大学物理教程课件讲义第四章周期震动
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4.6 受迫振动 共振
阻尼振动中的振幅在减小，要维持有阻尼的振动系统等幅振动，必须给振动系统不断地补充能量。如果对振动系统施加一个周期性的外力，其所发生的振动称为受迫振动。这个周期性外力称为策动力。许多实际的振动属于受迫振动，如声波引起耳膜的振动、机器运转时引起基座的振动等。
4.6 受迫振动 共振
4.3 旋转矢量法
图4.10
由x=-6 cm，向x轴负方向运动这一已知条件可知，这一运动状态对应的旋转矢量位置如图4.10所示，其旋转矢量与Ox轴的夹角。旋转矢量逆时针转动到与Ox轴。物体第一次回到平衡位置。
4.4 简谐振动的合成
设质点在一个方向上同时参与两个独立的同频率简谐振动。每个简谐振动的运动方向均沿x轴方向，它们的角频率都是ω，振幅分别为A1和A2，初相分别为φ1和φ2，则它们的运动方程分别为 x1=A1cos（ ωt+φ1 ） x2=A2cos（ωt+φ2） 在任意时刻合振动的位移为两个分振动位移的代数和，即 x=x1+x2
4.5 阻尼振动
前几节讨论的简谐振动都是在不计能量损耗条件下的理想情况。实际上，弹簧振子、单摆、复摆这类机械振动系统在振动过程中不可避免地要受到空气阻力等摩擦阻力作用。而在LC电路这类电磁振荡系统中，线圈和导线不可能完全没有电阻。所以，在振动过程中，机械能或电磁能总要逐渐转化为热量耗散掉。这样的能量损耗作用称为摩擦阻尼或电磁阻尼。
4.4 简谐振动的合成
研究此问题有两种简便的方法，用旋转矢量法求合振动的位移将更加直观简便。如图4.11所示，两个分振动的旋转矢量分别为A1和A2. 当t=0时，它们与x轴的夹角分别为φ1和φ2，在x轴上的投影分别为x1及x2.A1与A2的合矢量为A，而A在x轴上的投影为 x=x1+x2，
图4.11 振动合成矢量图
4.3 旋转矢量法
图4.7 旋转矢量法
这正是式(4-1)所表示的简谐振动的运动方程。由此可见，匀速旋转的矢量A，其端点M在 x轴上的投影点P的运动是简谐运动。在矢量A的转动过程中，M点做匀速圆周运动，对应的圆周称为参考圆，故旋转矢量法又称参考圆法。
4.3 旋转矢量法
4.3 旋转矢量法
图4.8 例4.4图
例4.4 一简谐振动的振动曲线如图4.8(a)所示。求角频率ω、初相φ及简谐振动的运动方程。由振动曲线可以看出，t=0时，x0=0，v0>0，与此状态相对应的旋转矢量如图4.8 (b) 所示。
4.3 旋转矢量法
图4.9 例4.5图
依据初始条件由旋转矢量法来确定初相φ.如图4.9所示，满足x0=0.06 m条件，有P和Q两个点，但是只有P点在x轴的投影沿x正向运动。
4.6 受迫振动 共振
1.振幅
图4.17 位移共振曲线
由式(4-33)可知，稳态受迫振动的位移振幅随策动力的频率而改变，其变化情况如图4.17所示。当策动力的频率为某一特定值时，振幅达到极大值。
4.6 受迫振动 共振
用类似的方法可以分析受迫振动时的速度振动，结论是，当策动力的频率正好等于系统固有频率时，速度振幅达到最大值，称为速度共振。在小阻尼的情况下，二者结论相同，可不加区分。
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4.1 简谐振动的运动学描述
图4.2 位移、速度、加速度与时间的关系
4.1 简谐振动的运动学描述
1.周期 频率 角频率
4.1 简谐振动的运动学描述
2.振幅
4.1 简谐振动的运动学描述
3.相位 初相
4.1 简谐振动的运动学描述
