山东省潍坊市2019年学业水平考试数学模拟试题(1)及答案

山东省潍坊市2019年学业水平考试
数 学 模 拟 试 题
注意事项：
本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，36分；第Ⅱ卷为非选择题,84分；
共120分．考试时间为120分钟．
第Ⅰ卷 选择题 (共36分)
一、选择题 (本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确
的选项选出来填入题后的括号内，每小题选对得3分.) 1.下列根式中与18是同类二次根式的是( ). A .
32
1
B .27
C .6
D .3 2.抛物线y ＝2x 2
＋4x －3的顶点坐标是（ ）.
A ．（1，－5）
B ．（－1，－5）
C ．（－1，－4）
D ．（－2，－7）
3.国家游泳中心——“水立方”是2019年北京奥运会标志性建筑之一，其工程占地面积为62828平方米，将62828用科学记数法表示是（保留三个有效数字）（ ）. A .62.8×103
B .6.28×104
C .6.2828×104
D .0.62828×105
4.数据0，-1，6，1，x 的众数为-1，则这组数据的方差是（
A ．2
B ．5
34
C ．2
D ．5
26
5.如图，⊙O 的直径为10，弦AB 的长为6，M 是弦AB 上的一动点，则线段OM 的长的取值范围是（ ）. A .3≤OM ≤5 B .4≤OM ≤5 C .3＜OM ＜5 D .4＜OM ＜5
6.小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎 到其内切圆(阴影)区域的概率为（ ）. A .21 B .π63
C .π9
3 D .π33 7.如图，□ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ， 如果AC =12，BD =10，AB =m ，那么m 的取值范围是( ).
A ．1＜m ＜11
B ．2＜m ＜22
C ．10＜m ＜12
D ．5＜m ＜6
D
A
B
C
O
第7题图
第6题图
第8题图
第5题图
第11题图
8.如图，P 1、P 2、P 3是双曲线上的三点．过这三点分别 作y 轴的垂线，得到三个三角形P 1A 1O 、P 2A 2O 、P 3A 3O ， 设它们的面积分别是S 1、S 2、S 3，则( )． A .S 1<S 2<S 3 B .S 2<S 1<S 3 C .S 1<S 3<S 2 D .S 1=S 2=S 3
9.直线1l ：1y k x b =+与直线2l ：2y k x =在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式
12k x b k x +>的解为（ ）.
A .1x >-
B .1x <-
C .2x <-
D .无法确定
10.如图，将ABC △沿DE 折叠，使点A 与BC 边的中点F 重合，下列结论中①EF AB ∥且
1
2
EF AB =
；②BAF CAF ∠=∠； ③DE AF 2
1
S ADFE ∙=
四边形； ④2BDF FEC BAC ∠+∠=∠， 一定正确的个数是（ ）. A ．1
B ．2
C ．3
D .4
11.若关于x 的一元二次方程ax 2
+2x -5=0的两根中有且仅有一根在0和1 之间（不含0和1），则a 的取值范围是（ ）.
A .a ＜3
B .a ＞3
C .a ＜-3
D .a ＞-3
12.如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是D 、E 、F ， 已知∠A = 100°，∠C = 30°，则∠DFE 的度数是 （ ）.
A .55°
B .60°
C .65°
D .70°
第Ⅱ卷 非选择题（共84分）
二、填空题（本题共5小题，共15分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分．） 13.当m = 时，关于x 的分式方程213
x m
x +=--无解. 14.已知关于x 的不等式组⎩⎨
⎧--≥-0
1
25a ＞x x 无解，则a 的取值范围是 .
15.已知关于的一元二次方程
12)1(2=-++x x k
k 的取值范围是 .
16.如图，梯形ABCD 中，BC AD //，
1===AD CD AB ，︒=∠60B
直线MN 为梯形ABCD 的对称轴，
第16题图
x
第9题图
第12题图
P 为MN 上一点，那么PD PC
的最小值是 .
17.在实数的原有运算法则中我们补充定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b ＝ b 2
；当a ＜b 时，a ⊕b ＝a ．则当x ＝2时，（1⊕x ）－（3⊕x ）的值为 ． 三、解答题（本题共7小题，共69分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．） 18.（本题满分8分）据《生活报》报道，有关部门要求各中小学要把“每天锻炼一小时”写入课表．为了响应这一号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？（只写一项）”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据．图1是根据这组数据绘制的条形统计图．请结合统计图回答下列问题： （1）该校对多少名学生进行了抽样调查？
（2）本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有多少人？占被调查人数的百分比是多少？ （3）若该校九年级共有200名学生，图2是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百
分比绘制的扇形统计图，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少？
19.（本题满分9分）某公司经销一种绿茶，每千克成本为50
元．市场调查发现，在一段时
图2
图1
最喜欢的体育活 动项目的人数/人育活动项目
间内，销售量w （千克）随销售单价x （元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w ＝－2x ＋240．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y （元），解答下列问题： （1）求y 与x 的关系式； （2）当x 取何值时，y 的值最大？
（3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间
内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？
20.（本题满分9分）经过江汉平原的沪蓉(上海—成都)高速铁路即将动工.工程需要测量汉江某一段的宽度.如图①，一测量员在江岸边的A 处测得对岸岸边的一根标杆B 在它的正北方向，测量员从A 点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C 处，测得∠ACB=68°.
