天津市第一中学2020-2021学年七年级下学期期中数学试卷

天津市第一中学2020-2021学年七年级下学期期中数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题
1．在3.14159，121，39，2
π
中，无理数有（ ） A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
2．下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3．若||5a =，216b =，且点(,)M a b 在第二象限，则点M 的坐标是（ ） A ．(5,4)
B ．(5,4)-
C ．(5,4)--
D ．(5,4)-
4．点P 位于x 轴下方，y 轴左侧，距离x 轴4个单位长度，距离y 轴2个单位长度，那么点P 的坐标是（ ） A ．（4，2）
B ．（-2，-4）
C ．（-4，-2）
D ．（2，4）
5．下列说法：①如果一个实数的立方根等于它本身，这个数只有0或1；②2a 的算术平方根是a ；③8-的立方根是2±；④81的算术平方根是9；其中，不正确的有（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．若20193(2020)(4)2021m n m x n y ---++=是关于x ，y 的二元一次方程，则（ ） A ．2020m =±，4n =±
B ．2020m =-，4n =-
C ．2020m =，
4n = D ．2020m =-，4n =
7．如图，由AB ∥CD ，可以得到（ ）
A ．13∠=∠
B ．24∠∠=
C ．14
∠=∠
D ．180A ABD ∠+∠=︒
8．已知点A 坐标为(5,4)A ，将点A 向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到A '，则A '点的坐标为（ ） A ．(2,0)
B ．(9,1)
C ．(1,1)
D ．(2,1)-
9．将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α=43°，则∠β的度数是（ ）
A ．43°
B ．47°
C ．30°
D ．60°
10．已知32x y =-⎧⎨=-⎩是方程组12ax cy cx by +=⎧⎨-=⎩
的解，则a 、b 间的关系是
( )A ．491b a -= B ．321a b +=
C ．491
b a -=-
D ．941a b +=
11．到x 轴的距离等于5的点组成的图形是（ ） A ．过点(0,5)且与x 轴平行的直线 B ．过点(5,0)且与y 轴平行的直线
C ．分别过点(5,0)和(5,0)-且与y 轴平行的两条直线
D ．分别过点(0,5)和(0,5)-且与x 轴平行的两条直线
12．如图：AB ∥CD ，OE 平分∠BOC ，OF ⊥OE ，OP ⊥CD ，∠ABO ＝40°，则下列结论：①OF 平分∠BOD ；②∠POE ＝∠BOF ；③∠BOE ＝70°；④∠POB ＝2∠DOF ，其中结论正确的序号是（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．①②③④
二、填空题
1364________364_______．
14．将一张长方形纸条ABCD 沿EF 折叠后，ED 与BF 交于G 点，若56EFG ∠=︒，则
BGE ∠的度数是__．
15．如图，AB ∥CD ，EF ∥CD ，CE 平分ACD ∠，114A ∠=︒，则CEF ∠=__．
16．直线AB 平行于x 轴，点(2,3)A -点(,)B x y ，且2AB =，则点B 坐标为__．
17．已知2
(4)20a b a b +-+-+=，则(,)P a b 关于y 轴的对称点的坐标为__．
18．以A 、B 、C 、D 的四个点为顶点的平行四边形，(2,1)A ，(5,1)B ，(1,4)C ，则D 点的坐标为__． 三、解答题 19．计算题：
(1)311
0.091384
-++--；
(2)4(23)2(223)---．
20．解方程组：2
313424()3(2)17
x y x y x y ⎧-=
⎪⎨⎪--+=⎩
21．如图所示，在平面直角坐标系中的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位
ABC 的三个顶点都在格点上．