4.2 简谐振动的动力学描述
以弹簧振子为例，进行简谐振动的动力学分析，见图4.1.弹簧振子系统的平衡位置位于x轴的坐标原点O，物体沿x轴方向运动.根据胡克定律，在小幅度振动情况下，物体所受的弹性力F与物体离开平衡位置的位移x成正比，即 F=-kx (4-7)
4.1 简谐振动的运动学描述
图4.1 弹簧振子
4.1 简谐振动的运动学描述
由此可见，当物体做简谐振动时，其速度和加速度也随时间作周期性变化，也可以说速度、加速度在做简谐振动。速度和加速度简谐振动的周期与物体位移的振动周期是一样的，只不过振幅、振动的步调不一致。图4.2给出了某简谐振动的位移、速度、加速度与时间的关系。
单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述你的观点
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简谐振动的动力学描述
4.4
4.5
阻尼振动
4.6
受迫振动 共振
4.1
3
简谐振动的合成
旋转矢量法
简谐振动的运动学描述
2
4.1 简谐振动的运动学描述
下面以弹簧振子为例讨论简谐振动的规律。弹簧振子是理想模型，实际并不存在。只有满足不考虑物体的形变和可忽略弹簧的质量的条件时，弹簧和物体组成的系统才可以称为弹簧振子，如图4.1所示。弹簧振子系统中轻弹簧的一端固定，另一端系一个质量为m的物体。
4.4 简谐振动的合成
例4.6 图4.12所示为两个同方向、同频率简谐振动的振动曲线。若这两个同方向的简谐振动可叠加，求合振动的振幅和相位。 图4.12 例4.6图
4.4 简谐振动的合成
4.4 简谐振动的合成
图4.13 例4.7图
4.4 简谐振动的合成
如果两个简谐振动的振动方向相同而频解析法对其合成进行定量讨论。 为了使问题简化，假设两个简谐振动的振幅都为A，初相都为φ，它们的运动方程可分别写成 x1=Acos(2πν1t+φ) x2=Acos(2πν2t+φ)
4.5 阻尼振动
4.5 阻尼振动
图4.15 阻尼振动曲线
式(4-25)为小阻尼时阻尼振动的位移表达式，其中，A0和φ0是由初始条件决定的两个积分常数，其振动曲线如图4.15所示。
4.5 阻尼振动
4.5 阻尼振动
图4.16 三种不同情况时的位移时间曲线
此时物体也不做往复运动，对应的是小阻尼与过阻尼之间的临界情况，与过阻尼相比，物体从运动到静止在平衡位置所经历的时间最短，故称为临界阻尼。图4.16反映的是三种不同情况时的位移时间曲线。
2.速度
4.6 受迫振动 共振
在近代物理学中，共振的概念已被推广，凡是有能量交换的系统，在某状态下能使能量交换达到最大，就称为共振。 共振现象的应用极为普遍。收音机利用电磁共振来选台，乐器利用共鸣来提高音响效果，核磁共振用于物质结构研究及医疗诊断。而在桥梁、建筑、机械的设计和机器的安装中，则应使系统的固有频率远离可能发生的周期性外力频率的概率，以避免共振产生的破坏。
4.4 简谐振动的合成
图4.14 两个同方向不同频率的简谐振动的合成
上式不符合简谐振动的定义，所以合振动不再是简谐振动。这样振幅就随时间变化，且具有周期性，表现出振动忽强忽弱的现象，如图4.14所示。
4.4 简谐振动的合成
拍是一种很重要的现象，它在声学、电磁振荡和无线电技术中都有广泛的应用.例如，若已知一个高频振动的频率，使之与另一频率相近但未知的振动叠加，通过测量拍频，我们就可以进行未知频率的测量.在无线电技术中，调幅、调频以提高传输信号的能力，也是利用了拍的规律。拍现象还广泛运用于速度测量、地面卫星跟踪等技术领域。
