第25讲 点、线与圆的位置关系-2021年中考数学一轮复习之考点讲解册(广东专用)

第25讲点、线与圆的位置关系
知识梳理
1点和圆的位置关系
设圆的半径为r，点A到圆心的距离为d．
设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d．
3 圆的切线
4三角形与圆
5年真题
命题点1 切线的性质与判定
1．（9分）（2019•广东）如图1，在△AB C中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作
∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F
，使
CF＝AC，连
接AF．（1）求证：ED＝EC；（2）求证：AF是⊙O的切线；
（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC•BE＝25，求BG的长．
解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，∴∠BCD＝∠ADC，∴ED＝EC；（2）如图1，连接OA，
∵AB ＝AC ，∴AB
̂=AC ̂，∴OA ⊥BC ，∵CA ＝CF ，∴∠CAF ＝∠CF A ， ∴∠ACD ＝∠CAF +∠CF A ＝2∠CAF ，∵∠ACB ＝∠BCD ，∴∠ACD ＝2∠ACB ， ∴∠CAF ＝∠ACB ，∴AF ∥BC ，∴OA ⊥AF ，∴AF 为⊙O 的切线； （3）∵∠ABE ＝∠CBA ，∠BAD ＝∠BCD ＝∠ACB ， ∴△ABE ∽△CBA ，∴
AB BC
=
BE AB
，∴AB 2＝BC •BE ，
∵BC •BE ＝25，∴AB ＝5，如图2，连接AG ，
∴∠BAG ＝∠BAD +∠DAG ，∠BGA ＝∠GAC +∠ACB ，∵点G 为内心，∴∠DAG ＝∠GAC ， 又∵∠BAD +∠DAG ＝∠GAC +∠ACB ，∴∠BAG ＝∠BGA ，∴BG ＝AB ＝5．
2．（9分）（2018•广东）如图，四边形ABC D 中，AB ＝AD ＝CD ，以AB 为直径的⊙O 经过点C ，连接AC 、OD 交于点E ．
（1）证明：OD ∥BC ；（2）若tan ∠ABC ＝2，证明：DA 与⊙O 相切；
（3）在（2）条件下，连接BD 交⊙O 于点F ，连接EF ，若BC ＝1，求EF 的长．
解：（1）连接OC ，在△OAD 和△OC D 中，∵{OA =OC
AD =CD OD =OD
，∴△OAD ≌△OCD （SSS ），
∴∠ADO ＝∠CDO ，又AD ＝CD ，∴DE ⊥AC ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°， ∴∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ，∴OD ∥BC ；
（2）∵tan ∠ABC =AC
BC =2，∴设BC ＝a 、则AC ＝2a ， ∴AD ＝AB =√AC 2+BC 2=√5a ，∵OE ∥BC ，且AO ＝BO ，
∴OE =1
2BC =1
2a ，AE ＝CE =1
2AC ＝a ，在△AE D 中，DE =√AD 2−AE 2=2a ，
在△AO D 中，AO 2+AD 2＝（
√5a 2）2
+（√5a ）2=254a 2，OD 2＝（OE +DE ）2＝（12a +2a ）2=254
a 2， ∴AO 2+AD 2＝OD 2，∴∠OAD ＝90°，则DA 与⊙O 相切；
（3）连接AF ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AFD ＝∠BAD ＝90°，
∵∠ADF ＝∠BDA ，∴△AFD ∽△BAD ，∴DF
AD =AD
BD ，即DF •BD ＝AD 2①， 又∵∠AED ＝∠OAD ＝90°，∠ADE ＝∠ODA ， ∴△AED ∽△OAD ，∴
AD OD
=
DE AD
，即OD •DE ＝AD 2②，
由①②可得DF •BD ＝OD •DE ，即DF
OD =DE
BD ，
又∵∠EDF ＝∠BDO ，∴△EDF ∽△BDO ，∵BC ＝1， ∴AB ＝AD =√5、OD =5
2、ED ＝2、BD =√10、OB =√5
2
， ∴EF OB =DE BD ，即√52
=
10
，解得：EF =√2
2