（1）在网格中画出ABC 向右平移5个单位，向上平移1个单位得到的△111A B C ；
（2）在网格中画出ABC 关于x 轴对称的△222A B C ； （3）在y 轴上画一点P ，使得12C P C P +的值最小．
22．某水果店以4元/千克的价格购进一批水果，由于销售状况良好，该店又再次购进同一种水果，第二次进货价格比第一次每千克便宜了0.5元，所购水果重量恰好是第一次购进水果重量的2倍，这样该水果店两次购进水果共花去了2200元． (1)该水果店两次分别购买了多少元的水果？
(2)在销售中，尽管两次进货的价格不同，但水果店仍以相同的价格售出，若第一次购进的水果有3%的损耗，第二次购进的水果有5%的损耗，该水果店希望售完这些水果获利不低于1244元，则该水果每千克售价至少为多少元？ 23．已知：如图：化简：2222()()()a a b b c a c -++-++．
24．已知：如图1，点E 在四边形ABCD 的边BA 的延长线上，CE 与AD 交于点F ，
1E ∠=∠，B D ∠=∠．
(1)求证：AD ∥BC ；
(2)如图2，若点P 在线段BC 上，点Q 在线段BP 上，且23∠∠=，FM 平分EFP ∠，
420∠=︒，求5∠的度数．
25．在平面直角坐标系中，有点(,0)A m ，(0,)B n ，且m ，n 满足22114
1
n n m n -+--=+．
(1)求A 、B 两点坐标；
(2)如图1，直线l x ⊥轴，垂足为点(1,0)Q ．点P 为l 上一点，且点P 在第四象限，若PAB △的面积为3.5，求点P 的坐标；
(3)如图2，点D 为y 轴负半轴上一点，过点D 作CD ∥AB ，E 为线段AB 上任意一点，以O 为顶点作EOF ∠，使90EOF ∠=︒，OF 交CD 于F ．点G 为线段AB 与线段CD 之间一点，连接GE ，GF ，且1
3
AEG AEO ∠=∠．当点E 在线段AB 上运动时，EG 始终
垂直于GF ，试写出CFG ∠与GFO ∠之间的数量关系，并证明你的结论．
参考答案：
1．C 【解析】 【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】
解：3.14159是有限小数，属于有理数，
11=，是整数，属于有理数，
2
π
，共2个， 故选：C ． 【点睛】
此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001⋯，等有这样规律的数． 2．D 【解析】 【详解】
解：A 、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意； B 、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意； C 、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意；
D 、不能通过其中一个四边形平移得到，需要一个四边形旋转得到，符合题意． 故选D ． 3．B 【解析】 【分析】
根据第二象限的横坐标为负数，纵坐标为正数，结合绝对值的性质以及平方根的定义解答即可． 【详解】
解：点(,)M a b 在第二象限，
0a ∴<，0b >， 又5||a =，216b =，
5a ∴=-，4b =，
∴点M 的坐标是(5,4)-．
故选：B ． 【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(,)++；第二象限(,)-+；第三象限(,)--；第四象限(,)+-． 4．B 【解析】 【详解】
解：∵点P 位于x 轴下方，y 轴左侧，∴点P 在第三象限； ∵距离y 轴2个单位长度，∴点P 的横坐标为﹣2； ∵距离x 轴4个单位长度，∴点P 的纵坐标为﹣4； ∴点P 的坐标为（﹣2，﹣4）．故选B ． 5．D 【解析】 【分析】
分别根据算术平方根的定义、立方根的定义及平方根的定义对各小题进行逐一判断即可． 【详解】
解：①如果一个实数的立方根等于它本身，这个数有0或1或1-，所以①错误； ②2a 的算术平方根是||a ，故②错误； ③8-的立方根是2-，故③错误；
3，故④错误； 所以不正确的有4个． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了立方根，平方根和算术平方根的定义，熟知算术平方根的定义、立方根的定义及平方根的定义是解答此题的关键． 6．D
【解析】 【分析】