（1）求所测之处江的宽度（.48.268tan ,37.068cos ,93.068sin ≈≈≈ ）； （2）除(1)的测量方案外，请你再设计一种测量江宽的方案，并在图②中画出图形.
21.（本题满分10分）如图，BD 为圆O 的直径，AB AC =，AD 交BC 于E ，2AE =，
4ED =．
（1）求证：ABE ADB △∽△，并求AB 的长；
（2）延长DB 到F ，使BF BO =，连接FA ，那么直线FA 与⊙O 相切吗？为什么？
22.（本题满分10分）荣昌公司要将本公司100吨货物运往某地销售，经与春晨运输公司协商，计划租用甲、乙两种型号的汽车共6辆，用这6辆汽车一次将货物全部运走，其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨．已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元；租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2450元，且同一种型号汽车每辆租车费用相同． （1）求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元？
（2）若荣昌公司计划此次租车费用不超过5000元．通过计算求出该公司有几种租车方
案？请你设计出来,并求出最低的租车费用．
23.(本题满分11分)
如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，AC ⊥BD ，过D 点作DE ∥AC 交BC
的延长线于E 点.
（1）求证：四边形ACED 是平行四边形； （2）若AD =3，BC =7，求梯形ABCD 的面积.
24.（本题满分12分）如图所示，在平面直角坐标系中，⊙M 经过原点O ，且与x 轴、y 轴
分别相交于A (-6，0)，B （0，-8）两点． （1）请求出直线AB 的函数表达式；
（2）若有一抛物线的对称轴平行于y 轴且经过点M ，顶点C 在⊙M 上，开口向下，且经过点B ，求此抛物线的函数表达式；
（3）设（2）中的抛物线交x 轴于D ，E 两点，在抛物线上是否存在点P ，使得
1
15
PDE ABC S S
△△？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
数学参考答案
一、选择题
1.A
2.B
3.B
4.B
5.B
6.C
7.A
8.D
9.B10.B11.B12.C 二、填空题
13.-6 14.a ≥3 15.k ＞-2，且k ≠-1 16.3 17.-3
18.解：（1）由图1知：4810181050++++=（名）………2分 答：该校对50名学生进行了抽样调查．
（2）本次调查中，最喜欢篮球活动的有18人．………………3分
18
1003650
⨯=％％………………………………………….4分 ∴最喜欢篮球活动的人数占被调查人数的36％．
（3）1(302624)20-++=％％％％ 200201000÷=％ （人）…6分
8
100100016050
⨯⨯=％ （人） 答：估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为160人．………8分 19.解：⑴ y ＝(x －50)∙ w ＝(x －50) ∙ (－2x ＋240)＝－2x 2＋340x －12000，
∴y 与x 的关系式为：y ＝－2x 2＋340x －12000．.......3分 ⑵ y ＝－2x 2＋340x －12000＝－2 (x －85) 2＋2450，
∴当x ＝85时，y 的值最大． ……………………………6分 ⑶ 当y ＝2250时，可得方程 －2 (x －85 )2 ＋2450＝2250． 解这个方程，得 x 1＝75，x 2＝95． 根据题意，x 2＝95不合题意应舍去．
∴当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元．…………9分
20.解：（1）在BAC Rt ∆中， 68=∠ACB ，
∴24848.210068tan =⨯≈⋅= AC AB （米）
答：所测之处江的宽度约为248米…………………………………3分
（2）从所画出的图形中可以看出是利用三角形全等、三角形相似、解直角三角形的知识来解决问题的，只要正确即可得分……………9分 21.（1）证明：
AB AC =，ABC C ∴=∠∠，
C D =∠∠，ABC D ∴=∠∠．
又BAE DAB =∠∠，
ABE ADB ∴△∽△．
AB AE
AD AB
∴=
． AB 2
=AD ·AE=（AE+ED ）·AE=（2+4）×2=12.
