(江苏专用)高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.4 直线、平面垂直的判定与性质 理-人教版高三全

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【步步高】(某某专用)2017版高考数学一轮复习第八章立体几何
8.4 直线、平面垂直的判定与性质理
1.直线与平面垂直
图形条件结论
判定a⊥b,b⊂α(b为α内的任意一条直线)a⊥αa⊥m,a⊥n,m、n⊂α,m∩n=O a⊥α
a∥b,a⊥αb⊥α


a⊥α,b⊂αa⊥b
a⊥α,b⊥αa∥b 2.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
文字语言图形语言符号语言
判定定理如果一个平面经过另一个平面的一
条垂线,那么这两个平面互相垂直
⎭⎪

⎪⎫
l⊂β
l⊥α

α⊥β
性质定理如果两个平面互相垂直,那么在一个
平面内垂直于它们交线的直线垂直
于另一个平面
错误!⇒l⊥α
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.( ×)
(2)若直线a⊥平面α,直线b∥α,则直线a与b垂直.( √)
(3)直线a⊥α,b⊥α,则a∥b.( √)
(4)若α⊥β,a⊥β⇒a∥α.( ×)
(5)a⊥α,a⊂β⇒α⊥β.( √)
(6)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( ×)
1.下列条件中,能判定直线l⊥平面α的是________.
①l与平面α内的两条直线垂直;
②l与平面α内无数条直线垂直;
③l与平面α内的某一条直线垂直;
④l与平面α内任意一条直线垂直.
答案④
解析由直线与平面垂直的定义,可知④正确.
2.设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面α内,直线b在平面β内,且b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的____________条件.
答案充分不必要
解析若α⊥β,因为α∩β=m,b⊂β,b⊥m,所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α,又a⊂α,所以a⊥b;反过来,当a∥m时,因为b⊥m,且a,m共面,一定有b⊥a,但不能保证b⊥α,所以不能推出α⊥β.
3.已知平面α⊥β,α∩β=l,P是空间一点,且P到平面α、β的距离分别是1、2,则点P到l的距离为________.
答案 5
解析如图,∵PO⊂平面PAB,
∴l⊥PO.
∴PO就是P到直线l的距离,
∵α⊥β,∴四边形PAOB为矩形,
PO=12+22= 5.
4. PD垂直于正方形ABCD所在的平面,连结PB,PC,PA,AC,BD,则一定互相垂直的平面有________________对.
答案7
解析由于PD⊥平面ABCD,故平面PAD⊥平面ABCD,平面PDB⊥平面
ABCD,平面PDC⊥平面ABCD,平面PDA⊥平面PDC,平面PAC⊥平面
PDB,平面PAB⊥平面PAD,平面PBC⊥平面PDC,共7对.
5.在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC中的射影为点O,
(1)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的________心.
(2)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的________心.
答案(1)外(2)垂
解析(1)如图1,连结OA,OB,OC,OP,
在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中,PA=PC=PB,
所以OA=OB=OC,
即O为△ABC的外心.
(2)如图2,延长AO、BO、CO分别交对边于H、D、G点,∵PC⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,∴PC⊥平面PAB,AB⊂平面PAB,
∴PC⊥AB,
又AB⊥PO,PO∩PC=P,
∴AB⊥平面PGC,
又CG⊂平面PGC,
∴AB⊥CG,即CG为△ABC边AB的高.
同理可证BD,AH为△ABC底边上的高,
即O为△ABC的垂心.
题型一直线与平面垂直的判定与性质
例1 (2014·某某)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC
=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.
(1)求证:EF⊥平面BCG;
(2)求三棱锥D-BCG的体积.
(1)证明由已知得
△ABC ≌△DBC , 因此AC =DC .
又G 为AD 的中点,所以CG ⊥AD .
同理BG ⊥AD ,又BG ∩CG =G ,因此AD ⊥平面BGC . 又因E ,F 分别为AC ,DC 的中点, 所以EF ∥AD ,所以EF ⊥平面BCG .
(2)解 在平面ABC 内,作AO ⊥BC ,交CB 的延长线于O ,如图 由平面ABC ⊥平面BCD ,知AO ⊥平面BDC .