4.2 简谐振动的动力学描述
4.2 简谐振动的动力学描述
4.2 简谐振动的动力学描述
例4.1 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，静平衡时弹簧伸长量为h.先用手将重物上托使弹簧保持自然长度然后放手。试证明放手后小球做简谐振动，并写出其振动的运动学方程。 证明：取静平衡位置为坐标原点，如图4.3所示。当小球挂在弹簧上 静平衡时，有 mg－kh=0 图4.3 例4.1图
4.3 旋转矢量法
为了形象地描述简谐振动，进一步理解振幅、相位、角频率等量的物理意义，更形象地描述简谐振动的周期性特征。我们常采用一种比较直观的几何方法——旋转矢量法描述简谐振动。 如图4.7所示，自Ox轴的原点O作一矢量A，矢量的模等于振幅A，使矢量A在如图平面内绕O点做逆时针方向的匀速转动，其角速度的数值等于简谐振动的角频率ω，这个矢量A就称为旋转矢量.设在t=0时，矢量A与x轴之间的夹角为φ，等于简谐振动的初相。
4.2 简谐振动的动力学描述
在每一种运动形式中，采用能量的观点描述物理的运动，这是物理学中非常重要的基本思路。仍然以弹簧振子为例，来说明简谐振动系统的能量。在弹簧振子模型中，弹簧的弹性势能就是系统的弹性势能，振子振动的动能就是系统的动能。当物体的位移为x，速度为v时，弹簧振子的弹性势能和动能分别为
4.2 简谐振动的动力学描述
4.2 简谐振动的动力学描述
图4.5 弹簧谐振子的能量
由上述分析可知，弹簧振子系统的动能和弹性势能都是随时间t做周期性变化的，如图4.5所示，但其总能量不随时间改变，即其机械能守恒。
4.2 简谐振动的动力学描述
例4.3 如图4.6所示，质量为m的任意形状的物体，可绕光滑水平轴O在铅直面内自由转动。将它拉开一个微小角度θ后释放，物体将绕O轴做微小的自由摆动。这样的装置叫作复摆.若复摆对O轴的转动惯量为J，复摆的质心C到O 轴的距离为h，求复摆的振 动周期。 图4.6 例4.3图
阻尼振动中的振幅在减小，要维持有阻尼的振动系统等幅振动，必须给振动系统不断地补充能量。如果对振动系统施加一个周期性的外力，其所发生的振动称为受迫振动。这个周期性外力称为策动力。许多实际的振动属于受迫振动，如声波引起耳膜的振动、机器运转时引起基座的振动等。
4.6 受迫振动 共振
4.3 旋转矢量法
图4.10
由x=-6 cm，向x轴负方向运动这一已知条件可知，这一运动状态对应的旋转矢量位置如图4.10所示，其旋转矢量与Ox轴的夹角。旋转矢量逆时针转动到与Ox轴。物体第一次回到平衡位置。
4.4 简谐振动的合成
设质点在一个方向上同时参与两个独立的同频率简谐振动。每个简谐振动的运动方向均沿x轴方向，它们的角频率都是ω，振幅分别为A1和A2，初相分别为φ1和φ2，则它们的运动方程分别为 x1=A1cos（ ωt+φ1 ） x2=A2cos（ωt+φ2） 在任意时刻合振动的位移为两个分振动位移的代数和，即 x=x1+x2
4.5 阻尼振动
前几节讨论的简谐振动都是在不计能量损耗条件下的理想情况。实际上，弹簧振子、单摆、复摆这类机械振动系统在振动过程中不可避免地要受到空气阻力等摩擦阻力作用。而在LC电路这类电磁振荡系统中，线圈和导线不可能完全没有电阻。所以，在振动过程中，机械能或电磁能总要逐渐转化为热量耗散掉。这样的能量损耗作用称为摩擦阻尼或电磁阻尼。
4.4 简谐振动的合成
研究此问题有两种简便的方法，用旋转矢量法求合振动的位移将更加直观简便。如图4.11所示，两个分振动的旋转矢量分别为A1和A2. 当t=0时，它们与x轴的夹角分别为φ1和φ2，在x轴上的投影分别为x1及x2.A1与A2的合矢量为A，而A在x轴上的投影为 x=x1+x2，