AB ∴=． ……………………………………………………5分
（2）直线FA 与⊙O 相切．
理由如下： 连接OA ．
BD 为⊙O 的直径，
BD ∴====
1
22BF BO BD ∴===⨯=．
2AB =，BF BO AB ∴==．90OAF ∴=∠．
∴直线FA 与⊙O 相切． ……………………………………10分
22.解：（1）设租用一辆甲型汽车的费用是元，租用一辆乙型汽车的费用是
元．
由题意得
解得
答：租用一辆甲型汽车的费用是800元，租用一辆乙型汽车的费用是850
元．……………………………………………………………3分 （2）设租用甲型汽车辆，则租用乙型汽车辆．
由题意得
解得
……………………………………………………6分
由题意知，为整数，或或
共有3种方案，分别是：
方案一：租用甲型汽车2辆，租用乙型汽车4辆； 方案二：租用甲型汽车3辆，租用乙型汽车3辆； 方案三：租用甲型汽车4辆，租用乙型汽车2辆．
方案一的费用是（元）； 方案二的费用是（元）； 方案三的费用是
（元）
，所以最低运费是4900元．……………9分
答：共有3种方案，分别是：方案一：租用甲型汽车2辆，租用乙型汽车4辆； 方案二：租用甲型汽车3辆，租用乙型汽车3辆； 方案三：租用甲型汽车4辆，租用乙型汽车2辆．
最低运费是4900元．……………………………………………10分 23.证： ⑴∵AD ∥BC ∴AD ∥CE 又∵DE ∥AC
∴四边形ACED 是平行四边形……………… 3分 ⑵过D 点作DF ⊥BE 于F 点
∵DE ∥AC ，AC ⊥BD ∴DE ⊥BD ，即∠BDE=90° 由⑴知DE=AC ，CE=AD=3 ∵四边形ABCD 是等腰梯形
∴AC=DB ………………………………………7分
∴DE=DB ……………………………………8分
∴△DBE 是等腰直角三角形，∴△DFB 也是等腰直角三角形 ∴DF=BF=
2
1
(7－3)+3=5……………………9分 (也可运用：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
()255372
1
DF BC)(AD 21S ABCD =⨯+=∙+=
梯形……11分 注：⑴过对角线交点O 作OF ⊥BC 于F ，延长FO 交AD 于H ，于是OH ⊥AD
由△ABC ≌△DCB ，得到△OBC 是等腰直角三角形，OF=21BC=2
7
同理OH=
21AD=23，高HF=52
3
27=+ ⑵过A 作AF ⊥BC 于F ，过D 作DH ⊥BC 于H ，由△AFC ≌△DHB
得高AF=FC=
2
1
(AD+BC)=5 ⑶DOA COD BOC AOB ABCD S S S S S ∆∆∆∆+++=梯形(进行计算)
24. 解：（1）设直线AB 的函数表达式为(0)y kx b k =+≠， ∵直线AB 经过(60)(08)A B --，，
，， ∴由此可得60,8.k b b -+=⎧⎨=-⎩解得4,
38.
k b ⎧
=-⎪⎨⎪=-⎩
∴直线AB 的函数表达式为4
83
y x =--．……4分
（2）在Rt AOB △中，由勾股定理，得
10AB ===， ∵圆M 经过O A B ，，三点，且90AOB ∠=°， AB ∴为圆M 的直径，∴半径5MA =，
设抛物线的对称轴交x 轴于点N ， MN x ⊥∵，∴由垂径定理，得1
32
AN ON OA ==
=． 在Rt AMN △
中，4MN ===，
541CN MC MN ∴=-=-=，
1()P
N
∴顶点C 的坐标为(31)-，，
设抛物线的表达式为2(3)1y a x =++，
它经过(08)B -，，
∴把0x =，8y =-代入上式，得28(03)1a -=++，解得1a =-， ∴抛物线的表达式为22(3)168y x x x =-++=---．…………8分
（3）如图，连结AC ，BC ，
352
1
3521ON MC 21AN MC 21S S S BMC AMC ABC ⨯⨯+⨯⨯=∙+∙=
+=∆∆∆ =15 在抛物线2
68y x x =---中，设0y =， 则2680x x ---=， 解得12x =-，24x =-．
D E ∴，的坐标分别是(40)-，，(20)-，，
2DE ∴=；
设在抛物线上存在点()P x y ，，使得11
1511515
PDE ABC S S =⨯=△△＝， 则1y 22
1
y DE 21S PDE =⨯⨯=∙=
∆， 1y ∴=±，
当1y =时，2681x x ---=，解得123x x ==-，1(31)P ∴-，；
当1y =-时，2681x x ---=-，解得13x =-+，23x =-
2(3)P ∴--1，3(3)P --1．
综上所述，这样的P 点存在，且有三个，
1(31)
P -，，2(3)P -+-1，3(31)P --．…………………….12分。