二阶电路经典篇

1. 二阶电路的零输入响应 + - C i uc
已知： 已知：
R L
uc(0+)=U0
i(0+)=0
列电路方程： 列电路方程：
Ri + uL − uC = 0
di uL = L dt
duC i = −C dt
2
若以电容电压为变量： 若以电容电压为变量： 若以电感电流为变量： 若以电感电流为变量：
d uC duC LC + RC + uC = 0 dt dt 2 di di LC + RC + i = 0 dt dt
求通解的特征方程为； 求通解的特征方程为；
LCP2 + RCP +1 = 0
uc = u + u
' c
" c
特解: 特解 特解
u =E
" c
通解
uc解答形式为： 解答形式为：
uc = E + A e 1
uc = E + A e 1
p1t
−δ t
+ A2e
p2t
−δ t
( p1 ≠ p2 )
( P = P = −δ ) 1 2
2
U0 di = dt t =0+ L
d uC duC 电路方程： 电路方程： LC + RC + uC = 0 dt dt
特征方程： 特征方程：
LCP2 + RCP + 1 = 0
R R 2 1 − R ± R2 − 4L/ C 特征根： 特征根： P = =− ± ( ) − 2L 2L LC 2L
uc
U0
设|P2|>|P1|
P U0 P1t 2 e P −P 2 1
t
− P U0 P2t 1 e P −P 2 1
U0
uc ic tm 2tm uL
U0 uc = (P eP1t − P eP2t ) 1 P −P 2 2 1
t t=0+ ic=0 , t=∞ i c=0 ic>0 t = tm 时ic 最大 0< t < tm ic增加 uL>0 增加,
t
在0－至0＋间
2
有限值
有限值
duc + duc − d uc dt = 1 LC dt (0 ) − LC dt (0 ) = 1 − LC ∫0 2 dt
0+
duc + duc − LC (0 ) − LC (0 ) = 1 dt dt 1 + + iL (0 ) = iC (0 ) = L
10.3 二阶电路的冲激响应
+ 0+
iR
δ(t)
R
L
+ C -
定量分析，方程为 定量分析，方程为:
uC
d 2uc duc LC 2 + RC + uc = δ (t ) dt dt
0+ 0+ 0+ d 2uc duc ∫0− LC dt 2 dt + ∫0− RC dt dt + ∫0− ucdt = ∫0− δ (t)dt
+ A2te
uc = E + Ae−δ t sin(ωt + β ) (P、 = −δ ± jω) 12
uc (0+ ) 由初值duc + 确定 二个常数 dt (0 )
uc E
t
例
k 2A +
0.5 u1 2Ω i1 1/6F 2Ω 1H
求所示电路 i 的 零状态响应。 零状态响应。
解出： 解出：
A = U0 1 A2 = U0δ
uc = U0e (1 +δ t ) duc U0 −δ t ic = −c = te 非振荡放电 dt L di uL = L = U0e−δ t (1 −δ t ) dt
−δ t
小结： 小结：
L R> 2 过阻尼， 过阻尼， 非振荡放电 C
+ -
t > tm uc减小 ，i 减小 减小.
+
R C L
R L
- C
L (2) R< 2 < C
R R 2 1 P=− ± ( ) − 2L 2L LC
特征根为一对共轭复根
2 则 ω = ω0 −δ 2
R 令 δ= ： (衰 系 ) 减 数 2L 1 ω0 = (谐 角 率) 振 频 LC
uc的解答形式： 的解答形式： 经常写为： 经常写为：
uc = A e 1
p1t
+ A2e
p2t
−δ t −δ t L R= 2 临界阻尼， 临界阻尼， 非振荡放电 uc = A e + A te 1 2 C L uc = Ae−δ t sin(ωt + β ) R< 2 欠阻尼， &l; ) 由 始 件duc + 初 条 dt (0 )
+ A2e
−6t
i = 0.5 u1
u1=2(2－0.5u1) －
u1=2
i=1A
0.5 u1 k 2A + 2Ω 1/6F ＋ 1H
第四步定常数
i = 1 + A e−2t + A2e−6t 1
i(0+ ) = i(0− ) = 0 di + L (0 ) = uL (0+ ) dt
可推广应用于一般二阶电路
定常数
例1.
20Ω
iL
+ u - c 100 μF
+ 0.5H
50V 10Ω
电路如图， 时打开开关 时打开开关。 电路如图，t=0时打开开关。 并画出其变化曲线。 求uc,并画出其变化曲线。 并画出其变化曲线
5Ω
） 解 （1） uc(0－)=25V
iL(0－)=5A
（2）开关打开为 ）开关打开为RLC串 串 联电路，方程为： 联电路，方程为：
→ P A + P A2 = 0 1 1 2
P A 2 U = 1 P −P 0 2 1 1 A2 = − P U0 P −P 2 1
U0 P1t − P eP2t ) uC = (P e 2 1 P −P 2 1
U0 P1t P2t uc = (P e − P e ) 2 1 P −P 2 1
10Ω
d 2uc duc LC + RC + uc = 0 dt dt 特征方程为： 特征方程为： 50P2+2500P+106=0
P = −25 ± j139
uc = Ae−25t sin(139t + β )
(3)
uc = Ae−25t sin(139t + β ) uc (0+ ) = 25 Asin β = 25 A(139cos β − 25sin β ) = − 5 duc −4 C dt 0+ = −5 10 A = 356 ，β = 1760
uc 356 25 0
uc = 356e
−25t
sin(139t + 176 )V
0
ωt
11.2 二阶电路的零状态响应和阶跃响应
1. 零状态响应
i
uc(0－)=0 ,iL(0－)=0
微分方程为： 微分方程为： +
L R
L
Eε( ) t
C -
u C
d 2uc duc LC + RC + uc = E dt dt
2. 零状态响应的三种情况
L R> 2 C L R= 2 C L R< 2 C
二个不等负实根 二个相等负实根 个共 复根 轭 二
过阻尼 临界阻尼
欠阻尼
L (1) R > 2 C
+
uc = A e + A2e 1
p1t
p2t
uc (0 ) = U0 → A + A2 = U0 1
duC dt
(0+ )
p1t p2t
(固 振 角 率) 有 荡 频
P = −δ ± jω
−δ (t )
uc = A1e + A2e = e
−δ t
( A1e + A2e
jωt
− jωt
)
uc = Ae
sin(ωt + β )
A ，β为待定常数
+ uc (0 ) = U0 → Asin β = U0 由 始 件duc + 初 条 dt (0 ) = 0 → A(−δ )sin β + Aω cos β = 0
2π-β 2π πβ π t
di ω0 uL = L = − U0e−δ t sin(ωt − β ) dt ω
uL零点：ωt = β ，π+β，2π+β ... nπ+β 零点： β π β π β
ic零点：ωt =0，π，2π 零点： =0， π ic极值点为 L零点。 极值点为u 零点。
... nπ ，为 uc极值点 π
p2 ln p1 tm = p1 − p2
/dt可确定 可确定u 由duL/dt可确定uL为极小时的 t .