又G 为AD 中点,因此G 到平面BDC 的距离h 是AO 长度的一半. 在△AOB 中,AO =AB ·sin 60°=3, 所以V D -BCG =V G -BCD =1
3S △DBC ·h
=13×12BD ·BC ·sin 120°·32=12
. 思维升华 (1)证明直线和平面垂直的常用方法:①判定定理;②垂直于平面的传递性(a ∥b ,
a ⊥α⇒
b ⊥α);③面面平行的性质(a ⊥α,α∥β⇒a ⊥β);④面面垂直的性质.
(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. (3)线面垂直的性质,常用来证明线线垂直.
如图所示,已知AB 为圆O 的直径,点D 为线段AB 上一
点,且AD =1
3
DB ,点C 为圆O 上一点,且BC =3AC ,PD ⊥平面ABC ,
PD =DB .
求证:PA ⊥CD .
证明 因为AB 为圆O 的直径,所以AC ⊥CB , 在Rt△ABC 中,由3AC =BC 得, ∠ABC =30°,设AD =1,
由3AD =DB 得,DB =3,BC =23,
由余弦定理得CD 2
=DB 2
+BC 2
-2DB ·BC cos 30°=3, 所以CD 2
+DB 2
=BC 2,即CD ⊥AO . 因为PD ⊥平面ABC ,CD ⊂平面ABC ,
所以PD ⊥CD ,由PD ∩AO =D 得,CD ⊥平面PAB , 又PA ⊂平面PAB ,所以PA ⊥CD . 题型二 平面与平面垂直的判定与性质
例2 如图所示,四边形ABCD 中,AD ∥BC ,AD =AB ,∠BCD =45°,∠BAD =90°.将△ABD 沿对角线BD 折起,记折起后A 的位置为点P ,且使平面PBD ⊥平面BCD .
求证:(1)CD ⊥平面PBD . (2)平面PBC ⊥平面PDC .
证明 (1)∵AD =AB ,∠BAD =90°, ∴∠ABD =∠ADB =45°, 又∵AD ∥BC ,∴∠DBC =45°, 又∠DCB =45°,∴∠BDC =90°, 即BD ⊥DC .
∵平面PBD ⊥平面BCD ,平面PBD ∩平面BCD =BD , ∴CD ⊥平面PBD .
(2)由CD ⊥平面PBD 得CD ⊥BP . 又BP ⊥PD ,PD ∩CD =D , ∴BP ⊥平面PDC . 又BP ⊂平面PBC , ∴平面PBC ⊥平面PDC .
思维升华 面面垂直的性质应用技巧
(1)两平面垂直,在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.这是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“平面内的直线”.
(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面,那么它们的交线也垂直于第三个平面,此性质在不是很复杂的题目中,要对此进行证明.
(2015·某某)如图,三棱锥PABC 中,平面PAC ⊥平面
ABC ,∠ABC =π
2
,点D ,E 在线段AC 上,且AD =DE =EC =2,PD =PC =4,点F 在线段AB 上,且EF ∥BC .
(1)证明:AB ⊥平面PFE ;
(2)若四棱锥PDFBC 的体积为7,求线段BC 的长.
(1)证明 由DE =EC ,PD =PC 知,E 为等腰△PDC 中DC 边的中点,故PE ⊥AC . 又平面PAC ⊥平面ABC ,平面PAC ∩平面ABC =AC ,PE ⊂平面PAC ,PE ⊥AC , 所以PE ⊥平面ABC ,从而PE ⊥AB .
因∠ABC =π
2,EF ∥BC ,故AB ⊥EF .
又PE ∩EF =E ,所以AB ⊥平面PFE . (2)解 设BC =x ,则在Rt△ABC 中,
AB =AC 2-BC 2=36-x 2,
从而S △ABC =12AB ·BC =12
x 36-x 2
.
由EF ∥BC 知,AF AB =AE AC =2
3

得△AFE ∽△ABC ,故S △AFE S △ABC =⎝ ⎛⎭⎪⎫232=4
9
, 即S △AFE =4
9
S △ABC .
