和因变量之间的函数关系，将其看作是多个自变量的函数关系，然后对其进行求导。

该方法适用于方程形式简单，且易于进行全微分的情况。

2. 参数法：采用参数将隐函数表示出来，然后对参数进行求导。

具体的做法是引入新的参数，使得原方程式可以表示为参数方程式，然后对参数方程式进行求导。

这种方法适用于将隐函数表示为参数方程式较为容易的情况。

3. 直接求导法：将隐函数视为一个整体，直接对方程式两边进行求导。

首先求出隐函数对于一个自变量的导数，然后通过链式法则等方法将其转化为对其他自变量的导数。

这种方法适用于函数关系比较复杂，无法简单表达为参数方程式的情况。

这些方法可以根据具体的隐函数形式和求导的难度选择合适的方法进行求解。