(P e
2 1
p1t
−P e ) =0
2 2 p2t
t = 2tm
p2 2ln p1 t = p1 − p2
能量转换关系
U0 tm
uc ic 2tm uL t
0 < t < tm uc减小 ，i 增加。 增加。
u1
2Ω
-
2Ω
uL(0+ )
－i
电路模型： 由0+电路模型：
uL(0+ ) = 0.5u1 × 2 + u1 = 2u1 = 8V
A = 0.5 1 A2 = −1.5
−2t
0 = 1 + A + A2 1 8 = −2A − 6A2 1
∴i = 1 + 0.5e
−1.5e
−6t
A
uc U0
ω0 uc = U0e−δ t sin(ωt + β ) ω
ω0 U0e−δt ω
π-β β π 2π-β 2π πβ π
uc零点：ωt = π-β，2π-β ... nπ-β 零点： β πβ πβ
0
t
ω0 − U0e−δt ω
uc U0 ic β 0 β π-β π
duc U0 −δ t ic = −C e sinωt = dt ωL
第11章 11章
重点： 重点：
二阶电路
用经典法分析二阶电路的过渡过程； 1. 用经典法分析二阶电路的过渡过程； 二阶电路的零输入响应、 2. 二阶电路的零输入响应、零状 态响应、全响应的概念； 态响应、全响应的概念； 阶跃响应和冲激响应的概念; 3. 阶跃响应和冲激响应的概念;
11.1 二阶电路的零输入响应
d 2i di + 8 +12i = 12 2 dt dt
解答形式为： 解答形式为： 第二步求通解i ’ 特征根为： 特征根为：
'
稳态模型
i = i +i
'
"
2A
+
0.5u i 1 2Ω
u
1 2Ω -
P1= －2 ，P2 = －6
i = Ae 1
第三步求特解 i” 由稳态模型有： 由稳态模型有：
−2t
U0 A= sin β
ω，ω０，δ间的关系 间的关系: 间的关系
ω ，β = arctg δ
ω0
ω β δ
ω0 −δ t uc = U0e sin(ωt + β ) ω
ω sin β = ω0
ω0 A = U0 ω
ω0 uc是其振幅以± U0为包线依指数衰减的正 弦函数。 弦函数。 ω
t=0时 uc=U0 时
duc − U0 p1t p2t ic = −C (e − e ) = dt L(P − P ) 2 1
di − U0 p1t p2t uL = L = (P e − P e ) t > t i 减小 u <0 2 m c减小, L dt (P − P ) 1 2 1
t = 0, uL = U0 t = ∞, uL = 0
uc = U0 sin(ωt + 90 ) = uL
0
U0 i= sinωt ωL
+ - C t
等幅振荡
L
L (3) R = 2 C
R P = P = − = −δ 1 2 2L
uc = A e 1
−δ t
+ A2te
−δ t
uc (0+ ) = U0 → A = U0 1 由初始条件duc + 1 dt (0 ) = 0 → A (−δ ) + A2 = 0
u1
2Ω
解
第一步列写微分方程
-
2-i
i
i1= i － 0.5 u1 = i － 0.5(2－ i)×2 = 2i －2 － ×
di 由KVL： 2(2 − i) = 2i1 + 6∫ i1dt + + 2i ： dt
整理得： 整理得：
d 2i di + 8 +12i = 12 2 dt dt
二阶非齐次常微分方程
t=2 tm时 uL 最大
di − U0 p t p t uL = L = (P e 1 − P e 2 ) 1 2 dt (P − P ) 2 1
iC=i为极值时的 m即uL=0时的 tm计算如下 为极值时的t 时的 计算如下:
(P 1
p1t e
−P 2
p2t e )=0
P eP1tm 2 = Pt P e 2m 1
uc 能量转换关系： 能量转换关系： U0 ic β 0 β π-β π 2π-β 2π πβ π t
0 < ωt < β
+ - C
β< ωt < π-β β
+
π-β < ωt < π β
+
R L
R L
R L
- C
- C
特例： 特例：R=0时 时
1 π 则δ = 0 ，ω = ω0 = ，= β LC 2
以电容电压为变量时的初始条件 以电容电压为变量时的初始条件： duC +)=U +)=0 uc(0 i(0 =0 0 dt t =0+ 以电感电流为变量时的初始条件 以电感电流为变量时的初始条件： i(0+)=0
+
uc(0+)=U0
+
di uC (0 ) = uL(0 ) = L = U0 dt t =0+