由AD =12AE ,S △AFD =12S △AFE =12·4
9S △ABC
=29S △ABC =19
x 36-x 2
. 从而四边形DFBC 的面积为S DFBC =S △ABC -S △AFD =12x 36-x 2-19x 36-x 2=718x 36-x 2. 由(1)知,PE ⊥平面ABC , 所以PE 为四棱锥PDFBC 的高.
在Rt△PEC 中,PE =PC 2
-EC 2
=42
-22
=2 3. 体积V PDFBC =1
3·S DFBC ·PE
=13·718
x 36-x 2
·23=7, 故得x 4
-36x 2
+243=0,解得x 2
=9或x 2
=27, 由于x >0,可得x =3或x =3 3. 所以,BC =3或BC =3 3. 题型三 线面角、二面角的求法
例3 如图,在四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,AB ⊥AD ,AC ⊥CD ,∠ABC =60°,PA =AB =BC ,E 是PC 的中点. (1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小; (2)证明:AE ⊥平面PCD ; (3)求二面角A —PD —C 的正弦值.
(1)解 在四棱锥P —ABCD 中, 因为PA ⊥底面ABCD ,AB ⊂平面ABCD , 故PA ⊥AB .又AB ⊥AD ,PA ∩AD =A , 从而AB ⊥平面PAD ,
故PB 在平面PAD 内的射影为PA , 从而∠APB 为PB 和平面PAD 所成的角. 在Rt△PAB 中,AB =PA ,故∠APB =45°. 所以PB 和平面PAD 所成的角的大小为45°. (2)证明 在四棱锥P —ABCD 中, 因为PA ⊥底面ABCD ,CD ⊂平面ABCD , 故CD ⊥PA .由条件CD ⊥AC ,PA ∩AC =A , 所以CD ⊥平面PAC .
又AE ⊂平面PAC ,所以AE ⊥CD .
由PA =AB =BC ,∠ABC =60°,可得AC =PA . 因为E 是PC 的中点,所以AE ⊥PC . 又PC ∩CD =C ,所以AE ⊥平面PCD .
(3)解 过点E 作EM ⊥PD ,垂足为M ,连结AM ,如图所示. 由(2)知,AE ⊥平面PCD ,AM 在平面PCD 内的射影是EM , 则可证得AM ⊥PD .
因此∠AME 是二面角A —PD —C 的平面角. 由已知,可得∠CAD =30°. 设AC =a ,可得
PA =a ,AD =
233a ,PD =213a ,AE =2
2
a . 在Rt△ADP 中,∵AM ⊥PD ,∴AM ·PD =PA ·AD ,
则AM =
PA ·AD PD
=a ·
23
3a 213
a =27
7a .
在Rt△AEM 中,sin∠AME =
AE AM =144
. 所以二面角A —PD —C 的正弦值为
14
4
. 思维升华 求线面角、二面角的常用方法:
(1)线面角的求法:找出斜线在平面上的射影,关键是作垂线,找垂足,要把线面角转化到一
个三角形中求解.
(2)二面角的大小求法:二面角的大小用它的平面角来度量.平面角的作法常见的有①定义法;②垂面法.注意利用等腰、等边三角形的性质.
(2015·某某)如图,在三棱台DEFABC 中,AB =2DE ,G ,
H 分别为AC ,BC 的中点.
(1)求证:BD ∥平面FGH ;
(2)若CF ⊥平面ABC ,AB ⊥BC ,CF =DE, ∠BAC =45° ,求平面FGH 与平面ACFD 所成的角(锐角)的大小.
(1)证明 方法一 如图,连结DG ,CD ,设CD ∩GF =O ,连结OH ,在三棱台DEFABC 中,AB =2DE ,G 为AC 的中点,
可得DF ∥GC ,DF =GC ,所以四边形DFCG 为平行四边形. 则O 为CD 的中点,又H 为BC 的中点, 所以OH ∥BD ,又OH ⊂平面FGH ,BD ⊄平面FGH , 所以BD ∥平面FGH .
