数学第六章 实数试题含答案

数学第六章 实数试题含答案
一、选择题
1．对一组数(x,y)的一次操作变换记为P 1(x,y)，定义其变换法则如下：P 1(x,y)=(x+y,x-y)，且规定P n (x,y)=P 1(P n-1(x,y))（n 为大于1的整数），如：P 1(1,2)=(3,-1)，P 2(1,2)= P 1(P 1(1,2))= P 1(3,-1)=(2,4)，P 3(1,2)= P 1(P 2(1,2))= P 1(2,4)=(6,-2)，则P 2017(1,-1)=（ ）．
A ．（0，21008）
B ．（0，-21008）
C ．（0，-21009）
D ．（0，21009）
2．一列数1a ， 2a ， 3a ，…… n a ，其中1a =﹣1， 2a =111a -， 3a =2
11a -，……， n a =1
11n a --，则1a ×2a ×3a ×…×2017a =（ ） A ．1
B ．-1
C ．2017
D ．-2017 3．下列说法错误的是（ ）
A ．﹣4是16的平方根
B
2 C ．116的平方根是14
D
5 4．下列说法错误的是（ ）
A ．a 2与（﹣a ）2相等
B
互为相反数 C
D ．|a|与|﹣a|互为相反数 5．若a 2=(-5)2 ，b 3=(-5)3 ，则a+b 的值是（ ） A ．0或-10或10
B ．0或-10
C ．-10
D ．0 6．已知|x |＝2，y 2＝9，且xy ＜0，则x +y 的值为（ ） A ．1或﹣1 B ．-5或5 C ．11或7 D ．-11或﹣7 7．
1是a 的相反数，那么a 的值是（ ）
A
．1B
．1C
． D
8．
0=，则x 和y 的关系是（ ）
A ．0x y ==
B ．0x y -=
C ．1xy =
D ．0x y +=
9．下列各数中，介于6和7之间的数是( )
A
B
C
D
10．下列判断正确的有几个（ ）
①一个数的平方根等于它本身，这个数是0和1；②实数包括无理数和有理数；
3的立方根；④无理数是带根号的数；⑤2
．
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
二、填空题
11．m 的平方根是n +1和n ﹣5；那么m +n ＝_____．
12．用⊕表示一种运算，它的含义是：1(1)(1)
x A B A B A B ⊕=++++，如果5213
⊕=
，那么45⊕= __________． 13．对于有理数a ，b ，规定一种新运算：a ※b=ab +b ，如2※3=2×3+3=9．下列结论：①（﹣3）※4=﹣8；②若a ※b=b ※a ，则a=b ；③方程（x ﹣4）※3=6的解为x=5；④（a ※b ）※c=a ※（b ※c ）．其中正确的是_____（把所有正确的序号都填上）．
14．规定运算：()a b a b *=-，其中b a 、
为实数，则4)+=____
15．对任意两个实数a ，b 定义新运算：a ⊕b=()()a a b b a b ≥⎧⎨⎩
若若＜，并且定义新运算程序仍然是
2）⊕3=___．
16．定义新运算a ☆b ＝3a ﹣2b ，则（﹣2）☆1＝_____．
17．
__________0.5．（填“>”“<”或“=”） 18．规定用符号[]x
表示一个实数的整数部分，如[3.65]3,1==
，按此规定
1⎡=⎣_____． 19．
已知2(21)0a ++=，则22004a b +=________．
20．用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a ，b
，都有*1a b
．例如8914*=，那么*(*16)m m =__________．
三、解答题
21．先阅读第()1题的解法，再解答第()2题：
()1已知a ，b
是有理数，并且满足等式52b a =+
，求a ，b 的值．
解：因为52b a -=+
所以(
)52b a =-所以2b a 52a 3-=⎧⎪⎨-=⎪⎩解得2a 313b 6⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
()2已知x ，y
是有理数，并且满足等式2x 2y 17--=-x y +的值．
22．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘．
你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：
①31000100==，又1000593191000000<<，
10100∴<<，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②∵59319的个位数是9，又39729=，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③如果划去59319后面的三位319得到数59，
<<34<<，可得3040<<，
由此能确定59319的立方根的十位数是3
因此59319的立方根是39．
（1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空．
①它的立方根是_______位数．
②它的立方根的个位数是_______．
③它的立方根的十位数是__________．
④195112的立方根是________．
（2）请直接填写．．．．
结果：
=________．
=________．
23．对于实数a,我们规定用}{a}为 a 的根整数.如
}=4.