． 3．（9分）（2017•广东）如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝4√3，点E 为线段OB 上一点（不与O ，B 重合），作CE ⊥OB ，交⊙O 于点C ，垂足为点E ，作直径CD ，过点C 的切线交DB 的延长线于点P ，AF ⊥PC 于点F ，连接C B ．
（1）求证：CB 是∠ECP 的平分线；（2）求证：CF ＝CE ； （3）当
CF CP
=3
4
时，求劣弧BC
̂的长度（结果保留π）
（1）证明：∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠OBC ，
∵PF 是⊙O 的切线，CE ⊥AB ，∴∠OCP ＝∠CEB ＝90°， ∴∠PCB +∠OCB ＝90°，∠BCE +∠OBC ＝90°， ∴∠BCE ＝∠BCP ，∴BC 平分∠PCE ．
（2）证明：连接A C ．∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°， ∴∠BCP +∠ACF ＝90°，∠ACE +∠BCE ＝90°， ∵∠BCP ＝∠BCE ，∴∠ACF ＝∠ACE ，
∵∠F ＝∠AEC ＝90°，AC ＝AC ，∴△ACF ≌△ACE ，∴CF ＝CE ．
解法二：证明：连接A C ．∵OA ＝OC ∴∠BAC ＝∠ACO ， ∵CD 平行AF ，∴∠F AC ＝∠ACD ，
∴∠F AC ＝∠CAO ，∵CF ⊥AF ，CE ⊥AB ，∴CF ＝CE ．
（3）解：作BM ⊥PF 于M ．则CE ＝CM ＝CF ，设CE ＝CM ＝CF ＝3a ，PC ＝4a ，PM ＝a ， ∵∠MCB +∠P ＝90°，∠P +∠PBM ＝90°，∴∠MCB ＝∠PBM ， ∵CD 是直径，BM ⊥PC ，∴∠CMB ＝∠BMP ＝90°， ∴△BMC ∽△PMB ，∴BM
PM =CM
BM ，∴BM 2＝CM •PM ＝3a 2， ∴BM =√3a ，∴tan ∠BCM =
BM CM
=
√3
3
，∴∠BCM ＝30°， ∴∠OCB ＝∠OBC ＝∠BOC ＝60°，∴BC
̂的长=60⋅π⋅2√3180
=2√33
π．
4．（9分）（2016•广东）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC 是⊙O 的直径，∠ABC ＝30°，过点B 作⊙O 的切线BD ，与CA 的延长线交于点D ，与半径AO 的延长线交于点E ，过点A 作⊙O 的切线AF ，与直径BC 的延长线交于点F ．（1）求证：△ACF ∽△DAE ； （2）若S △AOC =
√3
4
，求DE 的长；（3）连接EF ，求证：EF 是⊙O 的切线．
（1）证明：∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°，∵∠ABC ＝30°，∴∠ACB ＝60° ∵OA ＝OC ，∴∠AOC ＝60°，∵AF 是⊙O 的切线，∴∠OAF ＝90°，∴∠AFC ＝30°， ∵DE 是⊙O 的切线，∴∠DBC ＝90°，∴∠D ＝∠AFC ＝30°∴∠DAE ＝∠ACF ＝120°， ∴△ACF ∽△DAE ；
（2）∵∠ACO ＝∠AFC +∠CAF ＝30°+∠CAF ＝60°，∴∠CAF ＝30°，∴∠CAF ＝∠AFC ， ∴AC ＝CF ∴OC ＝CF ，∵S △AOC =
√34，∴S △ACF =√3
4
，∵∠ABC ＝∠AFC ＝30°，∴AB ＝AF ，
∵AB =12
BD ，∴AF =12
BD ，∴∠BAE ＝∠BEA ＝30°，∴AB ＝BE ＝AF ，∴
AF
DE
=1
3
，
∵△ACF ∽△DAE ，∴
S △ACF
S △DAE
=（AF DE
）2=19
，∴S △DAE =
9√34
，
过A 作AH ⊥DE 于H ，∴AH =√33DH =√3
6DE ，∴S △ADE =12DE •AH =12
×
√3
6•DE 2=9√34
， ∴DE =3√3；
（3）∵∠EOF ＝∠AOB ＝120°，在△AOF 与△BOE 中，{∠OBE =∠OAF
∠OEB =∠AFO OA =OB ，
∴△AOF ≌△BEO ，∴OE ＝OF ，∴∠OFG =1
2（180°﹣∠EOF ）＝30°， ∴∠AFO ＝∠GFO ，过O 作OG ⊥EF 于G ，∴∠OAF ＝∠OGF ＝90°，
在△AOF 与△OGF 中，{∠OAF =∠OGF