方法二 如图,在三棱台DEFABC 中,由BC =2EF ,H 为BC 的中点, 可得BH ∥EF ,BH =EF ,
所以四边形BHFE 为平行四边形,
可得BE ∥HF .在△ABC 中,G 为AC 的中点,H 为BC 的中点,所以GH ∥AB . 又GH ∩HF =H ,所以平面FGH ∥平面ABED . 因为BD ⊂平面ABED , 所以BD ∥平面FGH .
(2)解 如图,作HM ⊥AC 于点M ,作MN ⊥GF 于点N ,连结NH . 设AB =2,则CF =1.
由FC ⊥平面ABC ,得HM ⊥FC , 又FC ∩AC =C , 所以HM ⊥平面ACFD .
因此GF ⊥NH ,所以∠MNH 即为所求的角. 在△BGC 中,HM ∥BG ,HM =12BG =22,
由△GNM ∽△GCF ,可得MN FC =GM
GF

从而MN =
6
6
. 由HM ⊥平面ACFD ,MN ⊂平面ACFD ,
得HM⊥MN,因此tan∠MNH=HM
MN
=3,
所以∠MNH=60°,
所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60°.
16.立体几何证明问题中的转化思想
典例(14分)如图所示,M,N,K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB,CD,C1D1的中点.
求证:(1)AN∥平面A1MK;
(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.
思维点拨(1)要证线面平行,需证线线平行.(2)要证面面垂直,需证线面垂直,要证线面垂直,需证线线垂直.
规X解答
证明(1)如图所示,连结NK.
在正方体ABCD—A1B1C1D1中,
∵四边形AA1D1D,DD1C1C都为正方形,
∴AA1∥DD1,AA1=DD1,C1D1∥CD,C1D1=CD.[2分]
∵N,K分别为CD,C1D1的中点,
∴DN∥D1K,DN=D1K,
∴四边形DD1KN为平行四边形.[3分]
∴KN∥DD1,KN=DD1,∴AA1∥KN,AA1=KN.
∴四边形AA1KN为平行四边形.∴AN∥A1K.[4分]
∵A1K⊂平面A1MK,AN⊄平面A1MK,
∴AN∥平面A1MK.[6分]
(2)如图所示,连结BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,AB∥C1D1,AB=C1D1. ∵M,K分别为AB,C1D1的中点,
∴BM∥C1K,BM=C1K.
∴四边形BC1KM为平行四边形.∴MK∥BC1.[8分]
在正方体ABCD—A1B1C1D1中,A1B1⊥平面BB1C1C,
BC1⊂平面BB1C1C,∴A1B1⊥BC1.
∵MK∥BC1,∴A1B1⊥MK.
∵四边形BB1C1C为正方形,∴BC1⊥B1C.
∴MK⊥B1C.[12分]
∵A 1B 1⊂平面A 1B 1C ,B 1C ⊂平面A 1B 1C ,A 1B 1∩B 1C =B 1,∴MK ⊥平面A 1B 1C . 又∵MK ⊂平面A 1MK ,
∴平面A 1B 1C ⊥平面A 1MK .[14分]
温馨提醒 (1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化,交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理;
(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础.证明过程中要注意利用平面几何中的结论,如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例;证明垂直时常用的等腰三角形的中线等; (3)证明过程一定要严谨,使用定理时要对照条件、步骤书写要规X .
[方法与技巧] 1.三类论证
(1)证明线线垂直的方法
①定义:两条直线所成的角为90°; ②平面几何中证明线线垂直的方法; ③线面垂直的性质:a ⊥α,b ⊂α⇒a ⊥b ; ④线面垂直的性质:a ⊥α,b ∥α⇒a ⊥b . (2)证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义:a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α; ②判定定理1:

⎪⎬⎪⎫m 、n ⊂α,m ∩n =A l ⊥m ,l ⊥n
⇒l ⊥α;
③判定定理2:a ∥b ,a ⊥α⇒b ⊥α; ④面面平行的性质:α∥β,a ⊥α⇒a ⊥β;
⑤面面垂直的性质:α⊥β,α∩β=l ,a ⊂α,a ⊥l ⇒a ⊥β. (3)证明面面垂直的方法
①利用定义:两个平面相交,所成的二面角是直二面角; ②判定定理:a ⊂α,a ⊥β⇒α⊥β. 2.转化思想:垂直关系的转化
在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线图中不存在,则可通过作辅助线来解决.
