学年高二3月质量检测数学(理)(附答案) (1)

梁山一中2013-2014学年高二3月质量检测
数学(理)
一､选择题:(本大题共12小题.每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.设1z i =-(i 是虚数单位),则2
z z
+=( )
A.2i -
B.22i +
C.2i +
D.2
2.设⎩⎨⎧-=x x x f 2)(2 [](]
2,11,0∈∈x x 则=⎰dx x f )(02
( )
A.34
B.45
C.5
6
D.不存在 3.已知命题p :1log ,020=∈∃*x R x ,则p ⌝是( ) A. *2,log 1x R x ∀∈≠ B.*2,log 1x R x ∀∉≠ C.*020,log 1x R x ∃∈≠ D.*020,log 1x R x ∃∉≠
4.“1k =”是“直线0x y k -+=与圆22
1x y += 相交”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件 5.设0.53a =,3log 2b =,2cos =c ,则( )
A.c b a <<
B.c a b <<
C.a b c <<
D.b c a <<
6. 已知,0y >,且21x y +=,则xy 的最大值是( ) A.
14 B. 1
8
C. 4
D. 8
7. 设n m ,是空间两条直线,α,β是空间两个平面,则下列选项中不正确．．．
的是( ) A.当α⊂m 时,“α//n ”是“n m //”的必要不充分条件 B.当α⊂m 时,“β⊥m ”是“βα⊥”的充分不必要条件 C.当α⊥n 时, “β⊥n ”是“α∥β”成立的充要条件 D.当α⊂m 时,“α⊥n ”是“n m ⊥”的充分不必要条件
8.已知抛物线y 2
=2px (p >0)与双曲线x 2a 2-y 2
b
2=1(a >0,b >0)有相同的焦点F ,点A 是两曲线的一个交
点,且AF ⊥x 轴,则双曲线的离心率为 ( )
A.2+2
B.5+1
C.3+1
D.2+1
9.已知 A B 、
为平面内两定点,过该平面内动点M 作直线AB 的垂线,垂足为N .若2
MN AN NB λ=⋅,其中λ为常数,则动点M 的轨迹不可能是( )
A.圆
B.椭圆
C.抛物线
D.双曲线
10.f (x )是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf ′(x )+f (x )≤0,对任意正数a ,b ,若a <b ,则必有( )
A.af (b )≤bf (a )
B.bf (a )≤af (b )
C.af (a )≤f (b )
D.bf (b )≤f (a )
11.已知函数()y xf x ='的图象如图所示(其中()f x '是函数
)(x f 的导函数).下面四个图象中,)(x f y =的图象大致是
(
)
A. B. C. D.
12. 椭圆22
:143
x y C +=的左､右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是( ) A.1324
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
， B.3384
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
C.112⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
D.314⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
二､填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分｡把答案填在答题卷的相应位置) 13.在曲线32()21(1,(1))f x x x f =-+上点处的切线方程为 ｡
14.已知双曲线中心在原点,一个焦点为)0,5(1-F ,点P 在双曲线上,且线段1PF 的中点坐标为(0,2),则此双曲线的方程是 .
15.设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c .若2b c a +=,则3sin 5sin ,A B =则角C =_________
16. 设21,e e 为单位向量,非零向量),(21R y x e y e x b ∈+=,若21,e e 的夹角为6π,的最大值等于________.
三､解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出必要的过程或演算步骤) 17. (本小题满分10分) 已知函数f (x )=x 2+ln x .
(1)求函数f (x )在[1,e]上的最大值和最小值;
(2)求证:当x ∈(1,+∞)时,函数f (x )的图象在g (x )=23x 3+1
2x 2的下方.
18.(本小题满分12分)
数列{a n }的前n 项和记为S n ,a 1=t ,点(S n ,a n +1)在直线y =3x +1上,n ∈N *. (1)当实数t 为何值时,数列{a n }是等比数列.
(2)在(1)的结论下,设b n =log 4a n +1,c n =a n +b n ,T n 是数列{c n }的前n 项和,求T n .
19.(本小题满分12分)
设F 1,F 2分别是椭圆E :x 2
+y 2
b
2=1(0<b <1)的左,右焦点,过F 1的直线l 与E 相交于A ,B 两点,且
|AF 2|,|AB |,|BF 2|成等差数列.
(1)求|AB |; (2)若直线l 的斜率为1,求b 的值.
20.(本小题满分12分)
如图,已知在四棱锥P A B C D -中
,底面A B C D 是矩形,PA ⊥平面A B C D ,1PA AD ==,2AB =,F 是PD 的中点,E 是线段AB 上的点.
(1)当E 是AB 的中点时,求证://AF 平面PEC ;
(2)要使二面角P EC D --的大小为45,试确定E 点的位置.