∠AFO =∠GFO OF =OF ，∴△AOF ≌△GOF ，∴OG ＝OA ，∴EF 是⊙O 的
切线．
命题点2 三角形的内接圆与外切圆
5．（4分）（2016•广东）如图，点P 是四边形ABCD 外接圆上任意一点，且不与四边形顶点重合，若AD 是⊙O 的直径，AB ＝BC ＝C D ．连接P A 、PB 、PC ，若P A ＝a ，则点A 到PB 和PC 的距离之和AE +AF ＝
1+√32
a ．
1+√32
a 【解析】如图，连接OB 、O C ．
∵AD 是直径，AB ＝BC ＝CD ，∴AB
̂=BC ̂=CD ̂，∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝60°， ∴∠APB =1
2∠AOB ＝30°，∠APC =1
2∠AOC ＝60°，
在Rt △APE 中，∵∠AEP ＝90°（AE 是A 到PB 的距离，AE ⊥PB ），∴AE ＝AP •sin30°=1
2a ，
在Rt △APF 中，∵∠AFP ＝90°，∴AF ＝AP •sin60°=
√3
2a ，∴AE +AF =1+√32a ．故答案为1+√32
a ． 3年模拟
1．（2020•天河区模拟）⊙O 是△ABC 的外接圆，则点O 是△ABC 的（ A ） A ．三条边的垂直平分线的交点 B ．三条角平分线的交点
C ．三条中线的交点
D ．三条高的交点
2．（2020•南沙区一模）如图，圆O 是△ABC 的外接圆，连接OA 、OC ，∠OAC ＝20°，则∠ABC 的度数为（B ）
A ．140°
B ．110°
C ．70°
D ．40°
3．（2019•潮阳区一模）如图，∠ACB ＝60°，半径为3的⊙O 切BC 于点C ，若将⊙O 在CB 上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离为（ B ）
A ．3
B ．3√3
C ．6π
D ．√3
4．（2019•深圳模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 外一点，CA 、CD 是⊙O 的切线，A 、D 为切点，连接BD 、A D ．若∠ACD ＝48°，则∠DBA 的大小是（ D ）
A ．32°
B ．48°
C ．60°
D ．66°
5．（2020•龙岗区模拟）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，⊙O 的半径r ＝2，sin B =3
4，则弦AC 的长为（ B ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．√3
B 【解析】如图，连接AO 并延长交⊙O 于点D ，连接CD ，
∵∠B 与∠D 是同弧所对的圆周角，AD 是⊙O 的直径，∴∠B ＝∠D ，∠ACD ＝90°．∵⊙O 的半径r ＝2，∴AD ＝4．∵sin B =3
4，∴AC
AD =3
4，即3
4=
AC 4
，∴AC ＝3．故选：B ．
6．（2020•福田区一模）如图，在Rt △AB C 中，∠ACB ＝90°，过点C 作△ABC 外接圆⊙O 的切线交AB 的垂直平分线于点D ，AB 的垂直平分线交AC 于点E ．若OE ＝2，AB ＝8，则CD ＝ 3 ．
3【解析】连接OC ，
∵CD 是⊙O 的切线，∴∠OCD ＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠DCE＝∠COB，
∵OD⊥AB，∴∠AOE＝90°，
∴∠A+∠B＝∠A+∠AEO＝90°，
∴∠AEO＝∠B，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，
∵∠DEC＝∠AEO，∴∠DEC＝∠DCE，
∴DE＝DC，设DE＝DC＝x，
∴OD＝2+x，∵OD2＝OC2+CD2，
∴（2+x）2＝42+x2，解得：x＝3，
∴CD＝3，故答案为：3．
7．（2020•天河区模拟）如图，E为圆O上的一点，C为劣弧EB的中点．CD切⊙O于点C，交⊙O的直径AB的延长线于点D．延长线段AE和线段BC，使之交于点F．
（1）求证：△AFB和△CEF都是等腰三角形；
（2）若BD＝1，CD＝2，求EF的长．
（1）证明：连接OC，如图，
∵C为劣弧EB的中点．∴∠EAC＝∠BAC，
∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，
