高中数学课时跟踪检测(十二)抛物线的简单几何性质(含解析)新人教A版选修1_1

课时跟踪检测（十二） 抛物线的简单几何性质
层级一 学业水平达标
1．已知抛物线的对称轴为x 轴，顶点在原点，焦点在直线2x －4y ＋11＝0上，则此抛物线的方程是( )
A ．y 2
＝－11x B ．y 2
＝11x C ．y 2＝－22x
D ．y 2
＝22x
解析：选C 在方程2x －4y ＋11＝0中， 令y ＝0得x ＝－11
2
，
∴抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－112，0， 即p 2＝11
2
，∴p ＝11， ∴抛物线的方程是y 2
＝－22x ，故选C ．
2．过点(2,4)作直线l ，与抛物线y 2
＝8x 只有一个公共点，这样的直线l 有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条
D ．4条
解析：选B 可知点(2,4)在抛物线y 2
＝8x 上，∴过点(2,4)与抛物线y 2
＝8x 只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．
3．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2
＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA ·AF ＝
－4，则点A 的坐标为( )
A ．(2，±2 2)
B ．(1，±2)
C ．(1,2)
D ．(2,22)
解析：选B 设A (x ，y )，则y 2
＝4x ，① 又OA ＝(x ，y )，AF ＝(1－x ，－y )， 所以OA ·AF ＝x －x 2
－y 2
＝－4．②
由①②可解得x ＝1，y ＝±2．
4．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y 2
＝8x 交于A ，B 两点，则弦AB 的长为( ) A ．213 B ．215 C ．217
D ．219
解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由题意知AB 的方程为y ＝－2(x －1)， 即y ＝－2x ＋2．
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y 2
＝8x ，y ＝－2x ＋2，得x 2
－4x ＋1＝0，
∴x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝1． ∴|AB |＝＋k
2
x 1＋x 2
2
－4x 1x 2]
＝
＋
－
＝5×12＝215．
5．设F 为抛物线C ：y 2
＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )
A ．334
B ．938
C ．6332
D ．94
解析：选D 易知抛物线中p ＝32，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，直线AB 的斜率k ＝33，故直线AB 的方程为y ＝
33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，代入抛物线方程y 2＝3x ，整理得x 2－212x ＋9
16
＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212
．由抛物线的定义可得弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32
＝12，结合图象可得O 到直线AB 的距离d ＝p 2
·sin 30°＝38
，所以△OAB 的面积S ＝12
|AB |·d ＝9
4
．
6．直线y ＝x －1被抛物线y 2
＝4x 截得的线段的中点坐标是________．
解析：将y ＝x －1代入y 2
＝4x ，整理，得x 2
－6x ＋1＝0．由根与系数的关系，得x 1＋x 2
＝6，
x 1＋x 2
2＝3， ∴
y 1＋y 22
＝
x 1＋x 2－22
＝
6－2
2
＝2．
∴所求点的坐标为(3,2)． 答案：(3,2)
7．过抛物线y 2
＝4x 的焦点作直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若|AB |＝7，则
AB 的中点M 到抛物线准线的距离为________．
解析：抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1．由抛物线的定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p
2＝x 1＋x 2＋p ，即x 1＋x 2＋2＝7，得x 1＋x 2＝5，于是弦AB 的中点M 的横
坐标为5
2
．
因此，点M 到抛物线准线的距离为52＋1＝7
2
．
答案：72
8．过抛物线x 2
＝2py (p >0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A ，B 两点(点A 在y 轴左侧)，则
|AF |
|FB |
＝________． 解析：由题意可得焦点F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，p 2，
故直线AB 的方程为y ＝33x ＋p 2，与x 2＝2py 联立得A ，
B 两点的横坐标为x A ＝－
33p ，x B ＝3p ，故A －33p ，16p ，B 3p ，32p ，所以|AF |＝2
3
p ，|BF |＝2p ，所以|AF ||BF |＝1
3
．
答案：13
9．已知抛物线y 2
＝6x ，过点P (4,1)引一弦，使它恰在点P 被平分，求这条弦所在的直线方程．
解：设弦的两个端点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)． ∵P 1，P 2在抛物线上，∴y 2
1＝6x 1，y 2
2＝6x 2． 两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)．① ∵y 1＋y 2＝2，代入①得k ＝
y 2－y 1
x 2－x 1
＝3． ∴直线的方程为y －1＝3(x －4)，即3x －y －11＝0．
10．已知直线l 经过抛物线y 2
＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若|AF |＝4，求点A 的坐标； (2)求线段AB 的长的最小值．
解：由y 2
＝4x ，得p ＝2，其准线方程为x ＝－1，焦点F (1,0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)由抛物线的定义可知，|AF |＝x 1＋p
2，从而x 1＝4－1＝3．代入y 2
＝4x ，解得y 1＝±23．
∴点A 的坐标为(3,23)或(3，－23)． (2)当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y ＝k (x －1)． 与抛物线方程联立，
得⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝k x －，
y 2
＝4x ，消去y ，整理得
k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0．
∵直线与抛物线相交于A ，B 两点， 则k ≠0，并设其两根为x 1，x 2，
∴x 1＋x 2＝2＋4
k
2．
由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4
k
2>4．
当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，与抛物线相交于A (1,2)，B (1，－2)，此时|AB |＝4，
∴|AB |≥4，即线段AB 的长的最小值为4．
层级二 应试能力达标
1．边长为1的等边三角形AOB ，O 为坐标原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A ，B 的抛物线方程是( )
A ．y 2
＝
3
6x B ．y 2
＝－36x C ．y 2＝±
36
x D ．y 2
＝±
33
x 解析：选C 设抛物线方程为y 2
＝ax (a ≠0)．又A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
±
32，12(取点A 在x 轴上方)，则有14＝±32a ，解得a ＝±36，所以抛物线方程为y 2
＝±36
x ．故选C ． 2．过抛物线y 2
＝4x 的焦点，作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )
A ．有且仅有一条
B ．有两条
C ．有无穷多条
D ．不存在
解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义，知|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5＋2＝7．又直线AB 过焦点且垂直于x 轴的直线被抛物线截得的弦长最短，且|AB |min ＝2p ＝4，所以这样的直线有两条．故选B ．
3．直线y ＝kx －2交抛物线y 2
＝8x 于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝( ) A ．2或－2 B ．1或－1 C ．2
D ．3
解析：选C 由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y 2
＝8x ，y ＝kx －2，得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0．又由Δ＝16(k ＋2)2－16k 2
>0，
得k >－1．则由
k ＋k 2
＝4，得k ＝2．故选C ．
4．已知抛物线C ：y 2
＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若MA ·MB ＝0，则k ＝( )
A ．12
B ．
22
C ． 2
D ．2
解析：选D 由题意可知抛物线C 的焦点坐标为(2,0)，则直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，将其代入y 2
＝8x ，得k 2x 2
－4(k 2
＋2)x ＋4k 2
＝0．
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＋x 2＝k 2＋
k 2
，
x 1x 2＝4.