二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 【详解】 解：
()()20193202042021m n m x n y ---++=是关于x ，y 的二元一次方程，
∴20191
20200m m ⎧-=⎨
-≠⎩，3140n n ⎧-=⎨+≠⎩
，
解得：2020m =-，4n =． 故选：D ． 【点睛】
此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． 7．A 【解析】 【分析】
直接利用平行线的性质分析得出答案． 【详解】 解：
//AB CD ，
13∠∠∴=（两直线平行，内错角相等），
故选：A ． 【点睛】
此题主要考查了平行线的性质，正确把握平行线的性质是解题关键． 8．C 【解析】 【分析】
根据平移变换与坐标变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，可得答案． 【详解】
解：点A坐标为(5,4)
A，将点A向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到A'，则A'点的坐标为(5—4,4—3)，
即(1,1)，
故选：C．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化中的平移，根据平移的法则解答是解题的关键．
9．B
【解析】
【详解】
如图，延长BC交刻度尺的一边于D点，
∵AB∥DE，
∴∠β=∠EDC，
又∠CED=∠α=43°，
∠ECD=90°，
∴∠β=∠EDC=90°﹣∠CED=90°﹣43°=47°，
10．D
【解析】
【分析】
把
3
{
2
x
y
=-
=-
，
代入
1
{
2
ax cy
cx by
+=
-=
，
即可得到关于,,
a b c的方程组，从而得到结果．
【详解】
由题意得，
321
322
a c
c b
--=
⎧
⎨
-+=
⎩
①
②
，
3,2
⨯⨯
①②得，
963 644
a c
c b
--=
⎧
⎨
-+=
⎩
③
④
-
④③得941
a b
+=，
故选：D．
11．D
【解析】
【分析】
到x轴的距离等于5的点组成的图形是平行于x轴，且到x轴的距离是5的直线，分两种情况解答即可．
【详解】
解：到x轴的距离等于5的点组成的图形是与x轴平行，且到x轴的距离是5的两条直线，∴到x轴的距离等于5的点组成的图形是分别过点(0,5)和(0,5)
-且与x轴平行的两条直线，故选：D．
【点睛】
本题考查了点的坐标意义以及与图形相结合的具体运用，要把点的坐标和图形结合起来求解．
12．A
【解析】
【分析】
根据AB∥CD可得∠BOD=∠ABO=40°，利用平角得到∠COB=140°，再根据角平分线的定义得到∠BOE=70°，则③正确；利用OP⊥CD，AB∥CD，∠ABO=40°，可得∠POB=50°，
∠BOF=20°，∠FOD=20°，进而可得OF平分∠BOD，则①正确；由∠EOB=70°，∠POB=50°，∠POE=20°，由∠BOF=∠POF-∠POB=20°，进而可得∠POE=∠BOF，则②正确；由②可知∠POB=50°，∠FOD=20°，则④不正确．
【详解】
③∵AB∥CD，
∴∠BOD=∠ABO=40°，
∴∠COB=180°-40°=140°，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=1
2
∠COB=
1
2
×140°=70°，
故③正确；
①∵OP⊥CD，
∴∠POD=90°，
又∵AB∥CD，
∴∠BPO=90°，
又∵∠ABO=40°，
∴∠POB=90°-40°=50°，
∴∠BOF=∠POF-∠POB=70°-50°=20°，
∠FOD=40°-20°=20°，
∴OF平分∠BOD，
故①正确；
②∵∠EOB=70°，∠POB=90°-40°=50°，
∴∠POE=70°-50°=20°，
又∵∠BOF=∠POF-∠POB=70°-50°=20°，
∴∠POE=∠BOF，
故②正确；
④由①可知∠POB=90°-40°=50°，
∠FOD=40°-20°=20°，
故∠POB≠2∠DOF，
故④不正确．
故结论正确的是①②③，
故选A．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解题的关键是要注意将垂直、平行、角平分线的定义结合应用，弄清图中线段和角的关系，再进行解答．
13． 2 2
【解析】
