大学物理10.6 磁场对载流线圈的作用Xiao

10.6
M
M m B
南 京 理 工

大 学
矢量式 mB sin m B
应 用 物 理 系
IB sin dS IB sin dS IBS sin
dM
磁场对载流线圈的作用 磁力的功 M mB sin 讨论: M m B 1）n 方向与 B 相同 2）方向相反 3）方向垂直 稳定平衡 不稳定平衡 力矩最大 . . . . .
dF Idl B sin IBdl cos
y
B
J
把线圈分成左右两半： 右半边: 受力垂直于纸面向里
cos 0 , dF 0
I
Q
z
用 物 理
R
o P
Id l

B
K x
左半边: 受力垂直于纸面向外
cos 0 , dF 0
南 京 理 工 大 学 应
C C’
F BIl A Fl AA' BIll AA'
BIS
A I
南 京 理 工 大 学
磁力所做的功，等于电 流与穿过电流回路的磁 通量的增量的乘积。
应 用 物 理 系
10.6
磁场对载流线圈的作用
磁力的功
2 .载流线圈在磁场中转动时磁力矩的功 匀强磁场B, 线圈转动过程中, 电流保持不变. 磁力矩 M BIS sin d 0 功 dA Md BIS sin d Id ( BS cos )
10.6 磁场对载流线圈的作用 磁力的功
南
京
理
工
大
学
应
用
物
理
系
10.6
磁场对载流线圈的作用
磁力的功
一、磁场对载流线圈的力矩作用 磁场对载流线圈的力矩作用，是制造各种直流电机、动 圈式电压电流表的基本原理。
N
I
S
南
京
理
工
大
学
应
用
物
理
系
10.6
磁场对载流线圈的作用
磁力的功
F1
考虑均匀磁场中的刚性矩形平面 载流线圈: ad l1 ab l 2
10.6
磁场对载流线圈的作用
磁力的功
I
a I1
b
l
Fab

L
I1drB ln

a b
a
I1dr
0 I
2r
a
d
0 II1
2 0 II1
ab a ab
o
b
c r Fcd
2
ln
a
Fab、Fcd 大小相等，方向相反。 两者合力为0。 0 II1l b F bc向右， da向左。F合＝Fda Fbc F 2 a(a b)
圆环所受磁力矩：
dM dm B sin 90 ws B r dr

M
圆盘所受总磁力矩：
M
s
dM
4


4
R
ws B r dr
3
B
0

ws B R
mB
方向为
南
京
理
工
大
学
应
用
物
理
系
10.6
磁场对载流线圈的作用
磁力的功
例2 如图半径为R=0.20m，电流为I=20A，可绕轴旋转 的圆形载流线圈放在均匀磁场中，磁感应强度的大小 为B=0.08T，方向沿 x 轴正向.问线圈受力情况怎样？ 线圈所受的磁力矩又为多少？ 解: 在圆电流上任取一电流元， 其受力
南 京 理 工 大 学 应
a(b)
O


F2
n
B
相互抵消。
用 物 理 系
10.6
'
磁场对载流线圈的作用
F 2 F 2
磁力的功
F1
ab和cd边受到安培力:
F 2 F 2 BIl 2 F2 与 F2' 大小相等方向相反，
d
l1
a
F2
l2
不在一条直线上，不能抵消， 为一对力偶，产生力矩。
(3) 由于m // B, M 0
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二、磁力的功
磁场对载流线圈的作用
磁力的功
1 .载流导线在磁场中运动 时磁力做的功
匀强磁场B, 载流闭合回路, lAC=l 导线移动过程中，电流保 持不变.

B

A A’
l
F F




系
10.6
磁场对载流线圈的作用
/2
/2
磁力的功
y
线圈右半边所受的总力:
F PKJ
B
dF



IBdl cos
J
/2
/2
IBR cos d 2 IBR
I
Q o
R
Id l

08 0 . 2 ( N )
I
a I1 a d
b
(1) d m BdS
m
a b
0 I
2r
2r
ldr
l
ldr
0 Il
2
ln
ab a
a
o
南
b
c
(2) Fbc BI 1l
0 II1l
2 (a b)
r
理 工 大 学 应 用 物
Fda BI 1l
京 理
0 II1l
2a
系
0 . 64 N
3 / 2 /2
方向为
IBdl cos
k
z
线圈左半边所受的总力:
F JQP
dF
3 / 2 /2


FPKJ 与 FJQP 大小相等，
IBR cos d 2 IBR
0 . 64 N
南 京 理
方向为
工
k
学 应
方向相反，但不在一条 线上，形成力矩, 转轴 为OY。
用 物 理 系
大
10.6
磁场对载流线圈的作用
磁力的功
y
B
线圈所受的磁力矩: 以 OY 为轴，电流元 Idl 所受磁力矩：
d M x dF I d lBx cos
J
x R cos , d l R d
I
Q
j
R o P
Id l

B
d 整个线圈所受的磁力矩：
Id
F I
ˆ d n
ˆ n '
F
B
当线圈从 1 2 时，对应的磁通量由 1 2 则磁力矩的功：（I 不变）
A

南
2
1
Id I
京 理 工 大 学 应 用 物 理 系
10.6
一般结论：
磁场对载流线圈的作用
磁力的功
可以证明，在均匀磁场中，对任意形状的闭合载流回 路,不论是改变位置还是改变形状，磁力或磁力矩作的 功都等于电流与磁通量的增量的乘积
M 0
i 1
线圈既有有平动，又有转动
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10.6
磁场对载流线圈的作用
磁力的功
例1. 一半径为 R 的薄圆盘, 放在磁感应强度为 B 的均匀 磁场中, B 的方向与盘面平行, 如图所示, 圆盘表面的电 荷面密度为 s , 若圆盘以角速度 w 绕其轴线转动, 试求圆 盘的磁矩和作用在圆盘上的磁力矩。 w 解：取半径为 r, 宽为dr的圆环。 dr 圆环带电量： dq s 2 rdr s R 转动形成圆电流： B
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磁场对载流线圈的作用
磁力的功
若是非均匀磁场中有一矩形载流线圈MNOP
ad l1 ab l 2
' F1
一般情况下： ' F1 F 1
d
a
F2
I
b
F1