(1)计算？
(2)若{m}=2,写出满足题意的m 的整数值；
(3)现对a 进行连续求根整数，直到结果为2为止．例如对12进行连续求根整数，第一次
}=4,再进行第二次求根整数}=2,表示对12连续求根整数2次可得结果为2.对100进行连续求根整数， 次后结果为2.
24．观察下来等式：
12×231＝132×21，
13×341＝143×31，
23×352＝253×32，
34×473＝374×43，
62×286＝682×26，
……
在上面的等式中，等式两边的数字分别是对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
(1)根据以上各等式反映的规律，使下面等式成为“数字对称等式”：
52×_____＝______×25；
(2)设这类等式左边的两位数中，个位数字为a ，十位数字为b ，且2≤a ＋b≤9，则用含a ，b 的式子表示这类“数字对称等式”的规律是_______．
25．（1）如图，分别把两个边长为1cm 的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形拼成
一个大正方形，则大正方形的边长为_______cm ；
（2）若一个圆的面积与一个正方形的面积都是22cm π，设圆的周长为C 圆，正方形的周长为C 正，则C 圆_____C 正（填“=”或“<”或“>”号）；
（3）如图，若正方形的面积为2400cm ，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为2300cm 的长方形纸片，使它的长和宽之比为3:2，他能裁出吗？请说明理由？
26．规律探究
计算：123499100++++⋅⋅⋅++
如果一个个顺次相加显然太繁杂，我们仔细观察这个式子的特点，发现运用加法的的运算律，可简化计算， 提高计算速度．
()()()12349910011002995051101505050++++⋅⋅⋅++=++++⋅⋅⋅++=⨯= 计算：
（1）246898100++++⋅⋅⋅++
（2）()()()()22334100101a m a m a m a m ++++++⋅⋅⋅++
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】分析：用定义的规则分别计算出P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，P 6，观察所得的结果，总结出规律求解.
详解：因为P 1（1，-1）=（0，2）；
P 2（1，-1）=P 1(P 1(1,-1）)=P 1(0,2)=(2,-2)；
P 3（1，-1）=P 1（P 2(2,-2)）=(0,4)；
P 4（1，-1）=P 1（P 3(0,4)）=(4,-4)；
P 5（1，-1）=P 1（P 4(4,-4)）=(0,8)；
P 6（1，-1）=P 1（P 5(0,8)）=(8,-8)；
……
P 2n-1（1，-1）=……=(0,2n )；
P 2n （1，-1）=……=(2n ,-2n ).
因为2017=2×
1009-1， 所以P 2017=P 2×1009-1=（0，21009）.
故选D.
点睛：对于新定义，要理解它所规定的运算规则，再根据这个规则进行相关的计算；探索数字的变化规律通常用列举法，按照一定的顺序列举一定数量的运算过程和结果，从运算过程和结果中归纳出运算结果或运算结果的规律.
2．B
解析：B
【解析】
因为1a =﹣1,所以
2a =11111112a ==---（）,3 a =21121112
a ==--,4 a =3111112a ==---,通过观察可得:1 a ,2a ,3a ,4 a ……的值按照﹣1,1 2
, 2三个数值为一周期循环,将2017除以3可得372余1,所以2017a 的值是第273个周期中第一个数值﹣1,因为每个周期三个数值的乘积为: 11212
-⨯⨯=-,所以1a ×2a ×3a ×…×2017a =()()372111,-⨯-=-故选B. 3．C
解析：C
【分析】
分别根据平方根的定义，算术平方根的定义判断即可得出正确选项．
【详解】
A ．﹣4是16的平方根，说法正确；
B .
2，说法正确；
C . 116的平方根是±14
，故原说法错误； D .
，说法正确．
故选：C ．
【点睛】
此题考查了平方根以及算术平方根的定义，熟记相关定义是解题的关键．
4．D
解析：D
【分析】
利用平方运算，立方根的化简和绝对值的意义，逐项判断得结论．
【详解】
∵（﹣a）2＝a2，
∴选项A说法正确；
a＝a，
互为相反数，故选项B说法正确；
互为相反数，故选项C说法正确；
∵|a|＝|﹣a|，
∴选项D说法错误．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了绝对值的意义，平方运算及立方根的化简．掌握立方根的化简和绝对值的意义是解决本题的关键．
5．B
解析：B
【分析】
直接利用平方根和立方根的计算得出答案.
【详解】
∵a2=(-5)2，b3=(-5)3,
∴a=±5,b=-5, ∴a+b=0或-10，故选B.
