(全国通用)2018年高考数学 考点一遍过 专题12 导数的应用(含解析)文

考点12导数的应用
1．了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数不超过三次）.
2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数不超过三次）.
3．会用导数解决实际问题.
一、导数与函数的单调性
一般地，在某个区间(a ,b )内：
（1）如果()0f x '>，函数f (x )在这个区间内单调递增; （2）如果()0f x '<，函数f (x )在这个区间内单调递减; （3）如果()=0f x '，函数f (x )在这个区间内是常数函数．
注意：（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号； （2）在某个区间内，()0f x '>(()0f x '<)是函数f (x )在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数3
()f x x =在定义域(,)-∞+∞上是增函数，但
2()30f x x '=≥.
（3）函数f (x )在(a ,b )内单调递增(减)的充要条件是()0f x '≥(()0f x '≤)在(a ,b )内恒成立，且()f x '在(a ,b )的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有()0f x '=,不影响函数f (x )在区间内的单调性. 二、利用导数研究函数的极值和最值 1．函数的极值
一般地，对于函数y =f (x )，
（1）若在点x =a 处有f ′(a )=0，且在点x =a 附近的左侧()0f 'x <，右侧()0f 'x >，则称x=a 为f (x )的极小值点，()f a 叫做函数f (x )的极小值.
（2）若在点x =b 处有()f 'b =0，且在点x=b 附近的左侧()0f 'x >，右侧()0f 'x <，则称x=b 为f (x )的极大值点，()f b 叫做函数f (x )的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 2．函数的最值
函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间[,]a b 上函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，求()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求()f x 在(,)a b 内的极值；
（2）将函数()f x 的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 3．函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间[,]a b 的整体而言； （2）在函数的定义区间[,]a b 内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值只有一个(或者没有)；（3）函数f (x )的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 三、生活中的优化问题
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.导数是求函数最值问题的有力工具. 解决优化问题的基本思路是：
考向一利用导数研究函数的单调性
1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式
()0f x '>（()0f x '<）在给定区间上恒成立．一般步骤为：
（1）求f ′(x )；
（2）确认f ′(x )在(a ,b )内的符号；
（3）作出结论，()0f x '>时为增函数，()0f x '<时为减函数．
注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．
2．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集R 可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点. 3．由函数()f x 的单调性求参数的取值范围的方法
（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上()0f x '≥(或
()0f x '≤)(()f x '在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化
为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；
（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是()0f x '>(或()0f x '<)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；
（3）若已知()f x 在区间I 上的单调性，区间I 中含有参数时，可先求出()f x 的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.
4．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解.
典例1已知函数3
2
2
()4361,,f x x tx t x t x =+-+-∈R 其中t ∈R . （1）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）当0t ≠时，求()f x 的单调区间.
【解析】（1）当1t =时，3
2
()436,(0)0,f x x x x f =+-=
2()1266,(0)6f x x x f ''=+-=-，
所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6y x =-. （2）2
2
()1266,f x x tx t '=+-令()0f x '=，解得x t =-或2
t
x =. 因为0t ≠，所以分两种情况讨论： ①若0t <，则
2
t
t <-. 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：
所以()f x 的单调递增区间是(,)2t -∞,(,)t -+∞;()f x 的单调递减区间是(,)2
t t -. ②若0t >，则
2
t
t >-. 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：
所以()f x 的单调递增区间是(,)t -∞-，(,)2t
+∞；()f x 的单调递减区间是(,)2
t t -. 典例2设函数3
2
().f x x ax bx c =+++
（1）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围； （2）求证：230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.
综上所述，若函数()f x 有三个不同零点，则必有24120a b =->∆． 故230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要条件．
当4a b ==，0c =时，230a b ->，()2
32()442f x x x x x x =++=+只有两个不同零点，所以230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件． 因此230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件．
1．已知函数ln ()x
f x x a
=
+在1x =处的切线方程为20x y b -+=． （1）求实数a b ，的值； （2）若函数2
1()()2
g x f x x kx =+-，且()g x 是其定义域上的增函数，求实数k 的取值范围．
考向二利用导数研究函数的极值和最值
1．函数极值问题的常见类型及解题策略
（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．
（2）求函数()f x 极值的方法： ①确定函数()f x 的定义域． ②求导函数()f x '． ③求方程()0f x '=的根．
④检查()f x '在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果()f x '在这个根的左、右两侧符号不变，则()f x 在这个根处没有极值．
（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数()f x '，求方程()0f x '=的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围. 2．求函数f (x )在a ,b ]上最值的方法
（1）若函数f (x )在a ,b ]上单调递增或递减，f (a )与f (b )一个为最大值，一个为最小值． （2）若函数f (x )在区间(a ,b )内有极值，先求出函数f (x )在区间(a ,b )上的极值，与f (a )、
f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
（3）函数f (x )在区间(a ,b )上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点． 注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.
