海南省海口市2011届高三下学期高考调研测试(二)(数学理)

2011年海口市高考调研测试 数学（理科）试题(二）
注意事项：
1．本次考试的试卷分为试题卷和答题卷，本卷为试题卷,请将答案和解答写在答题卷指定的位置，在试题卷和其它位置解答无效．
2．本试卷满分150分,考试时间120分钟．
参考公式：
样本数据1
x ，2
x ，，n
x 的标准差 锥体体积公式
(n s x x =
++-
13
V Sh =
其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积、h 为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式 V Sh = 2
4πS R =，3
4π3
V R =
其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径
第Ⅰ卷 选择题
一。

选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；每小题选出答案后，请用2B 铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在本卷上作答无效） 1．设全集U R =,集合{}{}2
2,0,1(2),x
M y R y x N x R y g x x =∈=>=∈=-则
(
)U
M N 为
A ．(1，2）
B ．(1,)+∞
C ．[2,)+∞
D ．(],0(1,)-∞+∞
2．复数212m z -=+i i
（m R ∈，i 是虚数单位）在复平面上对应的点不可能位
于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．已知向量(1,3)=a ，(2,)m =-b ，若a 与2+a b 垂直，则m 的值为
第8题图
第6题图
A ．1
B ．1-
C ．2
1- D ．2
1
4．已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，下列命题中正确命题是
A ．若αβ⊥，l β⊥，则α//l
B ．若l 上有两个点到α的距离相等，则α//l
C ．若l α⊥，l ∥β，则βα⊥
D ．若αβ⊥，αγ⊥,则βγ⊥
5．已知函数1()sin ,[0,π]3
f x x x x =-∈，0
1
cos 3
x
=
（0[0,π]x ∈)．那么下面命题中真命题的序号是
①()f x 的最大值为0
()f x ②
()f x 的最小值为0()f x ③()f x 在0
[0,]x 上是减函数 ④
()f x 在0[,π]x 上是减函数
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④ 图象如
6．函数()y f x =在定义域3(,3)2
-内可导，其
图所示，记
()
y f x =的导函数为'()y f x =,则不等式'()0f x ≤的解集为
A ．31[,][1,2)
22
- B ．148
[1,]
[,]233-
C ．1[,1]
[2,3)
3
- D ．
3148(,1][,][,3)2233
-- 上，则k
7．若方程x
x 2)1ln(=+的根在区间))(1,(Z k k k ∈+的值为
A ．1-
B ．1
C ．1-或2
D ．
1-或
1
8．阅读右侧的算法框图，输出结果S 的值为
第12题图
A ．1
B 3
C 。