∵∠F AC＝∠BAC，AC＝AC，∠ACF＝∠ACB，
∴△ACF≌△ACB，∴∠F＝∠ABC，BC＝CF，
̂−CB̂，
∴△ABF为等腰三角形，∴CE
∴CE＝CB，∴CE＝CF，
∴△CEF为等腰三角形；
（2）解：连接BE交OC于H，如图，
∵CD切⊙O于点C,∴OC⊥CD，
设⊙O的半径为r，则OC＝OB＝r，
在Rt△OC D中，r2+22＝（r+1）2，解得r=3
2
，∵C为劣弧EB的中点，∴OC⊥BE，
∴BH＝EH，∵BH∥CD，
∴CH
CO =BD
OD
，即CF3
2
=1
1+3
2
，解得CF=3
5
，
∵CF＝CB，HE＝HB，
∴CH为△BEF的中位线，∴EF＝2CH=6
5
．
8．（2020•龙湖区一模）如图，在AB C中，AB＝BC，以BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，①求证：ED是⊙O的切线；
②求证：DE2＝BF•AE；
③若DF＝3√5，cos A=2
3
，求⊙O的直径．
（1）证明：∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，即BD⊥AC，∵BA＝BC，
∴AD＝CD，即D点为AC的中点，
∵点O为BC的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AB，而DE⊥AB，
∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线；
（2）证明：∵BA＝BC，BD⊥AC，
∴BD平分∠ABC，∴DE＝DF，
∵∠ADE+∠BDE＝90°，∠BDE+∠BDO＝90°，∴∠ADE＝∠BDO，
而OB＝OD，∴∠BDO＝∠OBD，
∴∠ADE＝∠OBD，∴Rt△AED∽Rt△DFB，
∴DE：BF＝AE：DF，∴DE：BF＝AE：DE，∴DE2＝BF•AE；
（3）解：∵∠A＝∠C，∴cos A＝cos C=2
3
，
在Rt△CDF中，cos C=CF
DC =2
3
，
设CF＝2x，则DC＝3x，
∴DF=√DC2−CF2=√5x，而DF＝3√5，
∴√5x＝3√5，解得x＝3，
∴DC＝9，
在Rt△CB D中，cos C=DC
BC =2
3
，
∴BC=3
2×9=27
2
，
即⊙O的直径为27
2
．
9．（2020•高州市模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC＝BC，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF＝CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB＝2，求BD的长；
（3）在（2）的条件下，连接AC，求cos∠ACF的值．
（1）证明：连接OC，如图1所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB ＝90°，
∵AC ＝BC ，OA ＝OB ，
∴OC ⊥AB ，
∴∠BOC ＝90°，
∵E 是OB 的中点，
∴OE ＝BE ，
在△OCE 和△BFE 中，{OE =BE ∠OEC =∠BEF CE =EF
，
∴△OCE ≌△BFE （SAS ），
∴∠OBF ＝∠COE ＝90°，
∴直线BF 是⊙O 的切线；
（2）解：∵AB ＝2，
∴OB ＝OC ＝1，
由（1）得：△OCE ≌△BFE （SAS ）， ∴BF ＝OC ＝1，
∴AF =√AB 2+BF 2=√22+12=√5， ∴S △ABF =12AB ×BF =12AF ×BD ， ∴2×1=√5•BD ，
∴BD =2√55
． （3）解：作AG ⊥CE 于G ，如图2所示： ∵AB ＝2，
∴OA ＝OC ＝OB ＝1，
由（1）得：△OCE ≌△BFE （SAS ）， ∴OE ＝BE =12OB =12， ∴AE ＝OA +OE =32， ∵∠ACB ＝90°，
∴△ABC 是等腰直角三角形，
∴AC ＝BC =√22AB =√2，
∵OC ⊥AB ，
∴CE =√OC 2+OE 2=√12+(12)2=
√52， ∵△ACE 的面积=12CE ×AG =12AE ×OC ，
∴AG =AE×OC CE =32
×1√52=3√55
， ∴CG =√AC 2−AG 2=(√5
)=√55， ∴cos ∠ACF =CG AC =√55√2=√10
10．。