图4.11 振动合成矢量图
4.3 旋转矢量法
图4.7 旋转矢量法
这正是式(4-1)所表示的简谐振动的运动方程。由此可见，匀速旋转的矢量A，其端点M在 x轴上的投影点P的运动是简谐运动。在矢量A的转动过程中，M点做匀速圆周运动，对应的圆周称为参考圆，故旋转矢量法又称参考圆法。
4.3 旋转矢量法
4.3 旋转矢量法
图4.8 例4.4图
例4.4 一简谐振动的振动曲线如图4.8(a)所示。求角频率ω、初相φ及简谐振动的运动方程。由振动曲线可以看出，t=0时，x0=0，v0>0，与此状态相对应的旋转矢量如图4.8 (b) 所示。
4.3 旋转矢量法
图4.9 例4.5图
依据初始条件由旋转矢量法来确定初相φ.如图4.9所示，满足x0=0.06 m条件，有P和Q两个点，但是只有P点在x轴的投影沿x正向运动。
4.6 受迫振动 共振
1.振幅
图4.17 位移共振曲线
由式(4-33)可知，稳态受迫振动的位移振幅随策动力的频率而改变，其变化情况如图4.17所示。当策动力的频率为某一特定值时，振幅达到极大值。
4.6 受迫振动 共振
用类似的方法可以分析受迫振动时的速度振动，结论是，当策动力的频率正好等于系统固有频率时，速度振幅达到最大值，称为速度共振。在小阻尼的情况下，二者结论相同，可不加区分。
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图4.2 位移、速度、加速度与时间的关系
4.1 简谐振动的运动学描述
1.周期 频率 角频率
4.1 简谐振动的运动学描述
2.振幅
4.1 简谐振动的运动学描述
3.相位 初相
4.1 简谐振动的运动学描述
4.2 简谐振动的动力学描述
以弹簧振子为例，进行简谐振动的动力学分析，见图4.1.弹簧振子系统的平衡位置位于x轴的坐标原点O，物体沿x轴方向运动.根据胡克定律，在小幅度振动情况下，物体所受的弹性力F与物体离开平衡位置的位移x成正比，即 F=-kx (4-7)
4.1 简谐振动的运动学描述
图4.1 弹簧振子
4.1 简谐振动的运动学描述
由此可见，当物体做简谐振动时，其速度和加速度也随时间作周期性变化，也可以说速度、加速度在做简谐振动。速度和加速度简谐振动的周期与物体位移的振动周期是一样的，只不过振幅、振动的步调不一致。图4.2给出了某简谐振动的位移、速度、加速度与时间的关系。
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简谐振动的动力学描述
4.4
4.5
阻尼振动
4.6
受迫振动 共振
4.1
3
简谐振动的合成
旋转矢量法
简谐振动的运动学描述
2
4.1 简谐振动的运动学描述
下面以弹簧振子为例讨论简谐振动的规律。弹簧振子是理想模型，实际并不存在。只有满足不考虑物体的形变和可忽略弹簧的质量的条件时，弹簧和物体组成的系统才可以称为弹簧振子，如图4.1所示。弹簧振子系统中轻弹簧的一端固定，另一端系一个质量为m的物体。
4.4 简谐振动的合成
例4.6 图4.12所示为两个同方向、同频率简谐振动的振动曲线。若这两个同方向的简谐振动可叠加，求合振动的振幅和相位。 图4.12 例4.6图
4.4 简谐振动的合成
4.4 简谐振动的合成
图4.13 例4.7图
4.4 简谐振动的合成
如果两个简谐振动的振动方向相同而频解析法对其合成进行定量讨论。 为了使问题简化，假设两个简谐振动的振幅都为A，初相都为φ，它们的运动方程可分别写成 x1=Acos(2πν1t+φ) x2=Acos(2πν2t+φ)