[失误与防X]
1.在解决直线与平面垂直的问题过程中,要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用,即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.
2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.
A组专项基础训练
(时间:40分钟)
1.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α,AD/∈l,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,m∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是________.
①AB∥m; ②AC⊥m;
③AB∥β;④AC⊥β.
答案④
解析如图所示,
AB∥l∥m;AC⊥l,m∥l⇒AC⊥m;AB∥l⇒AB∥β,只有④不一定成立.
2.设m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列命题
正确的是________.
①若m⊥n,n∥α,则m⊥α;
②若m∥β,β⊥α,则m⊥α;
③若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α;
④若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α.
答案③
解析①中,由m⊥n, n∥α,可得m⊂α或m∥α或m与α相交,错误;②中,由m∥β,β⊥α,可得m⊂α或m∥α或m与α相交,错误;③中,由m⊥β,n⊥β,可得m∥n,又n⊥α,则m⊥α,正确;④中,由m⊥n,n⊥β,β⊥α,可得m与α相交或m⊂α或m∥α,错误.
3.(2015·某某滨海新区模拟)如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:
①BD ⊥AC ; ②△BAC 是等边三角形;
③三棱锥D -ABC 是正三棱锥;
④平面ADC ⊥平面ABC .
其中正确的是________.
答案 ①②③
解析 由题意知,BD ⊥平面ADC ,故BD ⊥AC ,①正确;AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高,平面ABD ⊥平面ACD ,所以AB =AC =BC ,△BAC 是等边三角形,②正确;易知DA =DB =DC ,又由②知③正确;由①知④错.
4.(2015·某某改编)若l ,m 是两条不同的直线,m 垂直于平面α,则“l ⊥m ”是“l ∥α”的____________条件.
答案 必要而不充分
解析 m 垂直于平面α,当l ⊂α时,也满足l ⊥m ,但直线l 与平面α不平行,∴充分性不成立,反之,l ∥α,一定有l ⊥m ,必要性成立.
5.如图所示,在四棱锥P -ABCD 中,PA ⊥底面ABCD ,且底面各边都相
等,M 是PC 上的一动点,当点M 满足________时,平面MBD ⊥平面PCD .(只
要填写一个你认为是正确的条件即可)
答案 DM ⊥PC (或BM ⊥PC 等)
解析 由定理可知,BD ⊥PC .
∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC ),即有PC ⊥平面MBD .
而PC ⊂平面PCD ,∴平面MBD ⊥平面PCD .
6.如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧棱长为2,AC =BC =1,∠ACB =90°,
D 是A 1B 1的中点,F 是BB 1上的动点,AB 1,DF 交于点
E .要使AB 1⊥平面C 1D
F ,
则线段B 1F 的长为________.
答案 12
解析 设B 1F =x ,
因为AB 1⊥平面C 1DF ,DF ⊂平面C 1DF ,
所以AB 1⊥DF .
由已知可得A 1B 1=2,
设Rt△AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ,
则DE =12
h . 由面积相等得2×2=h 22+22,
所以h =233,DE =33
. 在Rt △DB 1E 中,
B 1E = 2
22-3
32=66
. 由面积相等得
66× x 2+2
22=22
x , 得x =12. 7.如图,PA ⊥圆O 所在的平面,AB 是圆O 的直径,C 是圆O 上的一点,E ,
F 分别是点A 在PB ,PC 上的射影,给出下列结论:
①AF ⊥PB ;②EF ⊥PB ;③AF ⊥BC ;④AE ⊥平面PBC .
其中正确结论的序号是________.
答案 ①②③
解析 由题意知PA ⊥平面ABC ,∴PA ⊥BC .
又AC ⊥BC ,且PA ∩AC =A ,
∴BC ⊥平面PAC ,∴BC ⊥AF .
∵AF ⊥PC ,且BC ∩PC =C ,
∴AF ⊥平面PBC ,
∴AF ⊥PB ,又AE ⊥PB ,AE ∩AF =A ,
∴PB ⊥平面AEF ,∴PB ⊥EF .
故①②③正确.