根据立方根，平方根的定义进行解答即可得．
【详解】
解：8=，
∴82，
4=，
又∵2(2)4±=，
2=±，
故答案为：2；2±．
【点睛】
本题考查了立方根，平方根，解题的关键是熟记立方根和平方根的定义．
14．112︒##112度
【解析】
【分析】
利用翻折的性质，得DEF GEF ∠=∠，然后根据两直线平行，内错角相等，求得
BGE DEG ∠=∠，DEF EFG ∠=∠，最后由等量代换求得BGE ∠的度数．
【详解】
解：根据翻折的性质，得：DEF GEF ∠=∠，
//AD BC ，
DEF EFG ∴∠=∠，BGE DEG ∠=∠，
56EFG ∠=︒，
22112BGE DEF EFG ∴∠=∠=∠=︒．
故答案为：112︒．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、翻折变换（折叠问题）．正确观察图形，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
15．147︒##147度
【解析】
先根据平行线的性质求出ACD ∠的度数，再由角平分线的定义得出ECD ∠的度数，根据//EF CD 即可得出CEF ∠的度数．
【详解】
解：
//AB CD ， 180A ACD ，
114A ∠=︒，
18011466ACD ∴∠=︒-︒=︒． CE 平分ACD ∠，
1332
ECD ACD ∴∠=∠=︒． //EF CD ，
180CEF ECD ∴∠+∠=︒，
18033147CEF ∴∠=︒-︒=︒．
故答案为：147︒．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．
16．(4,3)-或(0,3)##(0,3)或(4,3)-
【解析】
【分析】
根据平行于x 轴的点的坐标特点解答即可．
【详解】 解：直线AB 平行于x 轴，点(2,3)A -，
3y ∴=，
2AB =，
220x ∴=-+=或224x =--=-，
∴点B 坐标为(4,3)-或(0,3)，
故答案为：(4,3)-或(0,3)．
【点睛】
本题考查了坐标与图形的变化，关键是根据平行于x 轴的点的坐标特点解答．
【解析】
【分析】
直接利用非负数的性质得出a ，b 的值，再利用关于y 轴对称点的性质得出答案．
【详解】
解：()2420a b a b +-+-+=，
∴4020a b a b +-=⎧⎨-+=⎩
， 解得：13
a b =⎧⎨=⎩， 则(,)P a b 关于y 轴的对称点的坐标为(1,3)-．
故答案为：(1,3)-．
【点睛】
此题主要考查了非负数的性质以及关于y 轴对称点的性质，正确得出a ，b 的值是解题关键．
18．(4,4)，(2,4)-，(6,2)-
【解析】
【分析】
分三种情况讨论，由平行四边形的性质可求解．
【详解】
解：设点(,)D x y ，
若AB 是对角线，则12522x ++=，41122
y ++=， 6x ∴=，2y =-，
∴点(6,2)D -；
若AC 为对角线，则21522x ++=，14122
y ++=， 2x ∴=-，4y =，
∴点4()2,D -；
若BC 为对角线，则51222x ++=，11422
y ++=， 4x ∴=，4y =，
综上所述：点D 坐标为(4,4)，(2,4)-，(6,2)-；
故答案为(4,4)，(2,4)-，(6,2)-．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
19．(1)1.3
(2)【解析】
【分析】
（1）应用二次根式的加减法则，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．进行计算即可得出答案； （2）先去括号，合并同类二次根式即可得出答案．
(1)
解：原式(110.3122=-+++
1.3=
(2)
（2）原式=
=
【点睛】
本题主要考查了二次根式的加减，熟练掌握二次根式的加减运算法则进行计算是解决本题的关键．
20． 1.52
x y =-⎧⎨=-⎩ 【解析】
【分析】
先化简，然后用加减消元法求解即可.
【详解】
化简，得
8962717x y x y -=⎧⎨+=-⎩①②
， ②×4-①，得
37y=-74,
∴y=-2，
把y=-2代入②，得
2x-14=-17,
x=-1.5,
∴ 1.52x y =-⎧⎨=-⎩
. 【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.
