2018年高考数学(理)一轮复习课时达标第九章计数原理与概率、随机变量及其分布59Word版含答案

课时达标 第59讲
[解密考纲]古典概型在高考中常以选择题或填空题的形式出现，有时与集合、函数、不等式等知识综合，以解答题形式出现．
一、选择题
1．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数b ，则a <b 的概率为( D )
A ．45
B ．35
C ．25
D ．15
解析：从1,2,3,4,5中随机选取一个数的取法有5种，从1,2,3中随机选取一个数的取法有3种，所以a ，b 的可能结果有5×3＝15种，其中a <b 的结果有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3种．所以所求概率为P ＝315＝1
5
，故选D ．
2．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过4的概率记为p 1，点数之和大于8的概率记为p 2，点数之和为奇数的概率记为p 3，则( A )
A ．p 1<p 2<p 3
B ．p 2<p 1<p 3
C ．p 1<p 3<p 2
D ．p 3<p 1<p 2
解析：随机掷两枚质地均匀的骰子，共有36种不同结果，其中向上的点数之和不超过4的有6种不同结果；点数之和大于8的有10种不同结果；点数之和为奇数的有18种不同结果，故p 1＝636＝16，p 2＝1036＝518，p 3＝1836＝1
2
，故p 1<p 2<p 3.
3．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( A )
A ．1
3
B ．12
C ．23
D ．34
解析：甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9(种)，其中甲、乙两人参加同—个小组的情况有3种，故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P ＝39＝1
3
.
4．从1,2,3,4这四个数字中一次随机取两个，则取出的这两个数字之和为偶数的概率是( B )
A ．16
B ．13
C ．12
D ．15
解析：从1,2,3,4这四个数字中一次随机取两个，共有6种情况，其中取出的这个数字之和为偶数的情况有(1,3)，(2,4)，共2种，所以P ＝26＝1
3
.
5．把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为m ，第二次出现的点数记为n ，方程
组⎩
⎪⎨⎪⎧
mx ＋ny ＝3，2x ＋3y ＝2只有一组解的概率是( D ) A ．23
B ．3
4
C ．15
D ．1718
解析：方程组只有一组解，除了⎩⎪⎨
⎪⎧
m ＝2，
n ＝3，
⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＝4，n ＝6这两种情况之外都可以，故所求概率P ＝6×6－26×6
＝17
18.
6．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，若|a －b |≤1，就称甲、乙“心相近”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心相近”的概率为( D )
A ．1
9
B ．29
C ．718
D ．49
解析：试验包含的基本事件共有6×6＝36种结果．其中满足题设条件的有如下情况： 若a ＝1，则b ＝1,2；若a ＝2，则b ＝1,2,3； 若a ＝3，则b ＝2,3,4；若a ＝4，则b ＝3,4,5 ； 若a ＝5，则b ＝4,5,6；若a ＝6，则b ＝5,6. 共16种．故他们“心相近”的概率为P ＝1636＝4
9.
二、填空题
7．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为23
.
解析：设2本数学书分别为A ，B ，语文书为C ，则所有的排放顺序有ABC ，ACB ，BAC ，BCA ，CAB ，CBA ，共6种情况，其中数学书相邻的有ABC ，BAC,CAB ，CBA ，共4种情况，故2本数学书相邻的概率P ＝46＝23
.
8．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为1
3
.
解析：甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的所有可能情况为(红，白)，(白，红)，(红，蓝)，(蓝，红)，(白，蓝)，(蓝，白)，(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共9种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．故所求概率为P ＝39＝13
.
9．(2017·山东潍坊模拟)如图，茎叶图表示甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中的得分，其中一个数字被污损，则甲的平均得分不超过乙的平均得分的概率为710
.
解析：由茎叶图知甲在五场比赛中的得分总和为18＋19＋20＋21＋22＝100；乙运动员在已知成绩的四场比赛中得分总和为15＋16＋18＋28＝77，乙的另一场得分是20到29十个数字中的任何一个的可能性是相等的，共有10个基本事件，而事件“甲的平均得分不超过乙的平均得分”就包含了其中的23,24,25,26,27,28,29共7个基本事件，所以甲的平均得分不超过乙的平均得分的概率为710
.
三、解答题
10．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n <m ＋2的概率．
解析：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个．
从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有{1,2}，{1,3}两个．因此所求事件的概率P ＝26＝13
.
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果(m ，n )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．
又满足条件n ≥m ＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个， 所以满足条件n ≥m ＋2的事件的概率为P 1＝3
16.
故满足条件n <m ＋2的事件的概率为1－P 1＝1－316＝13
16
.
11．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，令平面向量a ＝(m ，n )，b ＝(1，－3)．
(1)求使得事件“a ⊥b ”发生的概率； (2)求使得事件“|a |≤|b |”发生的概率．
解析：(1)由题意知，m ∈{1,2,3,4,5,6}，n ∈{1,2,3,4,5,6}， 故(m ，n )所有可能的取法共36种．
使得a ⊥b ，即m －3n ＝0，即m ＝3n ，共有2种：(3,1)，(6,2)， 所以事件a ⊥b 的概率为236＝1
18
.
(2)|a|≤|b|，即m 2＋n 2≤10，此时共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)6种使得|a|≤|b|，其概率为636＝16
.
12．一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b ，c .
(1)z ＝(b －3)2＋(c －3)2，求z ＝4的概率；
(2)若方程x 2－bx －c ＝0至少有一根x ∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．
解析：(1)因为是投掷两次，因此基本事件(b ，c )：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16个．
当z ＝4时，(b ，c )的所有取值为(1,3)，(3,1)， 所以P (z ＝4)＝216＝1
8.
(2)①若方程一根为x ＝1，
则1－b －c ＝0，即b ＋c ＝1，不成立． ②若方程一根为x ＝2，
则4－2b －c ＝0，即2b ＋c ＝4，所以⎩
⎪⎨⎪⎧ b ＝1，
c ＝2.
③若方程一根为x ＝3，
则9－3b －c ＝0，即3b ＋c ＝9，所以⎩
⎪⎨⎪⎧
b ＝2，
c ＝3.
④若方程一根为x ＝4，
则16－4b －c ＝0，即4b ＋c ＝16，所以⎩
⎪⎨⎪⎧
b ＝3，
c ＝4.
由①②③④知，(b ，c )的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)． 所以方程为“漂亮方程”的概率为P ＝3
16.。