8.点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动,则下列四个命题:
①三棱锥A -D 1PC 的体积不变;
②A 1P ∥平面ACD 1;
③DP ⊥BC 1;
④平面PDB 1⊥平面ACD 1.
其中正确的命题序号是________.
答案 ①②④
解析 由题意可得直线BC 1平行于直线AD 1,并且直线AD 1⊂平面AD 1C ,直线BC 1⊄平面AD 1C , 所以直线BC 1∥平面AD 1C .
所以点P 到平面AD 1C 的距离不变,
11A D PC P AD C V V --=,
所以体积不变.故①正确;
如图,连结A1C1,A1B,
可得平面AD1C∥平面A1C1B.
又因为A1P⊂平面A1C1B,所以A1P∥平面ACD1,
故②正确;
当点P运动到B点时,△DBC1是等边三角形,
所以DP不垂直于BC1.故③不正确;
连结DB1,因为直线AC⊥平面DB1,DB1⊂平面DB1.
所以AC⊥DB1.同理可得AD1⊥DB1.
所以可得DB1⊥平面AD1C.
又因为DB1⊂平面PDB1.
所以可得平面PDB1⊥平面ACD1.
故④正确.
综上,正确的序号为①②④.
9.(2014·某某)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点.求证:
(1)直线BC1∥平面EFPQ;
(2)直线AC1⊥平面PQMN.
证明(1)如图,连结AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知AD1∥BC1,因为F,P分别是AD,DD1的中点,所以FP∥AD1,
从而BC1∥FP.
而FP⊂平面EFPQ,
且BC1⊄平面EFPQ,
故直线BC1∥平面EFPQ.
(2)连结AC,BD,
则AC⊥BD.
由CC1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
可得CC1⊥BD.
又AC∩CC1=C,
所以BD⊥平面ACC1.
而AC1⊂平面ACC1,
所以BD⊥AC1.
因为M,N分别是A1B1,A1D1的中点,
所以MN∥BD,从而MN⊥AC1.
同理可证PN⊥AC1.
又PN ∩MN =N ,所以直线AC 1⊥平面PQMN .
10.(2014·某某)如图,在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是
等腰梯形,∠DAB =60°,AB =2CD =2,M 是线段AB 的中点.
(1)求证:C 1M ∥平面A 1ADD 1;
(2)若CD 1垂直于平面ABCD 且CD 1=3,求平面C 1D 1M 和平面ABCD
所成的角(锐角)的余弦值.
(1)证明 因为四边形ABCD 是等腰梯形,
且AB =2CD ,
所以AB ∥DC .
又由M 是AB 的中点,因此CD ∥MA 且CD =MA .
连结AD 1,如图(1).
在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,
因为CD ∥C 1D 1,CD =C 1D 1,
可得C 1D 1∥MA ,C 1D 1=MA ,
所以四边形AMC 1D 1为平行四边形,
因此C 1M ∥D 1A .
又C 1M ⊄平面A 1ADD 1,
D 1A ⊂平面A 1ADD 1,
所以C 1M ∥平面A 1ADD 1.
(2)解 由(1)知平面D 1C 1M ∩平面ABCD =AB ,
过点C 向AB 引垂线交AB 于点N ,
连结D 1N ,如图(2).
由CD 1⊥平面ABCD ,
可得D 1N ⊥AB ,
因此∠D 1NC 为二面角C 1-AB -C 的平面角.
在Rt△BNC 中,BC =1,
∠NBC =60°,可得=3
2.
所以ND 1=CD 21+2=15
2.
在Rt△D 1中,
cos∠D 1NC =D 1N =3
2152

5
5,
所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为
5
5
.
B组专项能力提升
(时间:30分钟)
11.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在
底面ABC上的射影H必在
__________________________________________.
①直线AB上
②直线BC上
③直线AC上
④△ABC内部
答案①
解析由AC⊥AB,AC⊥BC1,∴AC⊥平面ABC1.
又∵AC⊂面ABC,∴平面ABC1⊥平面ABC.
∴C1在面ABC上的射影H必在两平面交线AB上.
12.设α,β是空间两个不同的平面,m,n是平面α及β外的两条不同直线.从“①m⊥n;
②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题:________(用代号表示).