（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定. 3．利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，()f x a ≥恒成立，只需min ()f x a ≥即可；
()f x a ≤恒成立，只需max ()f x a ≤即可.
（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.
典例3（2017北京文科）已知函数()e cos x
f x x x =-． （1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 在区间π
[0,]2
上的最大值和最小值．
所以()h x 在区间π[0,]2
上单调递减.
所以对任意π(0,]2
x ∈有()(0)0h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π[0,]2
上单调递减.
因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22
f =-
. 【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点是需要两次求导数，因为通过()f x '不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设
()()h x f x '=，再求()h x '，一般这时就可求得函数()h x '的零点，或是()0h x '>或()0
h x '<恒成立，这样就能知道函数()h x 的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断()y f x =的单调性，最后求得结果.
典例4已知函数()ln f x x x =． （1）求函数
的单调区间和极值；
（2）若()4
f x m k m
≥+-对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）函数的定义域为
，()1ln f x x '=+， 令
，得1e x >
；令，得10e x <<
． 故当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，
单调递减；当1,e
x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时，
单调递增．
故当1e
x =
时，取得极小值，且()1111
=ln e e e e
f x f ⎛⎫=
=- ⎪⎝⎭
极小值，无极大值． （2）由（1）知，()min 1
e
f x =-． 要使()4
f x m k m
≥+-对恒成立，只需()min 4
f x m k m
≥+
-对恒成立，
即14e m k m -
≥+-，即41
e
m k m +≤-对恒成立，
令()4
g m m m
=+，则()222
441m g m m m -'=-=， 当
时，
，所以
在
上单调递增，
故()()max 4295555
g m g ==+=， 要使41e m k m +≤-对恒成立，只需()max 1
e
k g m -
≥， 所以2915e
k ≥
+，
即实数的取值范围是291,5e ⎡⎫
++∞⎪⎢⎣⎭
．
2．设2
()ln (21),f x x x ax a x a =-+-∈R . （1）令()()x x g f '=，求()g x 的单调区间；
（2）已知()f x 在1x =处取得极大值.求实数a 的取值范围.
考向三（导）函数图象与单调性、极值、最值的关系
1．导数与函数变化快慢的关系：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些.
2．导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与x 轴的交点的横坐标为函数的极值点.
典例5设函数2
()f x ax bx c =++（a ，b ，c ∈R ），若函数()e x
y f x =在1x =-处取得极
值，则下列图象不可能为()y f x =的图象是
【答案】D
对于A,由图可得0,(0)0,(1)0a f f >>-=，适合题意； 对于B,由图可得0,(0)0,(1)0a f f <<-=，适合题意；
对于C, 对于D,D.
3．设函数()f x 在定义域内可导，()f x 的图象如图所示，则导函数()f x '的图象可能为
考向四 生活中的优化问题
1．实际生活中利润最大，容积、面积最大，流量、速度最大等问题都需要利用导数来求解相应函数的最大值.若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左增右减，则此时唯一的极大值就是最大值.
2．实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值.用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量x 的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围．
典例6（2015江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为l 1,l 2,山区边界曲线为C ,计划修建的公路为l .如图所示,M ,N 为C 的两个端点,测得点M 到l 1,l 2的距离分别为5千米和40千米,点N 到l 1,l 2的距离分别为20千米和2.5千米.以l 2,l 1所在的直线分别为
x ,y 轴,建立平面直角坐标系xOy .假设曲线C 符合函数2y a
x b
=
+(其中a ,b 为常数)模型.
（1）求a ,b 的值；
（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点,P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t ),并写出其定义域; ②当t 为何值时,公路l 的长度最短?求出最短长度.
（2）①因为函数2(1000520)
y x x =
≤≤,所以点P 的坐标为(t ,2
1000
t ),
设在点P 处的切线l 交x ,y 轴分别于点A ,B , 因为函数21000y x =的导数为32000y x '=-,所以切线l 的斜率为3
2000
|x t
y t ='=-，所以切线l 的方程为23
10002000
()y x t t t -=--, 由此得)(
3,02t A ,2300,(00
)B t
.
所以[5,20]()t f t =∈=.