4.5 阻尼振动
4.5 阻尼振动
图4.15 阻尼振动曲线
式(4-25)为小阻尼时阻尼振动的位移表达式，其中，A0和φ0是由初始条件决定的两个积分常数，其振动曲线如图4.15所示。
4.5 阻尼振动
4.5 阻尼振动
图4.16 三种不同情况时的位移时间曲线
此时物体也不做往复运动，对应的是小阻尼与过阻尼之间的临界情况，与过阻尼相比，物体从运动到静止在平衡位置所经历的时间最短，故称为临界阻尼。图4.16反映的是三种不同情况时的位移时间曲线。
2.速度
4.6 受迫振动 共振
在近代物理学中，共振的概念已被推广，凡是有能量交换的系统，在某状态下能使能量交换达到最大，就称为共振。 共振现象的应用极为普遍。收音机利用电磁共振来选台，乐器利用共鸣来提高音响效果，核磁共振用于物质结构研究及医疗诊断。而在桥梁、建筑、机械的设计和机器的安装中，则应使系统的固有频率远离可能发生的周期性外力频率的概率，以避免共振产生的破坏。
4.4 简谐振动的合成
图4.14 两个同方向不同频率的简谐振动的合成
上式不符合简谐振动的定义，所以合振动不再是简谐振动。这样振幅就随时间变化，且具有周期性，表现出振动忽强忽弱的现象，如图4.14所示。
4.4 简谐振动的合成
拍是一种很重要的现象，它在声学、电磁振荡和无线电技术中都有广泛的应用.例如，若已知一个高频振动的频率，使之与另一频率相近但未知的振动叠加，通过测量拍频，我们就可以进行未知频率的测量.在无线电技术中，调幅、调频以提高传输信号的能力，也是利用了拍的规律。拍现象还广泛运用于速度测量、地面卫星跟踪等技术领域。
4.2 简谐振动的动力学描述
4.2 简谐振动的动力学描述
4.2 简谐振动的动力学描述
例4.1 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，静平衡时弹簧伸长量为h.先用手将重物上托使弹簧保持自然长度然后放手。试证明放手后小球做简谐振动，并写出其振动的运动学方程。 证明：取静平衡位置为坐标原点，如图4.3所示。当小球挂在弹簧上 静平衡时，有 mg－kh=0 图4.3 例4.1图
4.3 旋转矢量法
为了形象地描述简谐振动，进一步理解振幅、相位、角频率等量的物理意义，更形象地描述简谐振动的周期性特征。我们常采用一种比较直观的几何方法——旋转矢量法描述简谐振动。 如图4.7所示，自Ox轴的原点O作一矢量A，矢量的模等于振幅A，使矢量A在如图平面内绕O点做逆时针方向的匀速转动，其角速度的数值等于简谐振动的角频率ω，这个矢量A就称为旋转矢量.设在t=0时，矢量A与x轴之间的夹角为φ，等于简谐振动的初相。
4.2 简谐振动的动力学描述
在每一种运动形式中，采用能量的观点描述物理的运动，这是物理学中非常重要的基本思路。仍然以弹簧振子为例，来说明简谐振动系统的能量。在弹簧振子模型中，弹簧的弹性势能就是系统的弹性势能，振子振动的动能就是系统的动能。当物体的位移为x，速度为v时，弹簧振子的弹性势能和动能分别为
4.2 简谐振动的动力学描述
4.2 简谐振动的动力学描述
图4.5 弹簧谐振子的能量
由上述分析可知，弹簧振子系统的动能和弹性势能都是随时间t做周期性变化的，如图4.5所示，但其总能量不随时间改变，即其机械能守恒。
4.2 简谐振动的动力学描述
例4.3 如图4.6所示，质量为m的任意形状的物体，可绕光滑水平轴O在铅直面内自由转动。将它拉开一个微小角度θ后释放，物体将绕O轴做微小的自由摆动。这样的装置叫作复摆.若复摆对O轴的转动惯量为J，复摆的质心C到O 轴的距离为h，求复摆的振 动周期。 图4.6 例4.3图