【点睛】
本题考查了平方根和立方根，掌握平方根和立方根的性质是关键．
6．A
解析：A
【分析】
根据题意，利用平方根定义，绝对值的代数意义，以及有理数的乘法法则判断确定出x与y的值即可．
【详解】
解：∵|x|＝2，y2＝9，且xy＜0，
∴x=2或-2，y=3或-3，
当x=2，y=-3时，x+y=2-3=-1；
当x=-2，y=3时，原式=-2+3=1，
故选：A．
【点睛】
此题考查了有理数的乘方，绝对值，以及有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关
键．
7．A
解析：A
【详解】
只有符号不同的两个数，我们称这两个数互为相反数，则1)1=-=-a 考点：相反数的定义
8．D
解析：D
【分析】
根据立方根的性质得出x+y=0即可解答．
【详解】
0+=，
∴x+y=0
故答案为D ．
【点睛】
本题主要考查了立方根的性质，通过立方根的性质得到x+y=0是解答本题的关键．
9．A
解析：A
【分析】
求出每个根式的范围，再判断即可．
【详解】
解：A 、67，故本选项正确；
B 、78，故本选项错误；
C 、78，故本选项错误；
D 、34，故本选项错误；
故选：A ．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小的应用，关键是求出每个根式的范围．
10．B
解析：B
【分析】
根据平方根的定义判断①；根据实数的定义判断②；根据立方根的定义判断③；根据无理数的定义判断④；根据算术平方根的定义判断⑤．
【详解】
解：①一个数的平方根等于它本身，这个数是0，因为1的平方根是±1，故①错误； ②实数包括无理数和有理数，故②正确；
3的立方根，故③正确；
④π是无理数，而π不带根号，所以无理数不一定是带根号的数，故④错误；
⑤2，故⑤正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平方根、立方根、算术平方根及无理数、实数的定义，是基础知识，需熟练掌握．
二、填空题
11．11
【分析】
直接利用平方根的定义得出n的值，进而求出m的值，即可得出答案．
【详解】
解：由题意得，
n+1+n﹣5＝0，
解得n＝2，
∴m＝（2+1）2＝9，
∴m+n＝9+2＝11．
故答
解析：11
【分析】
直接利用平方根的定义得出n的值，进而求出m的值，即可得出答案．
【详解】
解：由题意得，
n+1+n﹣5＝0，
解得n＝2，
∴m＝（2+1）2＝9，
∴m+n＝9+2＝11．
故答案为11．
【点睛】
此题主要考查了平方根，正确利用平方根的定义得出n的值是解题关键．
12．【分析】
按照新定义的运算法先求出x，然后再进行计算即可.
【详解】
解：由
解得：x=8
故答案为.
【点睛】
本题考查了新定义运算和一元一次方程，解答的关键是根据定义解一元一次方程，求得x 的 解析：1745
【分析】
按照新定义的运算法先求出x ，然后再进行计算即可.
【详解】 解：由1521=21(21)(11)3
x ⊕=
++++ 解得：x=8 18181745==45(41)(51)93045
⊕=+++++ 故答案为
1745
. 【点睛】 本题考查了新定义运算和一元一次方程，解答的关键是根据定义解一元一次方程，求得x 的值.
13．①③
【解析】
【分析】
题目中各式利用已知的新定义公式计算得到结果，即可做出判断．
【详解】
(−3)※4=−3×4+4=−8，所以①正确；
a ※b=ab+
b ，b ※a=ab+a ，若 a=b ，两式
解析：①③
【解析】
【分析】
题目中各式利用已知的新定义公式计算得到结果，即可做出判断．
【详解】
(−3)※4=−3×4+4=−8，所以①正确；
a ※b=ab+
b ，b ※a=ab+a ，若 a=b ，两式相等，若 a≠b ，则两式不相等，所以②错误； 方程(x−4) )※3=6化为3(x−4)+3=6，解得x=5，所以③正确；
左边=(a ※b) ※c=(a×
b+b) )※c=(a×b+b)·c+c=abc+bc+c 右边=a ※（b ※c ）=a ※(b×
c+c)=a (b×c+c) +(b×c+c)=abc+ac+bc+c 2 两式不相等，所以④错误．
综上所述，正确的说法有①③．
故答案为①③.