②设62
4
410()g t t t ⨯=+,则6
5
1610()2g t t t ⨯'=-.令()0g t '=,解得t =
当5,(t ∈时,()0g t '<,()g t 是减函数；当(20)t ∈时,()0g t '>,()g t 是增函数.
所以当t =,函数()g t 取得极小值,也是最小值,此时min ()300g t =,min ()f t =.
所以当t =,公路l 的长度最短,最短长度为.
4．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．
（1）将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；
（2）讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．
1．设()sin f x x x =-，则()f x
A ．既是奇函数又是减函数
B ．既是奇函数又是增函数
C ．是有零点的减函数
D ．是没有零点的奇函数
2上单调递减，则实数a 的取值范围是
A
C 3．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数(1)()y x f x =-'的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是
A ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f
B ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f
C ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -
D ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f
4．若直线x t =分别与函数()e 1x
f x =+的图象及()2
g x x =的图象相交于点A 和点B ，
A ．2
B ．3
C ．42ln 2-
D ．32ln 2-
5．若32
()=2
42()()3
f x m n x mx m x n ∈++-+R ，
在R 上有两个极值点，则m 的取值范围为 A ．(1,1)-
B ．(1,2)
C ．(,1)(2,)-∞+∞U
D ．(,1)(1,)-∞-+∞U
6．设()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，
()()
()()f x g x f x g x ''+>，且(3)0f -=，则不等式()()0f x g x <的解集是
A ．(3,0)(3,)-+∞
B ．(3,0)(0,3)-
C ．(,3)
(3,)-∞-+∞D ．(,3)(0,3)-∞-
7．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x ≥时，()s i n f x x x =-.若不等式
2(4)(2)f t f m mt ->+对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是
A ．(,-∞
B ．(0)
C ．(,0)
(2,)-∞+∞D ．(,(2,)-∞+∞
8．已知函数3
()f x ax bx c =++在2x =处取得极值16c -. （1）求a 、b 的值；
（2）若()f x 有极大值28，求()f x 在[3,3]-上的最小值.
9．已知函数()2
f x x x =-，()e 1x
g x ax =--（e 为自然对数的底数）．
（1）讨论函数()g x 的单调性；
（2）当0x >时，()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．
10．设函数2()e
ln x
f x a x =-.
（1）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数； （2）证明：当0a >时，2()2ln f x a a a
≥+.
1．（2016四川文科）已知a 为函数()3
–12f x x x =的极小值点，则a =
A ．–4
B ．–2
C ．4
D ．2
2．（2017浙江）函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是
3．（2016新课标全国Ⅰ文科）若函数1()sin 2sin 3
f x x x a x =-+在(,)-∞+∞上单调递增，
则a 的取值范围是 A ．[1,1]
-
B ．1[1,]3-
C ．11[,]
33-
D ．1
[1,]3
--
4．（2017浙江）已知函数f (x )=（x e x -（1
2
x ≥
）． （1）求f (x )的导函数；
（2）求f (x )在区间1
[+)2
∞，上的取值范围．
5．（2017新课标全国Ⅰ文科）已知函数()f x =e x (e x
−a )−a 2x ．
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．
6．（2017新课标全国Ⅲ文科）已知函数()2
(1)ln 2x ax a x f x =+++．
（1）讨论()f x 的单调性； （2）当a ﹤0时，证明3
()24f x a
≤--．
7．（2016江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥
1111P A B C D -，下部的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的
高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍.
（1）若16m,2m,AB PO ==则仓库的容积是多少？
（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ，则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？
8．（2017山东文科）已知函数()32
11,32
f x x ax a =
-∈R . （1）当a =2时,求曲线()y f x =在点()()
3,3f 处的切线方程；
（2）设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--,讨论()g x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
1．【解析】（1）∵ln ()x f x x a =
+，∴1
()1f x ax
'=+， ∵()f x 在1x =处的切线方程为20x y b -+=，∴1
12a
+=，210b -+=，解得1a =，
1b =-.
（2）()ln f x x x =+，2
1()ln 2
g x x kx x x -=++， ∴1
()1g x x k x
'=-+
+， ∵()g x 在其定义域（0，+∞）上是增函数，∴()0g x '≥在其定义域上恒成立， ∴110x k x -+
+≥在其定义域上恒成立，∴1
1k x x
≤++在其定义域上恒成立， 而1113x x +
+≥=，当且仅当1x =时，等号成立，故3k ≤．
当0a >时，
1
(0,)2x a
∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 1
(
,)2a
x +∞∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减. 所以当0a ≤时，()g x 的单调递增区间为(0,)+∞； 当0a >时，()g x 的单调递增区间为1(0,)2a ，单调递减区间为1
(,)2a
+∞. （2）由（1）知，(1)0f '=. ①当0a ≤时，()f x '单调递增.
