上海交通大学《高等数学》2020-2021学年第二学期期末试卷A卷

2020-2021级高等数学第二学期期末试卷(A 类)
一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 空间立体Ω++≤≥x y z z :1(0)222上的三重积分⎰⎰⎰++=Ω
x y z V ()d 222
( )
(A) π;
(B)
π2
1
; (C) π54; (D) π52。

2. 若函数f x y (,)在点P x y (,)000沿任何方向的方向导数都存在，则 ( )
(A) f x y f x y x y (,),(,)0000存在； (B) f x y (,)在P 0点处连续； (C) f x y (,)在P 0点处可微； (D) 以上选项都不成立。

3.
=f x y z xyz (,,)在约束条件++=x y z 223222下的最大值为： ( )
(A)
2;
(B) 4
; (C)
2
1
; (D) 1。

4. 平面曲线-+-=C x y :(1)(2)122上的曲线积分⎰+=x y s C ()d ( )
(A) π8;
(B) π6;
(C) π4;
(D) π2。

5. 下列命题中，正确命题的个数为 ( )
① 若极限→∞+a a
n
n n lim 1不存在，则非负项级数∑=∞a n n 1发散；
② 级数∑=∞
a n n ||1收敛的充分必要条件是：级数∑
+=∞
a a n n n 1||
||
1收敛；
③ 若级数∑=∞a n n 1
发散，则级数∑=∞
na n n 1
也发散.
(A)0； (B)1； (C)2； (D)3。

二、填空题（每小题3分，共15分） 6. 二次积分⎰⎰
=y
x y y
x d d sin 01
1
_________________。

7. 设平面曲线C 是椭圆+=a b
x y 12222
的逆时针方向，则曲线积分
⎰+++=y e
y x x e y y C x
x (sin )d (3cos )d _________________。

8. 向量场=+-F x y z x yi xy j k xyz (,,)e 23在点(1,1,0)处的散度=divF (1,1,0)_____。

9. 微分方程++=y
y x y x x y x (4+2ln )d (4)d 02
的通解为：___________________。

10. 5
9
13
3
7
11
15
...
1!5!
9!
13!
...
3!
7!11!
15!
ππππππ
π
π+++
+=+
+
+
+___________。

三、(本题8分)
11. 设(,)z z x y =是由方程(24,2,)0z z F x y y e x e +--=所确定的隐函数，
其中(,,)F x y z 是可微函数，求
,,z z
x y
∂∂∂∂ 及d z 。

四、(本大题共18分，其中第12题8分，第13题10分)
12. 若物质曲面222:1(12)S x y z z +-=≤≤的面密度函数(,,)5x y z z ρ=，求物质
曲面S 的质量。

13. 计算曲面积分222222
()d d ()d d ()d d x y y z y z z x z x x y x y z ∑
-+-+-++⎰⎰， 其中∑是球面2229(1)x y z z ++=≥的上侧。

五、(本大题共18分，其中第14题8分，第15题10分) 14. 质点(0,3)P 对质点(,)M x y
的引力为F =
，其中k 为常数。

现质点M
沿平面曲线:C y =(1,0)A 运动到点(0,0)O ，求此运动过程中质点P 对质点M 的引力F 所作的功。

15. 求函数项级数3
2
4
2211
(1)(1)(1) (1)
n
n x x x x ∞
=+
++⋅⋅+∑
的收敛域。

六、(本大题共18分，其中第16题8分，第17题10分)
16. 求级数11
(1)(21)
3n n
n n -∞
=-+∑的和。

17. 利用函数的泰勒展开式，将无理数e,ln 2,π分别表示为(有理)数项级数的和。

七、证明题(本题8分)
18. 设{}n a 是正项数列，1
n
n k k S a ==
∑。

证明：级数1
n n a ∞
=∑收敛的充要条件是：级数1
2
(1)n n n
S S ∞-=-
∑收敛。