' F2
B
' F2 F2
c n
F

Fi 0
规定：线圈法向与电流满足右手 定则。 bc和ad 边受到安培力:
F1 BIl 1 sin
d
l1
a
F2
l2
I
F1

c n
F2
F2
B
b
F1 BIl 1 sin( ) F1
'
l1

d(c)
F1 F1
F1 与 F1' 作用在一条直线上，
dI dq T dq w 2
2
ws rdr
圆环的磁矩：dm r dI ws r 3 dr 方向沿轴线向上 圆盘的总磁矩：m
南 京 理

工
dm
大

R
ws r dr
3
1 4
物
4 ws R 方向向上
0
学
应
用
理
系
10.6
磁场对载流线圈的作用
3
磁力的功
w
dr
R
10.6
+ + +
+ +
+
+ + + + + + + F+ + + + + + + + + +B+
I
. I . . . .
F
. .
. .
I
F
F
.
.
0 ,M 0

. . . .B . B π π , M 0 , M M max 2
如果外界的扰动使线圈 如果外界的扰动使线 线圈受力矩最大. 稍有偏离，磁场的力矩 圈稍有偏离，磁场的 会使它回到平衡位置. 力矩会使它继续偏转.
线圈受到的磁力矩大小为： 力矩公式： M r F
M 2 F2 l1 2 cos BIl 2 l1 cos
I
F1

c n
F2
F2
B
b
l1 2 cos
l1

d(c)
a(b)
O


BIS cos BIS sin
南 京 理 工 大 学 应 用
I
n B 0
1 . 57 10
4
Am
2
30
磁力矩
M m B, M mB sin 30
0
1.57 10 N m
南 京 理 工 大 学 应 用 物 理 系
4
(2) 线圈由图示位置转到平衡位置时磁力的功
A NI ( m 2 m1 )
m1 BS cos 30
南 京 理 工 大 学
线圈的磁矩：m IS I R
2
M mB B Bi
与前面矩形线圈推导一致
应 用 物 理 系
10.6
磁场对载流线圈的作用
磁力的功
例3. 无限长直导线（I）与abcd 线圈（I1）共面。求（1） abcd 回路中的φm。（2）若abcd 回路中通电I1，求四边 受的力及线圈如何运动？磁力矩等于多少？ 解： 0 I
2 2
B
I ( BS cos 0 BS cos 90 ) IBS 3 . 14 ( J )
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例2. 一直径为0.02m的圆形线圈共5匝，载有电流0.1A， 放在B=2T的均匀磁场中，如图所示，求（1）线圈在图 示位置受到的磁力矩；（2）线圈由图示位置转到平衡 位置时磁力的功；（3）线圈由图示位置反转1800，磁力 矩做的功。 解： (1)线圈磁矩 2 m NIS NI R
M NISB sin mB sin
考虑方向：
南 京
M mB
工 大

力矩方向：四指从 m 右旋到 B ,大拇指的指向。
理 学 应 用 物 理 系
磁场对载流线圈的作用 磁力的功 此公式具有普遍意义，适用于 M m B 均匀磁场中任意形状的平面线 圈，也适用于带电粒子沿闭合 回路的运动或自旋磁矩在磁场 I I 中受的力矩。 说明：任意形状的平面线圈,可 以等效成许多小矩形电流组成. 是平面线圈 所有小磁矩的方向一致.
d M IBR
2
2
cos
2
K x
z
M IBR

2π
cos d IB R
2
2
2
方向为
0
20 . 0 0 . 08 0 . 2 ( N m ) 0 . 2 N m
2 矢量式： m IS k I π R k
2 M IB π R j m B
A I
若在上述过程中，电流发生变化：
A

2
1
Id
南
京
理
工
大
学
应
用
物
理
系
10.6
磁场对载流线圈的作用
磁力的功
例1.半径R＝0.1m的圆形闭合线圈，载有电流 I＝10A， 放在B＝10T的均匀磁场中，磁场方向与线圈平面平行， 求:1）线圈磁矩的大小和方向；2）线圈所受磁力矩的 大小和方向；3）在磁力作用下，线圈平面绕过O点的竖 直轴转过900，磁力矩做的功。 解：(1) m IS I R 0 . 314 A m 方向向外 (2) M mB BI R 2 3.14 A m2 I 方向向上 (3) A I
F2
n
B
物
理
系
10.6
磁场对载流线圈的作用
磁力的功
F1
如果为N匝平面线圈： M NBIS sin
定义：磁矩
大小：m NIS
m NIS n
F2
d
l1
a
l2
n ：线圈法线方向单位矢量.
I
F1

c n
F2
B
b
方向: 线圈正法线方向； 单位：安培· 2 米
0
I
n'
m 2 BS cos 0
30
n B 0
A NIBS (1 cos 30 )
0
4.2 10
5
J
0
(3) 线圈由图示位置反转180o，磁力矩做的功。
m1 BS cos 30 m 2 BS cos( 30) BS cos 30