2018-2019学年广东省东莞市高三(上)期末数学试卷(理科)

2018-2019学年广东省东莞市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题各有四个选择支，仅有一
个选择支正确．请用28铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．）
1．（5分）设集合S＝，T＝{x|23x﹣1＜1}，则S∩T＝（）A．∅B．C．
D．
2．（5分）已知复数z满足：z•（1+i）＝2（i为虚数单位），则|z|＝（）A．2B．C．﹣1﹣i D．1﹣i
3．（5分）假设东莞市市民使用移动支付的概率都为p，且每位市民使用支付方式都相互独立的，已知X是其中10位市民使用移动支付的人数，且EX＝6，则p的值为（）A．0.4B．0.5C．0.6D．0.8
4．（5分）已知向量＝（l，1），＝（2，x），⊥（﹣），则实数x的值为（）A．﹣2B．0C．1D．2
5．（5分）函数的图象大致为（）
A．B．
C．D．
6．（5分）已知某几何体的三视图如图所示（侧视图中曲线为四分之一圆弧），则该几何体
的体积为（）
A．1﹣B．3+C．2+D．4
7．（5分）二项式的展开式的常数项为（）
A．±15B．15C．±20D．﹣20
8．（5分）在各项均为正数的等比数列{b n}中，若b4•b6＝4，则log2b1+log2b2+…+log2b9＝（）
A．6B．7C．8D．9
9．（5分）过点（0，1）且倾斜角为的直线l交圆x2+y2﹣6y＝0于A，B两点，则弦AB 的长为（）
A．B．2C．2D．4
10．（5分）已知直线y＝kx+l与曲线y＝lnx相切，则k＝（）
A．B．C．e D．e2
11．（5分）已知奇函数f（x）的导函数为f'（x），且f（﹣1）＝0，当x＞0时f（x）+xf'（x）＞0恒成立，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围为（）
A．（0，l）∪（﹣1，0）B．（﹣1，+∞）∪（0，1）
C．（1，+∞）∪（﹣1，0）D．（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1）
12．（5分）圆锥SO（其中S为顶点，O为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2：1．则圆锥SO与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（）
A．9：32B．8：27C．9：22D．9：28
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置
上．）
13．（5分）设随机变量X～N（1，δ2），且P（X＞2）＝，则P（0＜X＜1）＝．
14．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，己知a＝3，C＝，△ABC 的面积为3，则边c＝
15．（5分）实数x，y满足，且z＝3x﹣y，则z的最小值为．
16．（5分）已知函数f（x）＝sin x•cos2x（x∈R），则f（x）的最小值为
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第
17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．）
17．（12分）己知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2＝8，S5＝60．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）求的值．
18．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2a cos B+b＝2c．（1）求角A的大小：
（2）若AC边上的中线BD的长为，且AB⊥BD，求BC的长．
19．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，P A⊥底面ABCD，点M是PC上的一个动点，P A＝AB，∠DAB＝．
（1）当PC⊥DM时，求证：PC⊥BM；
（2）当P A∥平面MBD时，求二面角P﹣BD﹣M的余弦值．
20．（12分）如表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限x和所支出的维修费Y（万元）的几组对照数据：
（1）若知道y对x呈线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x 的线性回归方程＝x+；
（2）已知该工厂技术改造前该型号设备使用10年的维修费用为9万元，试根据（1）求出的线性回归方程，预测该型号设备技术改造后，使用10年的维修费用能否比技术改造前降低？
参考公式：＝，＝﹣．
