平面向量数量积的物理背景及其含义

又│COSθ│ 1
思考：在什么情况下取等号？ 0 或 180


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a•b=│a││b│COSθ
(4)cos ＝ 练习
a b ab
设|a|＝12，|b|＝9，a•b＝－ 54 2 ，求a和b的夹角
cos ＝ －
2 2
平面向量的数量积
课堂小结：
1、向量的数量积的定义 已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为θ，我们把
a b a b cos
数量 a b cos 叫做 a与b 的数量（或内积,点乘），即
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0．
2、向量投影的几何意义
向量的投影可正、可负、可为零
课堂小结：
3、向量数量积的性质 设 a, b都是非零向量 ,则 1)a b a b 0 2）当a , b 同向时a b | a || b | ； 当a , b反向时a b | a || b | ； 2 2 特别的a a 或 a a a
平面向量的数量积
问题情境
θ
F
F θ S
O
位移S
A
如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所 做的功为: W=│F││S│COSθ
θ表示力F的方向与位移S的方向的夹角。
平面向量的数量积
学习目标：
1、掌握平面向量的数量积的定义及投影定义 2、掌握平面向量数量积的性质 请同学们思考如下问题：
看课本103—104页并思考如下问题： 1、向量的夹角是如何定义（规定）的？
A BC•CA=-20 b 60° C 变式： │ │ │ 若 a=5, b=8,a与b平行，则 a b = │ a B
思考1：在平面向量的数量积定义中，它与两个向量 的加减法有什么本质区别？
向量的加减的结果还是向量，但向量的数量积结果是 一个数量（实数）。
（这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关）
.
指出下列图中两向量的夹角
A A 1） B
O
O 2）
.
A O
B

O 3）
B
A

4）
B
(1)中OA与OB的夹角为 0 （2）中OA与OB的夹角为180

（3）中OA与OB的夹角为AOB （4）中OA与OB的夹角为
同向 反向 （当 0 时，a与b＿＿；当 180 时，a与b＿＿； 垂直 当 90 时，a与b＿＿，记作 a b）
思考2：在下列各图中作出│b│COSθ的几何图形，
并说明它的几何意义是什么？
b
B1
B
B
B
O ( B1 )
b
O
1）
a A B1 2） 3） │b│COSθ叫做向量b在向量a上的投影。
│a│COSθ叫做向量a在向量b上的投影。
a A
O a A
b
投 影 是 向 量 吗
投影是一个数值（实数），当θ为锐角时， 它是正值；当θ为钝角时，它是负值。 0 90 时│b│COSθ＝＿＿
3） | a b | | a || b | ab 4）cos = 为a， b的夹角 | a || b |


4. 常用︱a︱＝ a a 求向量的模. 常用 cos
a b 求向量的夹角. ab
Байду номын сангаас
7、课时作业：
a•b=│a││b│COSθ
0

│b│ 时│b│COSθ＝＿＿
180 时│b│COSθ＝＿＿ －│b│
4、向量数量积的性质
a•b=│a││b│COSθ
设a,b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则
•b=0 (1)a b____a
思考：（1）若a 0，且a•b=0，则b=0（ ）
│a││b│ (2)当a与b同向时，a•b=________
2、向量的数量积如何定义，它与物理中力 做功有什么联系？ 3、向量的数量积是向量吗？向量的投影是 向量吗？ 4、平面向量的数量积有什么样的性质？
1、向量的夹角
已知两个非零向量a和b，在平上任取一点O，作 OA=a,OB=b,则 AOB (0 180 ) 叫做向量a 与b的夹角
2、数量积的定义
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为 ，我们 把数量 a b cos 叫做向量a与b的数量积（或内积） 记作 a b 即 a b a b cos 并规定 0 a 0
注：（1）写法
ab
（2）夹角的定义
练习1
a•b=│a││b│COSθ
│ │8 ，∠C＝60°，求BC•CA 已知 三角形ABC 中 a ＝5， b＝ │ │
1、已知|p|＝8，|q|＝6，p和q的夹角是60°，求p•q 24
2、已知 ABC 中，AB＝a，AC＝b
钝角 当a•b<0时， ABC 是＿＿＿三角形； 直角 当a•b=0时， ABC 是＿＿＿三角形
3、已知|a|＝6，e为单位向量，当它们的夹角分别为 45°、90°、135°时，求出a在e方向上的投影 3 2 3 2 0 4、已知 ABC 中a＝5，b＝8，∠C＝60°，求BC•CA 作业5
2
× （2）若a•b=0 ，则a=0或b=0 （ ） ×
当a与b异向时，a•b=___________ -│a││b│
a a•a=________
│a││b│ (3) │ a•b │___
性质4
a•b=│a││b│COSθ 证明向量数量积性质3 (3) │ a•b │ │a││b│ 因为a•b=│a││b│COSθ 所以│a•b│ =│a││b││COSθ│ 所以│ a•b │ │a││b│
－20
谢谢大家！