21.(本小题满分12分)
已知椭圆E 的焦点在x 轴上,离心率为12,对称轴为坐标轴,且经过点)2
3
,1(. (1)求椭圆E 的方程;
(2)直线2y kx =-与椭圆E 相交于A ､B 两点, O 为原点,在OA ､OB 上分别存在异于O 点的点M ､N ,使得O 在以MN 为直径的圆外,求直线斜率k 的取值范围.
22.(本小题满分12分) 已知函数211
()22
f x x =
-与函数()ln g x a x =在点(1,0)处有公共的切线,设()()()F x f x mg x =-(0)m ≠.
(1) 求a 的值
(w)求()F x 在区间[1,e]上的最小值.
参考答案:
17. (1) ∵f (x )=x 2+ln x ,∴f ′(x )=2x +1
x .
∵x >1时,f ′(x )>0,故f (x )在[1,e]上是增函数,
∴f (x )的最小值是f (1)=1,最大值是f (e)=1+e 2. (2)证明 令F (x )=f (x )-g (x )=12x 2-2
3
x 3+ln x ,
则F ′(x )=x -2x 2
+1x =x 2－2x 3
＋1
x
=x 2－x 3－x 3＋1
x
=
－x
x 2＋x ＋
x
.
∵x >1,∴F ′(x )<0,∴F (x )在(1,+∞)上是减函数. ∴F (x )<F (1)=12-32=-1
6
<0,即f (x )<g (x ).
∴当x ∈(1,+∞)时,函数f (x )的图象总在g (x )的图象的下方.
19.(1)由椭圆定义知|AF 2|+|AB |+|BF 2|=4,又2|AB |=|AF 2|+|BF 2|,得|AB |=4
3
.
(2)l 的方程为y =x +c ,其中c =1－b 2.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则A ,B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1，
化简得(1+b 2)x 2+2cx +1-2b 2=0. 则x 1+x 2=－2c 1＋b 2,x 1x 2=1－2b 21＋b 2. 因为直线AB 的斜率为1, 所以|AB |=2|x 2-x 1|,即4
3=2|x 2-x 1|.
则89=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=
－b 2＋b 2
2
-
－2b 21＋b 2
=
8b 4＋b 2
2,
解得b =
22
.
(2)由已知可得平面DEC 的一个法向量为(0,0,1)AP =,
设(,0,0)E t =,设平面PEC 的法向量为(,,)m x y z =
则0(2)0
00m EC t x y tx z m EP ⎧=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-+==⎩
⎪⎩,令1x =得(1,2,)m t t =-
由5
cos 45|
|4|
|||
o AP n t AP n =⇒=⨯,
故,要使要使二面角P EC D --的大小为45o
,只需54
AE =
(2)联立方程组22214
3y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y 整理得22
(43)1640k x kx +-+=
∵ 直线与椭圆有两个交点,
∴ 22
(16)16(43)0k k ∆=--+>,解得21
4
k >
① ∵ 原点O 在以MN 为直径的圆外,∴MON ∠为锐角,即0OM ON ⋅>.
而M ､N 分别在OA ､OB 上且异于O 点,即0OA OB ⋅>
设,A B 两点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,
则11221212(,)(,)OA OB x y x y x x y y ==+21212(1)2()4k x x k x x =+-++ 2
22
416(1)
2404343
k
k k k k ==+-+>++ 解得2
4
3k <
, ② 综合①②可知
:1123
,22k ⎛⎫⎛∈- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
(2)因为211
()ln 22F x x m x =
--,其定义域为{|0}x x > 2'()m x m
F x x x x
-=-=
当0m <时,2'()0m x m
F x x x x
-=-=
>, 所以()F x 在(0,)+∞上单调递增
所以()F x 在[1,e]上最小值为(1)0F =
当0m >时,令2'()0m x m
F x x x x
-=-=
=,得到120,0x x =>= (舍)
1≤时,即01m <≤时,'()0F x >对(1,e)恒成立,
所以()F x 在[1,e]上单调递增,其最小值为(1)0F =
e ≥时,即2e m ≥时, '()0F x <对(1,e)成立,
所以()F x 在[1,e]上单调递减, 其最小值为211
(e)e 22
F m =
--
当1e <<,即21e m <<时, '()0F x <对成立, '()0F x >对成立
所以()F x 在单调递减,在上单调递增
其最小值为1111ln 22222
m
F m m m m =
--=-- 综上,当1m ≤时, ()F x 在[1,e]上的最小值为(1)0F =
当21e m <<时,()F x 在[1,e]上的最小值为11ln 222m
F m m =-- 当2e m ≥时, ()F x 在[1,e]上的最小值为211
(e)e 22
F m =--.。