21．（12分）己知函数，函数g（x）＝xf（x）+2x2．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b，求g（x l）一g（x2）的最小值．
请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求直线l与曲线C1公共点的极坐标；
（2）设过点的直线l'交曲线C1于A，B两点，且AB的中点为P，求直线l'的斜率．
[选修4-5：不等式选讲」（本小题满分0分）
23．设函数f（x）＝|x+a|﹣|x﹣2|﹣2．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）∃x∈R，使得f（x）≥0，求a的取值范围．
2018-2019学年广东省东莞市高三（上）期末数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题各有四个选择支，仅有一
个选择支正确．请用28铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．）
1．【解答】解：；
∴．
故选：D．
2．【解答】解：由z•（1+i）＝2，得z＝，
∴|z|＝．
故选：B．
3．【解答】解：假设东莞市市民使用移动支付的概率都为p，且每位市民使用支付方式都相互独立的，
已知X是其中10位市民使用移动支付的人数，且EX＝6，
则X～B（10，p），
∴EX＝10p＝6，
解得p＝0.6．
∴p的值为0.6．
故选：C．
4．【解答】解：；
∵；
∴；
∴x＝0．
故选：B．
5．【解答】解：函数f（x）＝，
可得：f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，排除A；
∵f（1）＝＜0，故排除B，C
故选：D．
6．【解答】解：根据几何体的三视图，
转换为几何体：相当于把棱长为1的正方体切去一个以1为半径的个圆柱．
故：V＝．
故选：A．
7．【解答】解：项式的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•x6﹣3r，令6﹣3r ＝0，求得r＝2，
可得展开式的常数项为＝15，
故选：B．
8．【解答】解：各项均为正数的等比数列{b n}中，若b4•b6＝4，
，
所以：b5＝2
则：b1•b9＝b2•b8＝b3•b7＝b4•b6＝4
所以：log2b1+log2b2+…+log2b9，
＝log2（b1•b2…b8•b9），
＝log2（4•4•4•4•2），
＝9，
故选：D．
9．【解答】解：根据题意，直线l的倾斜角为且过点（0，1），则直线l的方程为y＝x+1，即x﹣y+1＝0，
圆x2+y2﹣6y＝0，即x2+（y﹣3）2＝9，圆心为（0，3），半径r＝3，
则圆心（0，3）到直线l的距离d＝＝1，
则弦AB的长为2×＝4；
故选：D．
10．【解答】解：∵y＝lnx，
∴y′＝f′（x）＝，
设切点为（m，lnm），得切线的斜率为k＝f′（m）＝，
即曲线在点（m，lnm）处的切线方程为：
y﹣lnm＝（x﹣m）．即y＝x+lnm﹣1，
∵直线y＝kx+1与曲线y＝lnx相切，
∴＝k，且lnm﹣1＝1，
即lnm＝2，则m＝e2，
则k＝．
故选：A．
11．【解答】解：由题意可设g（x）＝xf（x），则g′（x）＝xf′（x）+f（x），∵当x＞0时，有xf′（x）+f（x）＞0，
∴则当x＞0时，g′（x）＞0，
∴函数g（x）＝xf（x）在（0，+∞）上为增函数，
∵函数f（x）是奇函数，
∴g（﹣x）＝（﹣x）f（﹣x）＝（﹣x）[﹣f（x）]＝xf（x）＝g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数，
由f（﹣1）＝0得，g（﹣1）＝0，函数g（x）的图象大致如图：
∵不等式f（x）＞0⇔＞0，∴或，
由函数的图象得，﹣1＜x＜0或x＞1，
∴使得f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞），
故选：C．
12．【解答】解：设圆锥的母线长为l，底面圆半径为r，圆锥的外接球的半径为R，
由于圆锥SO的侧面积与底面积之比为2：1，则πrl＝2πr2，所以，l＝2r，则圆锥SO的高为，
所以，圆锥SO的外接球的直径为，∴，
圆锥SO的体积为，它的外接球的体积为
，
因此，圆锥SO与它外接球的体积比为．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置
上．）
13．【解答】解：由随机变量X～N（1，δ2），可得μ＝1，
又P（X＞2）＝，
∴P（0＜X＜1）＝．
故答案为：．
14．【解答】解：∵a＝3，C＝，△ABC的面积为3＝ab sin C＝
＝，
∴b＝4，
∴c＝＝＝．
故答案为：．
15．【解答】解：如图作出阴影部分即为满足实数x，y满足的可行域，
当直线z＝3x﹣y平移到点A时，z＝3x﹣y取最小值，
∴当x＝﹣4，y＝﹣1时，z＝3x﹣y取最小值为：﹣11．