所以当(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减. 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.
所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意.
所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意. ③当12a =
时，112a
=，()f x '在(0,1)内单调递增，在(1,)+∞内单调递减， 所以当(0,)x ∈+∞时，()0f x '≤，()f x 单调递减，不合题意. ④当12a >
时，1012a <<，当1(,1)2x a
∈时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减， 所以()f x 在1x =处取得极大值，合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为1
2
a >. 3．【答案】D
【解析】由()f x 的图象可知，()y f x =在x <0时是增函数，因此其导函数在x <0时，有()f x '>0（即全部在x 轴上方）
，因此排除A 、C. 从函数()f x 的图象上可以看出，在区间1(0,)x 上，函数()f x 是增函数，()f x '>0；在区间
12(,)x x 上，函数()f x 是减函数，()f x '<0;在区间2(,)x +∞上，函数()f x 是增函数，()f x '>0，故选D.
4．【解析】（1）因为蓄水池侧面的总成本为1002π200πrh rh ⨯=元，底面的总成本为160πr 2
元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2
)元． 又由题意得200πrh ＋160πr 2
＝12000π，所以h ＝
15r
(300－4r 2
)，
从而V (r )＝πr 2h ＝π5
(300r －4r 3)． 因为r ＞0，又h ＞0
，所以可得r <，
故函数V (r )的定义域为
(0,．
（2）因为V (r )＝π5(300r －4r 3)，故V ′(r )＝π5
(300－12r 2)． 令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因为r 2＝－5不在定义域内，舍去)．
当r ∈(0,5)时，V ′(r )＞0，故V (r )在(0,5)上为增函数；
当r ∈
(5,时，V ′(r )＜0，故V (r )在
(5,)上为减函数．
由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8.
即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．
1．【答案】B 【解析】因为()sin()(sin )()f x x x x x f x -=---=--=-，所以()f x 是奇函数. 又()1cos 0f x x '=-≥，所以()f x 单调递增，故()f x 既是奇函数又是增函数.
2．【答案】C
3．【答案】D
【解析】由函数的图象可知，(2)0f '-=，(2)0f '=，并且当2-<x 时，()0f x '>，当12<<-x ，()0f x '<，则函数()f x 有极大值(2)f -．
又当21<<x 时，()0f x '<，当2>x 时，()0f x '>，故函数()f x 有极小值(2)f ．故选D ．
4．【答案】D
【解析】令||e 21()t AB t F t =-+=,所以()e 2t
F t '=-,则当2ln >t 时, ()0F t '>,则函
数()e 21t F t t =-+单调递增；当2ln <t 时，()0F t '<,函数()e 21t F t t =-+单调递减,故当2ln =t 时,函数()e 21t F t t =-+取得最小值(ln 2)22ln 2132ln 2F =-+=-,故选D.
5．【答案】C 【解析】依题意，得22()1243f x x mx m '=++-，∴22()124=03
f x x mx m '=++-有两个不相等的实数根，2
21648()03
m m ∆=-->∴，即2320m m -+>，∴2m >，或1m <，故选C ．
6．【答案】D
当0x <时，不等式()()0f x g x <的解集是(,3)
x ∈-∞-；当0x >时，不等式()()0f x g x <的解集是(0,3
x ∈，所以不等式()()0f x g x <的解集是(,3)(0,3)-∞-，故选D ．
【方法点睛】本题解答中涉及利用导数研究函数的单调性以及单调性的应用、函数的奇偶性及其应用、不等关系的求解等知识点，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用.本题的解答中根据题设条件，得出函数()()()h x f x g x =的单调性和奇偶性是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．
7．【答案】A
【解析】由题意得，当0x ≥时，()1cos 0f x x '=-≥，则()f x 在[0,)+∞上单调递增，又根据奇函数的性质可知，()f x 在R 上单调递增，那么由2(4)(2)f t f m mt ->+可得242t m mt ->+在R 上恒成立，分离参数得242t m t <-+，令24()2
t g t t =-+，求导可得，
()g t 在(,-∞上单调递增，在(上单调递减，在)+∞上单调递增，故
min ()g t g ==min ()m g t g <==.故选A ．
【思路点睛】本题主要考查导数的最值应用,奇函数的性质,分离参数的方法，属于中档题.本题有两种方法求解：（1）利用函数是奇函数，可将0x <时的函数解析式求出，再用函数的单调性求解；（2）直接先求出0x ≥时的单调性，再根据奇函数在对称区间上的单调性相同可得出()f x 在R 上单调递增，可得到242t m mt ->+在R 上恒成立，再利用分离参数的方法，可得到242t m t <-+，进而利用求导的方法求出24()2
t g t t =-+的最小值即可.此题判断出()f x 在R 上的单调性是解题的关键．
8．【解析】（1）因为3()f x ax bx c =++，所以2
()3f x ax b '=+. 由于()f x 在点2x =处取得极值16c -，故有(2)0(2)16f f c '=⎧⎨=-⎩，即1208216a b a b c c +=⎧⎨++=-⎩
，化简得12048a b a b +=⎧⎨+=-⎩，解得112
a b =⎧⎨=-⎩.