【点睛】
有理数的混合运算, 解一元一次方程，属于定义新运算专题，解决本题的关键突破口是准确理解新定义．本题主要考查学生综合分析能力、运算能力．
14．4
【分析】
根据题意将原式展开，然后化简绝对值，求解即可．
【详解】
=
=
=4
故答案为4．
【点睛】
本题考查了定义新运算，绝对值的化简，和实数的计算，熟练掌握绝对值的化简规律是本题的关键
解析：4
【分析】
根据题意将原式展开，然后化简绝对值，求解即可．
【详解】
4)+
4
=4
=4
故答案为4．
【点睛】
本题考查了定义新运算，绝对值的化简，和实数的计算，熟练掌握绝对值的化简规律是本题的关键．
15．【分析】
根据“⊕”的含义，以及实数的运算方法，求出算式的值是多少即可．
【详解】
(⊕2)⊕3=⊕3=3，
故答案为3．
【点睛】
本题考查了定义新运算，以及实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关
解析：【分析】
根据“⊕”的含义，以及实数的运算方法，求出算式的值是多少即可．
【详解】
2)⊕3=3，
故答案为3．
【点睛】
本题考查了定义新运算，以及实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
16．﹣8
【分析】
原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
【详解】
解：根据题中的新定义得：（﹣2）☆1＝3×（−2）−2×1＝−6−2＝−8，
故答案为−8.
【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，
解析：﹣8
【分析】
原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
【详解】
解：根据题中的新定义得：（﹣2）☆1＝3×（−2）−2×1＝−6−2＝−8，
故答案为−8.
【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
17．＞
【分析】
首先把两个数采用作差法相减，根据差的正负情况即可比较两个实数的大小．【详解】
∵，
∵-2＞0，
∴＞0．
故＞0.5．
故答案为：＞.
【点睛】
此题考查实数大小比较，解题关键在于
解析：＞
【分析】
首先把两个数采用作差法相减，根据差的正负情况即可比较两个实数的大小．【详解】
1
2
＞0，
∴
2
2
＞0．
＞0.5．
故答案为：＞.
【点睛】
此题考查实数大小比较，解题关键在于掌握比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法等．
18．-3
【分析】
先确定的范围，再确定的范围，然后根据题意解答即可．
【详解】
解：∵3＜＜4
∴-3＜＜-2
∴-3
故答案为-3．
【点睛】
本题考查了无理数整数部分的有关计算，确定的范围是解答本
解析：-3
【分析】
1⎡⎣的范围，然后根据题意解答即可．
【详解】
解：∵34
∴-3＜1--2
∴1⎡=
⎣-3
故答案为-3．
【点睛】
19．【分析】
根据非负数的性质列方程求出a 、b 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
解：∵，
∴2a＋1＝0，b −1＝0，
∴a＝，b ＝1，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了非负数 解析：54
【分析】
根据非负数的性质列方程求出a 、b 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
解：∵2(21)0a +=，
∴2a ＋1＝0，b−1＝0，
∴a ＝12
-，b ＝1， ∴2
22004
200411511244a b ⎛⎫+=-+=+= ⎪⎝⎭， 故答案为：
54． 【点睛】 本题考查了非负数的性质，几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
20．+1
【分析】
首先正确理解题目要求，然后根据给出的例子进行计算即可．
【详解】
m*（m*16）
=m*（+1）
=m*5
=+1．
故答案为：+1．
【点睛】
此题考查实数的运算，解题的关键是要
【分析】
首先正确理解题目要求，然后根据给出的例子进行计算即可．
【详解】
m*（m*16）
=m*）
=m*5
=．
．
【点睛】
此题考查实数的运算，解题的关键是要掌握运算法则．
三、解答题
21．x y 9+=或x y 1+=-.
【分析】
利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程组，然后解方程即可．
【详解】
因为2x 2y 17--=-
所以()
2x 2y 17-=- 所以2x 2y 17
y 4-=⎧=⎨⎩
， 解得{x 5y 4==或{x 5
y 4=-=，
所以x y 9+=或x y 1+=-.
【点睛】
本题是一个阅读题目，主要考查了实数的运算，其中关键是理解解方程组的思路就是消元.对于阅读理解题要读懂阅读部分，然后依照同样的方法和思路解题．
22．（1）①两；②8；③5；④58；（2）①24；②56．
【分析】
（1）①根据例题进行推理得出答案；
②根据例题进行推理得出答案；
③根据例题进行推理得出答案；
④根据②③得出答案；
（2）①先判断它的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得到结论； ②先判断它的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得到结论.