①
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y 1＝k x 1－，
y 2＝k x 2－
⇒⎩⎪⎨
⎪
⎧
y 1＋y 2＝k x 1＋x 2－4k ， ②
y 1y 2＝k 2
[x 1x 2－
x 1＋x 2＋4]. ③
∵MA ·MB ＝0，
∴(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝0． ∴(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0，
即x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4＝0．④ 由①②③④解得k ＝2．故选D 项．
5．直线y ＝x －3与抛物线y 2
＝4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形APQB 的面积为________．
解析：由⎩⎪⎨
⎪⎧
y 2
＝4x ，y ＝x －3，消去y 得x
2
－10x ＋9＝0，得x ＝1或9，即⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，
y ＝－2
或
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝9，
y ＝6.
所以|AP |＝10，|BQ |＝2或|BQ |＝10，|AP |＝2，|PQ |＝8，所以梯形APQB 的面
积S ＝10＋2
2
×8＝48．
答案：48
6．顶点为坐标原点，焦点在x 轴上的抛物线，截直线2x －y ＋1＝0所得的弦长为15，则抛物线方程为________．
解析：设所求抛物线方程为y 2
＝ax (a ≠0)，
联立⎩
⎪⎨
⎪⎧
y 2
＝ax ，2x －y ＋1＝0，得4x 2
＋(4－a )x ＋1＝0，
则Δ＝(4－a )2
－16>0，得a >8或a <0．
设直线与抛物线的交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝
a －4
4，x 1x 2＝1
4
．
所以|AB |＝＋2
2
x 1＋x 2
2
－4x 1x 2]
＝
5×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭
⎪⎫a －442－4×14＝15， 解得a ＝12或a ＝－4．
所以抛物线方程为y 2
＝12x 或y 2
＝－4x ． 答案：y 2
＝12x 或y 2
＝－4x
7．已知抛物线y 2
＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点，O 为坐标原点． (1)求证：OA ⊥OB ；
(2)当△OAB 的面积等于10 时，求实数k 的值．
解：(1)证明：由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y 2＝－x ，
y ＝k x ＋消去x ，得ky 2
＋y －k ＝0．
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，知k ≠0，则y 1＋y 2＝－1
k
，y 1y 2＝－1．
由A ，B 在抛物线y 2＝－x 上，可知y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，则y 21y 2
2＝x 1x 2． 因为k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1
y 1y 2
＝－1，
所以OA ⊥OB ．
(2)设直线与x 轴交于点N ． 令y ＝0，得x ＝－1，即N (－1,0)．
因为S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON |·|y 2|＝1
2|ON ||y 1－y 2|，
所以S △OAB ＝1
2×1×
y 1＋y 2
2
－4y 1y 2
＝12
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1k 2＋4＝10． 解得k ＝±1
6
．
8．已知抛物线C ：y 2
＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝5
4
|PQ |．
(1)求C 的方程；
(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．
解：(1)设Q (x 0,4)，代入y 2
＝2px 得x 0＝8p
．
所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8
p
．
由题设得p 2＋8p ＝54×8
p
，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2．
所以C 的方程为y 2
＝4x ． (2)依题意知l 与坐标轴不垂直， 故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 代入y 2
＝4x 得y 2－4my －4＝0．
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4． 故AB 的中点为D (2m 2
＋1,2m )， |AB |＝m 2
＋1|y 1－y 2| ＝m 2
＋1·y 1＋y 2
2
－4y 1y 2
＝4(m 2＋1)． 又l ′的斜率为－m ，
所以l ′的方程为x ＝－1m
y ＋2m 2
＋3．
将上式代入y 2
＝4x ，
并整理得y 2＋4m
y －4(2m 2
＋3)＝0．
设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，
则y 3＋y 4＝－4m
，y 3y 4＝－4(2m 2
＋3)．
故MN 的中点为E ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2
m 2＋2m 2＋3，－2m ，
|MN |＝1＋1
m
2|y 3－y 4|
＝
1＋1m
2·
y 3＋y 4
2
－4y 3y 4
＝
m 2＋
2m 2
＋1
m 2
．
由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝1
2|MN |，
从而
14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即4(m 2＋1)2
＋⎝
⎛⎭⎪⎫2m ＋2m 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2m 2＋22
＝
m2＋2m2＋
．
m4
化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1．
所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0．。