数学：人教版九年级上 22.3 实际问题与一元二次方程(疑难分析)

22.3 实际问题与一元二次方程
疑难分析
1．一元二次方程的应用是一元一次方程应用的继续和发展,能用一元一次方程解的应用题,一般可以用算术方法求解.而用一元二次方程解的应用题,一般不能用算术方法求解.
2．列一元二次方程解应用题的一般步骤：
（1）审:认真审题，分清题意,弄清已知和未知,寻找相等关系;
（2）设:就是设未知数,分直接设未知数和间接设未知数,所谓直接设未知数就是问什么设什么,反之就是间接设未知数,到底选择何种方式设未知数,要以有利于列出方程为准则.
（3）列:就是根据题目中的已知量和未知量之间的关系列出方程.
（4）解:就是求出所列方程的解.列一元二次方程解应用题时,一般会产生两个解,必须检验每个解是否符合题意和生活实际,再正确取舍.
（5）答:就是写出答案．在答之前应对解得的方程进行检验,舍去不符合实际意义的解.
3.列一元二次方程解应用题,关键是正确地找到等量关系.如何迅速地探求出相等关系列出方程呢?
(1)要正确熟练地作语言与式子的互化;
(2)充分运用题目中所给的条件;
(3)要善于发现利用间接的,潜在的等量关系;
(4)对一般应用题,可以从以下几个方面着手寻找相等关系;
①利用题目中的关键语句作为相等关系;
②利用公式、定理作为等量关心;
③从生活、生产实际经验中发现等量关系.
例题选讲
例 1 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
解：设比赛组织者应邀请x个队参赛.x个队每两个队之间都要比赛一场总共比赛的场
次为1
(1)
2
x x 场.依题意有:
B
1(1)742
x x -=⨯ 整理得:2
560x x --=
解方程得:128,7x x ==- 根据问题的实际意义,27x =-不符合题意. ∴8x =
答: 比赛组织者应邀请8个队参赛.
评注：在近年的中考试题中,常常出现一些贴近生活,生产的实际问题,解答这些问题时,等量关系一般从已知公式或题目中的关键词句“译”出来.实际问题的解不仅要满足所列方程,还应该符合题目中的每一个条件.
例2如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=6cm ，BC=8cm ，点P 从点A 出发沿AB 边向点B 以1cm/秒的速度移动，点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm/秒的速度移动.
(1)如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发,经过多长时间,使△PBQ 的面积为8cm 2？
(2)如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发, 当P 、Q 两点运动几秒时，PQ 有最小值，并求这个最小值.
解：(1)如图,设经过x 秒后使得使△PBQ 的面积为8cm 2.则PB (6-x)cm,BQ 的长度为2xcm,根据题意,可列方程: 1(6).282
x x -= 解之得122,4x x == 经过2秒,点P 到离B 点4cm 处,点Q 到离B 点4cm 处;经过4秒,点P 到离B 点2cm 处,点Q 到离B 点8cm 处,即经过2秒或者4秒, 使△PBQ 的面积为8cm 2.
(2)设经过y 秒, .则PB 的长度为(6-y)cm,BQ 的长度为2ycm,根据题意,可列方程: 222PQ PB BQ =+22(6)(2)y y =-+
251236y y =-+261445()55
y =-+ 显然,当65y =时, PQ 有最小值,最小值为PQ 2=1445
,即
PQ=±,依据题意: ∴
评注：像本例这一类动点问题一般要考查代数知识与动态几何知识的综合运用.解题的关键是要有动态观点,弄清点的运动特征.动态问题,做静态分析,必要时分类讨论,列出方程.。