【详解】
（1）①31000100==，10001951121000000<< ，
∴10100<<，
∴能确定195112的立方根是一个两位数，
故答案为：两；
②∵195112的个位数字是2，又∵38512=，
∴能确定195112的个位数字是8，
故答案为：8；
③如果划去195112后面三位112得到数195，
<<
∴56<<，
可得5060<<，
由此能确定195112的立方根的十位数是5，
故答案为：5；
④根据②③可得：195112的立方根是58，
故答案为：58；
（2）①13824的立方根是两位数，立方根的个位数是4，十位数是2，
∴13824的立方根是24，
故答案为：24；
②175616的立方根是两位数，立方根的个位数是6，十位数是5，
∴175616的立方根是56，
故答案为：56.
【点睛】
此题考查立方根的性质，一个数的立方数的特点，正确理解题意仿照例题解题的能力，掌握一个数的立方数的特点是解题的关键.
23．(1)3；(2)2，3，4(3)3
【分析】
（1的大小，再根据新定义可得结果；
（2）根据定义可知12，可得满足题意的m 的整数值；
（3）根据定义对100进行连续求根整数，可得3次之后结果为2.
【详解】
解：（1）根据新定义可得，，故答案为3；
（2）∵{m}=2，根据新定义可得，1，可得m 的整数值为2,3,4，故答案为2,3,4； （3）∵{100}=10，{10}=4，{4}=2，∴对100进行连续求根整数，3次后结果为2；故答案为3.
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查了对新定义的理解能力，准确理解新定义
是解题的关键.
24．（1）275，572；（2）（10b+a ）[100a+10（a+b ）+b]=（10a+b[100b+10（a+b ）+a].
【分析】
（1）观察等式，发现规律，等式的左边：两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字，十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位；等式的右边：三位数与左边的三位数字百位与个位数字交换，两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘，根据此规律进行填空即可；
（2）按照（1）中对称等式的方法写出，然后利用多项式的乘法进行写出即可．
【详解】
解：（1）∵5+2=7，
∴左边的三位数是275，右边的三位数是572，
∴52×275=572×25，
（2）左边的两位数是10b+a ，三位数是100a+10（a+b ）+b ；
右边的两位数是10a+b ，三位数是100b+10（a+b ）+a ；
“数字对称等式”为：（10b+a ）[100a+10（a+b ）+b]=（10a+b[100b+10（a+b ）+a]． 故答案为275，572；（10b+a ）[100a+10（a+b ）+b]=（10a+b[100b+10（a+b ）+a]．
【点睛】
本题是对数字变化规律的考查，根据已知信息，理清利用左边的两位数的十位数字与个位数字变化得到其它的三个数字是解题的关键．
25．（1；（2）<；（3）不能裁剪出，详见解析
【分析】
（1）根据所拼成的大正方形的面积为2即可求得大正方形的边长；
（2）由圆和正方形的面积公式可分别求的圆的半径及正方形的边长，进而可求得圆和正方形的周长，利用作商法比较这两数大小即可；
（3）利用方程思想求出长方形的长边，与正方形边长比较大小即可；
【详解】
解：（1）∵小正方形的边长为1cm ，
∴小正方形的面积为1cm 2，
∴两个小正方形的面积之和为2cm 2，
即所拼成的大正方形的面积为2 cm 2，
cm ，
（2）∵22r ππ=，
∴r =
∴2=2C r π=圆，
设正方形的边长为a
∵22a π=，
∴a
∴=4C a =正
∴1C C ===<圆
正
故答案为：＜；
（3）解：不能裁剪出，理由如下：
∵长方形纸片的长和宽之比为3:2，
∴设长方形纸片的长为3x ，宽为2x ，
则32300x x ⋅=，
整理得：250x =，
∴22
(3)9950450x x ==⨯=，
∵450＞400，
∴22(3)20x >，
∴320x >，
∴长方形纸片的长大于正方形的边长，
∴不能裁出这样的长方形纸片．
【点睛】
本题通过圆和正方形的面积考查了对算术平方根的应用，主要是对学生无理数运算及比较大小进行了考查．
26．（1）2550；（2）50505150a m +
【分析】
（1）利用所给规律计算求解即可；
（2）先去括号，再分组利用所给规律计算．
【详解】
解：（1）原式()()()21004985052=++++⋅⋅⋅++ 102252550=⨯=
（2）原式()()23100234101a a a a m m m m =+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+
50505150a m =+
【点睛】
本题考查的知识点是去括号与添括号、有理数的加法、合并同类项，灵活运用加法的运算律是解此题的关键．。