故答案为：﹣11．
16．【解答】解：f（x）＝sin x cos2x＝sin x（1﹣2sin2x）＝sin x﹣2sin3x，
设t＝sin x，则t∈[﹣1，1]，
∴f（t）＝﹣2t3+t，t∈[﹣1，1]，
∴f′（t）＝﹣6t2+1，
令f′（t）＝0，解得t＝±，
当x∈[﹣1，﹣），（，1]时，f′（t）＜0，则函数f（t）单调递减，
当x∈（﹣，）时，f′（t）＞0，则函数f（t）单调递增，
∵f（1）＝﹣2+1＝﹣1，f（﹣）＝1﹣，
∴f（x）的最小值为f（1）＝﹣1，
故答案为：﹣1
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第
17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．）
17．【解答】解：（1）设首项为a1，公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，
且a2＝8，S5＝60．
故：，
解得：a1＝4，d＝4，
故：a n＝4+4（n﹣1）＝4n．
（2）由于：a n＝4n，
所以：，
所以：，
故：＝＝．18．【解答】（本题满分为12分）
解：（1）∵2a cos B+b＝2c，
∴由正弦定理可得：2sin A cos B+sin B＝2sin C，
∴可得：2sin A cos B+sin B＝2sin C＝2sin（A+B）＝2sin A cos B+2cos A sin B，
∴sin B＝2cos A sin B，…2分
∵sin B≠0，
∴cos A＝，…4分
∵A∈（0，π），
∴A＝…6分
（2）在Rt△ABD中，AD＝＝＝2，AB＝＝1，…8分
∵D为AC的中点，
∴AC＝2AD＝4，…9分
在△ABC中，BC2＝42+12﹣2×＝13，…11分
∴BC＝…12分
19．【解答】证明：（1）∵P A⊥底面ABCD，DB⊂底面ABCD，∴P A⊥BD．
又底面ABCD为菱形，连接AC交BD于O，∴AC⊥BD，
∵AC∩P A＝A，AC⊂面P AC，P A⊂面P AC，
∴BD⊥面P AC．BD⊥PC．
又PC⊥DM，DM∩BD＝D，∴PC⊥面MBD，
∴PC⊥BM．
解：（2）由（1）得BD⊥面P AC，
∴PO⊥BD，OM⊥BD，PO⊂面PBD，MO⊂面BDM．
∴∠POM就是二面角P﹣BD﹣M的平面角，
cos＝sin∠POA＝．
∴二面角P﹣BD﹣M的余弦值为．
20．【解答】解：（1）根据表中所给数据可得：，，
，．
∴，
．
∴y关于x的线性回归方程为；
（2）由（1）得：当x＝10时，，
即技术改造后，使用10年的维修费用为8.1万元．
相比技术改造前，该型号的设备维修费降低了0.9万元．
21．【解答】解：（1）由，得f′（x）＝，
由f′（x）＜0，解得：x＞e，由f′（x）＞0，解得：0＜x＜e．
∴f（x）的增区间为（0，e），减区间为（e，+∞）；
（2）∵g（x）＝xf（x）+2x2＝lnx+2x2+bx，
∴g′（x）＝．
令g′（x）＝0，得4x2+bx+1＝0，由于△＝．
设方程两根分别为x1，x2，则．
＝
＝＝．
设，则，
∵0＜x1＜x2，∴t＝∈（0，1），
又b，∴，
∴．
整理得：12t2﹣145t+12≥0，解得t或t≥12．
∴t∈（0，]．
h′（t）＝＜0．
∴h（t）在（0，]上单调递减．
则．
故g（x l）﹣g（x2）的最小值是．
请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．【解答】解：（1）∵曲线C1的参数方程为（θ为参数），
∴曲线C1的普通方程为（x﹣1）2+y2＝1，
∵直线l的极坐标方程为，
∴直线l的普通方程为y＝x，
联立，解得或，
∴直线l与曲线C1的公共点的极坐标为（0，0），（，）．
（2）依题意，设直线l′的参数方程为（α为倾斜角，t为参数），代入（x﹣1）2+y2＝1，整理，得：t2+（cosα+sinα）t﹣＝0，
∵AB的中点为P，∴t1+t2＝0，
∴cosα+sinα＝0，即tanα＝﹣1，
∴直线l'的斜率为﹣1．
[选修4-5：不等式选讲」（本小题满分0分）
23．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|﹣2，令f（x）≥0，
①当x≤﹣1时，﹣（x+1）+（x﹣2）﹣2＝﹣5≥0，矛盾；
②当﹣1＜x＜2时，（x+1）+（x﹣2）﹣2≥0，所以≤x＜2，
③当x≥2时，（x+1）﹣（x﹣2）﹣2≥0，解得x≥2，
综上所述，不等式的解集为{x|≤x}．……（6分）
（2）因为f（x）＝|x﹣a|﹣|x﹣2|﹣2≥0，|x+a|﹣|x﹣2|≥2，……（7分）
因为，|x+a|﹣|x﹣2|≤|x+a﹣x+2|＝|2+a|
所以只需|a+2|≥2，……（8分）
解得0≤a或a≤﹣4，
所以a的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）．……（10分）。