21．（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析
【解析】
【分析】
（1）分别作出A ，B ，C 的对应点1A ，1B ，1C 即可；
（2）分别作出A ，B ，C 的对应点2A ，2B ，2C 即可；
（3）连接12C C 交y 轴于点P ，点P 即为所求作．
【详解】
解：（1）如图，△111A B C 即为所求作，
（2）如图，△222A B C 即为所求作，
（3）如图，点P 即为所求作．
【点睛】
本题考查直角坐标系作图-轴对称变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22．(1)水果店两次分别购买了800元和1400元的水果
(2)6元
【解析】
【分析】
（1）设该水果店两次分别购买了x 元和y 元的水果．根据“购进同一种水果，第二次进货价格比第一次每千克便宜了0.5元，所购水果重量恰好是第一次购进水果重量的2倍”、“两次购进水果共花去了2200元”列出方程组并解答；
（2）设该水果每千克售价为a 元，则由“售完这些水果获利不低于1244元”列出不等式并解答．
(1)
解：设该水果店两次分别购买了x 元和y 元的水果．根据题意，得
2200240.54
x y y x +=⎧⎪⎨=⨯⎪-⎩， 解得8001400x y =⎧⎨=⎩
， 经检验，8001400x y =⎧⎨=⎩
符合题意． 答：水果店两次分别购买了800元和1400元的水果．
(2)
解：第一次所购该水果的重量为8004200÷=（千克）．
第二次所购该水果的重量为2002400⨯=（千克）．
设该水果每千克售价为a 元，根据题意，得
()()20013%40015%80014001244a -+---≥⎡⎤⎣⎦．
解得6a ≥．
答：该水果每千克售价至少为6元．
【点睛】
本题考查了方程组的应用和不等式的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
23．a -
【解析】
【分析】
根据数轴上点的位置判断出二次根式里边式子的正负，利用二次根式的非负性化简，去括号合并即可得到结果．
【详解】
解：由已知0a b <<，0b c -<，0a b +<，0a c +<，
则原式a a b b c a c a =-++-+--=-．
【点睛】
此题考查二次根式的性质与化简，熟练掌握其性质是解本题的关键．
24．(1)见解析
(2)40°
【解析】
【分析】
（1）由1E ∠=∠可判定//BE CD ，得到D EAD ∠=∠，等量代换得出B EAD ∠=∠，即可判定//AD BC ；
（2）根据角平分线的定义得到6742∠+∠=∠+∠，根据平行线的性质得出473∠+∠=∠，由23∠∠=，得出624∠=∠，再由对顶角相等即可得解．
(1)
证明：1E ∠=∠，
//BE CD ∴，
D EAD ∴∠=∠，
B D ∠=∠，
B EAD ∴∠=∠，
//AD BC ∴；
(2)
解：如图，
FM 平分EFP ∠，
EFM PFM ∴∠=∠，
即6742∠+∠=∠+∠，
由（1）知，//AD BC ，
473∴∠+∠=∠，
23∠=∠，
67474∴∠+∠=∠+∠+∠，
624∴∠=∠，
65∠=∠，
524∴∠=∠，
420∠=︒，
540∴∠=︒．
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，利用数形结合的思想是解题的关键． 25．(1)()()2,0,0,1A B -
(2)()1,2P -
(3)2GFO GFC ∠=∠，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据二次根式有意义的条件，求出n 的值，再求出m 的值即可解决问题； （2）如图1中，设(1,)P m ，作BM l ⊥于M ，连接AM ．根据ΔΔΔΔPAB ABM AMP PMB S S S S =+-，构建方程即可解决问题；
（3）利用平行线的性质，以及四边形内角和定理即可解决问题；
(1) 解：221141
n n m n -+--=+． 又2
21010n n ⎧-⎨-⎩
， 1n ∴=±，
10n +≠，
1n ∴=，2m =-，
(2,0)A ∴-，(0,1)B ．
(2)
解：如图1中，设(1,)P m ，作BM l ⊥于M ，连接AM ．
ΔΔΔΔPAB ABM AMP PMB S S S S =+-，
∴()()111111311 3.5222
m m ⨯⨯+⨯-⨯-⨯-⨯=， 解得2m =-，
(1,2)P ∴-．
(3)
解：结论：2GFO GFC ∠=∠．
理由：如图2中，设AEG x ∠=，GFC y ∠=，
答案第16页，共16页 ∵13
AEG AEO ∠=∠ ∴2GEO x ∠=．
90EGF EOF ∠=∠=︒，
180GEO GFO ∴∠+∠=︒，
//AB CD ，
90AEG GFC EGF ∴∠+∠=∠=︒，
90x y ∴+=︒，2180x GFO +∠=︒，
()1802902GFO y y ∴∠=︒-︒-=，
2GFO GFC ∴∠=∠．
【点睛】
本题考查一次函数综合题、平行线的性质、四边形内角和定理、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用分割法求三角形面积，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．。