（2）由（1）知3()12f x x x c =-+，2()3123(2)(2)f x x x x '=-=-+.
令()0f x '=，得122,2x x =-=.
当(,2)x ∈-∞-时，()0f x '>，故()f x 在(,2)-∞-上为增函数；
当(2,2)x ∈-时，()0f x '<，故()f x 在(2,2)-上为减函数；
当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在(2,)+∞上为增函数.
由此可知()f x 在12x =-处取得极大值(2)16f c -=+，()f x 在22x =处取得极小值(2)16f c =-.
由题设条件知1628c +=，得12c =，
此时(3)921,(3)93,(2)164f c f c f c -=+==-+==-=-，
因此()f x 在[3,3]-上的最小值为(2)4f =-.
（2）当0x >时，2e 1x
x x ax -≤--，即
令()()2e 11(0)x x x x x =--+>ϕ，则()()e 2x x x '=-ϕ.
当()0,ln2x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减；
当()ln2,x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增.
又()00ϕ=，()10ϕ=，所以，当()0,1x ∈时，()0x ϕ<，即()0h x '<，所以()h x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()()1(e 1)0x
x x x =--->ϕ，即()0h x '>，所以()h x 单调递增，
所以()()min 1e 1h x h ==-，所以(]
,e 1a ∈-∞-.
（2）由（1），可设()f x ¢在(0+)，¥上的唯一零点为0x .
当0(0)x x ,Î时，()0f x ¢<;当0(+)x x ，违时，()0f x ¢>.
故()f x 在0(0)x ,上单调递减，在0(+)x ，
¥上单调递增，所以当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为0()f x . 由于020
2e =0x a x -，所以02000022()=e ln 2ln 2ln 2x a f x a x ax a a a x a a -=++?（当且仅当0022a ax x =，即012
x =时，等号成立）. 故当0a >时，2()2ln f x a a
?. 1．【答案】D 【解析】()()()2
312322f x x x x '=-=+-，令()0f x '=得2x =-或2x =，易得()f x 在()2,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()f x 的极小值点为2，即2a =，故选D.
2．【答案】D
【解析】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．
【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数
知识来讨论函数单调性时，由导函数()f'x 的正负，得出原函数()f x 的单调区间．
3．【答案】C
最小值的可能值为端点值，故只需保证1(1)031(1)03f a f a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
……，解得1133a -剟．故选C ． 【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解的关键是把函数
单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,即注意正、余弦函数的有界性.
4．【解析】（1）因为(1
x '=(e )e x x '--=-，
所以()(1(
x x f'x x --=-1)2x =>．
（2）由()0f'x =
=，解得1x =或52x =
． 因为
又21()1)e 02
x f x -=≥， 所以f （x ）在区间1[,)2
+∞上的取值范围是121[0,e ]2-． 【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出()f'x ，由()f'x 的正负，得出函数()f x 的单调区间；（二）函数的最值（极值）的求法：由单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数()f x 的极值或最值．
当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增．
③若0a <，则由()0f x '=得ln()2a x =-．
当(,ln())2a
x ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln(),)2
a x ∈-+∞时，()0f x '>，故()f x 在
(,ln())2a -∞-单调递减，在(ln(),)2
a -+∞单调递增． （2）①若0a =，则2()e x f x =，所以()0f x ≥．
②若0a >，则由（1）得，当ln x a =时，()f x 取得最小值，最小值为2(ln )ln f a a a =-．从而当且仅当2ln 0a a -≥，即1a ≤时，()0f x ≥．
③若0a <，则由（1）得，当ln()2
a
x =-时，()f x 取得最小值，最小值为23(ln())[ln()]242a a f a -=--．从而当且仅当23[l n ()]042
a a --≥，即3
42e a ≥-时()0f x ≥．
综上，a 的取值范围为34[2e ,1]-．
【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：（1）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出()f x '，由()f x '的正负，得出函数()f x 的单调区间；（2）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数()f x 的极值或最值． 6．【解析】（1）()f x 的定义域为（0，+），()()1211()221x a x f x a x a x x ++'=+++=.