答案①③④⇒②(或②③④⇒①)
解析逐一判断.若①②③成立,则m与α的位置关系不确定,故①②③⇒④错误;同理①②④⇒③也错误;
①③④⇒②与②③④⇒①均正确.
13.已知α,β,γ是三个不同的平面,命题“α∥β,且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题,如果把α,β,γ中的任意两个换成直线,另一个保持不变,在所得的所有新命题中,真命题有________个.
答案 2
解析若α,β换为直线a,b,则命题化为“a∥b,且a⊥γ⇒b⊥γ”,此命题为真命题;若α,γ换为直线a,b,则命题化为“a∥β,且a⊥b⇒b⊥β”,此命题为假命题;若β,γ换为直线a,b,则命题化为“a∥α,且b⊥α⇒a⊥b”,此命题为真命题.14.(2015·某某)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面
垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖
臑.
在如图所示的阳马PABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,点E是PC
的中点,连结DE 、BD 、BE . (1)证明:DE ⊥平面PBC .试判断四面体EBCD 是否为鳖臑.若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由;
(2)记阳马PABCD 的体积为V 1,四面体EBCD 的体积为V 2,求V 1V 2
的值.
(1)证明 因为PD ⊥底面ABCD ,所以PD ⊥BC ,
由底面ABCD 为长方形,有BC ⊥CD ,而PD ∩CD =D ,
所以BC ⊥平面PCD .而DE ⊂平面PCD ,
所以BC ⊥DE .
又因为PD =CD ,点E 是PC 的中点,所以DE ⊥PC .
而PC ∩BC =C ,所以DE ⊥平面PBC .
由BC ⊥平面PCD ,DE ⊥平面PBC ,可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形,即四面体EBCD 是一个鳖臑,其四个面的直角分别是∠BCD ,∠BCE ,∠DEC ,∠DEB .
(2)解 由已知得,PD 是阳马PABCD 的高,
所以V 1=13S ABCD ·PD =13
BC ·CD ·PD . 由(1)知,DE 是鳖臑DBCE 的高,BC ⊥CE ,
所以V 2=13S △BCE ·DE =16
BC ·CE ·DE . 在Rt△PDC 中,因为PD =CD ,点E 是PC 的中点,所以DE =CE =
22CD , 于是V 1V 2=13BC ·CD ·PD 16
BC ·CE ·DE =2CD ·PD CE ·DE =4. 15.(2015·某某)如图,三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的
平面垂直,PD =PC =4,AB =6,BC =3.点E 是CD 边的中点,点F ,G 分
别在线段AB ,BC 上,且AF =2FB ,CG =2GB .
(1)证明:PE ⊥FG ;
(2)求二面角PADC 的正切值;
(3)求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值.
(1)证明 在△PDC 中,PD =PC 且E 为CD 的中点,
∴PE ⊥CD .
又∵平面PDC ⊥平面ABCD ,平面PDC ∩平面ABCD =CD ,PE ⊂平面PDC ,
∴PE ⊥平面ABCD ,又FG ⊂平面ABCD ,∴PE ⊥FG .
(2)解 由(1)知PE ⊥平面ABCD ,∴PE ⊥AD ,
又AD ⊥CD ,PE ∩CD =E ,
∴AD ⊥平面PDC ,∴AD ⊥PD ,
∴∠PDC 为二面角PADC 的平面角,
在Rt△PDE 中,PD =4,DE =3,
∴PE =16-9=7,
∴tan∠PDC =PE DE =7
3.
即二面角PADC 的正切值为7
3.
(3)解 如图,连结AC ,∵AF =2FB ,CG =2GB ,∴AC ∥FG . ∴直线PA 与FG 所成角即直线PA 与AC 所成角∠PAC , 在Rt△PDA 中,PA 2=AD 2+PD 2=16+9=25,
∴PA =5.又PC =4.
AC 2=CD 2+AD 2=36+9=45,∴AC =35,
cos∠PAC =PA 2+AC 2-PC 22PA ·AC =25+45-162×5×35=9
25 5.
即直线PA 与直线FG 所成角的余弦值为95
25.。

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