若0a ≥，则当(0)x ∈+∞，
时，()0f x '>，故()f x 在（0，+）单调递增. 若0a <，则当1(0,)2x a ∈-
时，()0f x '>；当1()2x a
∈-+∞，时，()0f x '<.故()f x 在1(0,)2a -单调递增，在1()2a
-+∞，单调递减. （2）由（1）知，当0a <时，()f x 在12x a
=-取得最大值，最大值为 111()ln()1224f a a a
-=---. 所以3()24f x a ≤--等价于113ln()12244a a a ---≤--，即11ln()1022a a
-++≤. 设()ln 1g x x x =-+，则1()1g x x '=-. 当(0,1)x ∈时，()0g x '>；当x ∈（1，+）时，()0g x '<.
所以()g x 在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.
故当x =1时()g x 取得最大值，最大值为g （1）=0.
所以当x ＞0时，()0g x ≤.
从而当a ＜0时，11ln()1022a a -++≤，即3()24f x a
≤--. 【名师点睛】利用导数证明不等式的常见类型及解题策略：
（1）构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.
（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间的大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
7．【解析】（1）由PO 1=2知OO 1=4PO 1=8.
因为A 1B 1=AB =6，所以正四棱锥P −A 1B 1C 1D 1的体积22311111=6224(m );33
V A B PO ⋅⋅=
⨯⨯=锥 正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的体积2231=68288(m ).V AB OO ⋅=⨯=柱
所以仓库的容积V =V 锥+V 柱=24+288=3123(m ).
（2）设A 1B 1=a (m)，PO 1=h (m)，则0<h <6，OO 1=4h .连接O 1B 1.
因为在11Rt PO B △中，2221111O B PO PB +=，
所以22)362
h +=，即222(36).a h =-
当6h <<时，0V'<，V 是单调减函数.
故h =V 取得极大值，也是最大值.
因此，当1PO =时，仓库的容积最大.
8．【解析】（1）由题意2()f x x ax '=-，
所以，当2a =时，(3)0f =，2
()2f x x x '=-，
所以(3)3f '=，
因此，曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程是3(3)y x =-，
即390x y --=.
（2）因为()()()cos sin g x f x x a x x =+--，
所以()()cos ()sin cos g x f x x x a x x ''=+--- ()()sin x x a x a x =---
()(sin )x a x x =--，
令()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-≥，
所以()h x 在R 上单调递增，
因为(0)0h =，
所以，当0x >时，()0h x >；当0x <时，()0h x <.
所以当x a =时()g x 取到极大值，极大值是31()sin 6g a a a =-
-， 当0x =时()g x 取到极小值，极小值是(0)g a =-.
②当0a =时，()(sin )g x x x x '=-，
当(,)x ∈-∞+∞时，()0g x '≥，()g x 单调递增；
所以()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，()g x 无极大值也无极小值.
③当0a >时，()()(sin )g x x a x x '=--，
当(,0)x ∈-∞时，0x a -<，()0g x '>，()g x 单调递增；
当(0,)x a ∈时，0x a -<，()0g x '<，()g x 单调递减；
当(,)x a ∈+∞时，0x a ->，()0g x '>，()g x 单调递增.
所以当0x =时()g x 取到极大值，极大值是(0)g a =-；
当x a =时()g x 取到极小值，极小值是31()sin 6g a a a =-
-. 综上所述：
当0a <时，函数()g x 在(,)a -∞和(0,)+∞上单调递增，在(,0)a 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是31()sin 6
g a a a =--，极小值是(0)g a =-； 当0a =时，函数()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值；
当0a >时，函数()g x 在(,0)-∞和(,)a +∞上单调递增，在(0,)a 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是(0)g a =-，极小值是31()sin 6
g a a a =--. 【名师点睛】(1)求函数f (x )极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f ′(x )；③
解方程f′(x)＝0,求出函数定义域内的所有根；④检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左、右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值．(2)若函数y＝f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y＝f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值．。