12
D 39．把24粒种子分别种在8个
坑内，每坑3粒,每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑里的种子都没发芽，则这个坑需要补种，假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用,则ξ的数学期望为
A ．10元
B ．20元
C ．40元
D ．80元
10．若1sin()3
4
πα-=，则cos(2)3
πα+=
A ．78
- B ．14-
C ．14
D ．78
11．已知函数2
()54f x x
x =-+，且x ，y 满足约束条件()()0;
1 4.f x f y x -≥⎧⎨
≤≤⎩
则2z x y =+的最大值为
A ． 6
B ．152
C ．12
D ．
17
2
12．如图，在直角梯形ABCD 中，AD AB ⊥，AB ∥DC ,
1AD DC ==，2AB =，动点P 在以点C 为圆心，且
与直
线BD 相切的圆上或圆内移动，设AP AD AB λμ=+
(λ,R μ∈）,则λμ+取值范围是 A ．[1,2] B ．[2,4]
C ．[2,)+∞
D ．(],1-∞
第Ⅱ卷 非选择题
二．填空题：(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡中的指定位置)
第13题图
第16题图
13．一空间几何体的三视图如下图所示， 该几何体的 体积为
85
123
π+
，则正视图中x 的值为___________． 14．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F
,
且两曲线的一个交点为P ,若5PF =,则双曲线的方程为 15．在ABC ∆中，角A ，B ,C 所对的边分别为a ,b ，c ,S 为ABC ∆的面积,若
向量2
2
2
(2,)a b c =+-p ，(1,2)S =q 满足p ∥q ，则角C = ．
16．如下图，夹在两斜线之间的数的和为 （用组合数符号表示，参考公式1
1
m m m n n n C C C -++=）．
三．解答题：(本大题共5
小题，共60分．解答应
写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答
题的过程写在答题卷．．．中指定的位置）
17．(本小题满分12分)
在数列{}n
a ,{}n
b 中已知1
2(0)n n a
a k k +=+≠，10n n n
b a a +=-≠
(Ⅰ）求证：数列{}n
b 是等比数列; （Ⅱ)若1
1k a
==，求数列{}n a ，{}n b 的通项公式．
13 14 15 16 17 0.38 0.34 0.18 0.06
0.04 秒
频率/组距
18．(本小题满分12分)
为调查某市学生百米运动成绩,从该市学生中按照男女生比例随机抽取50名学生进行百米测试,学生成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[)14,13，第二组
[)15,14……第五组[]18,17，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方
图．
（Ⅰ）求这组数据的众数和中位数（精确到0．1）;
( II ）根据有关规定，成绩
小于16秒为达标．
（ⅰ)用样本估计总体，某班有学生45
人，设
ξ为达标人数，求ξ的数学期望与方差．
(ⅱ）如果男女生使用相同的达标标准，则男女
生达标情况如下表 性别 是否达标
男
女
合计 达标 24a =
b =______
_____ 不达标 c =_____
12d =
_____
合计
______ ______
50n =
根据上表数据，能否有99％的把握认为“体育达标与性别有关”？若有，你能否提出一个更好的解决方法来? 附：
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
19．（本小题满分12分）
F P
E A
D
C
B
第19题图
第20题图
如图,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，
E F
、分别为CD PB 、的中点，3AE =
（Ⅰ）求证:平面AEF ⊥平面PAB ． (Ⅱ)求平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦
值．
20．（本小题满分12分）
如图，已知1
F ，2
F 分别是椭圆C :
22
221x y a b
+=（0a b >>）的左、右焦点,且椭圆C 的离心率12
e =,1
F 也是抛物线1
C :24y
x
=-的焦点．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点2
F 的直线l 交椭圆C 于D ，E 两点,且2
22DF
F E
=，点E 关于x 轴的对称点为G ，求直线GD 的
方程．
21．(本小题满分12分）
已知函数3
2()(63)x f x x
x x t e =-++，t R ∈．
（Ⅰ）若函数()y f x =依次在,,()x a x b x c a b c ===<<处取到极值． (ⅰ)求t 的取值范围；
(ⅱ)若,,a b c 成等差数列,求t 的值．
A
C
P B
O
●
第22 题图
第23 题图
(Ⅱ)当0t =时,对任意的[]1,x m ∈，不等式()f x x ≤恒成立．求正整数m 的最大值．
四．选考题(从下列三道解答题中任选一道作答，作答时，请注明题
号；若多做，则按首做题计入总分,满分10分. 请将答题的过程写在答题卷．．．中指定．．的位置）
22．(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲
如图,已知PA 与圆O 相切于点A ，半径OB OP ⊥，AB 交PO 于点C ， （Ⅰ）求证：PA PC =;
（Ⅱ)若圆O 的半径为3，5OP =,
求BC 的长度．
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
如图，已知点(
3,0)
A ，(0,1)
B ，圆
C 是以AB 为直径的圆,直线l ：
cos ,1sin .
x t y t ϕϕ=⎧⎨
=-+⎩（t 为参数)．
（Ⅰ）写出圆C 的普通方程并选取适当的参数改写为参数方程； （Ⅱ）过原点O 作直线l 的垂线，
垂足为H ,若动点M 满足23OM OH =，当ϕ变化时，求点M 轨迹的参数方程,并指出它是
什么曲线．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设()ln(|1||2|3)f x x m x =-+--(m R ∈)．
（Ⅰ)当1m =时,求函数()f x 的定义域；
(Ⅱ)若当714
x ≤≤时，()0f x ≥恒成立,求实数m 的取值范围．
2011年海口市高考调研测试(二) 数学(理科）试题参考答案
一、选择题： 题
号 1 2
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答
案
D A
B
C
B
C
D
D
A
A
C
A
二、填空题：
18．解：（Ⅰ）这组数据的众数为15．5,中位数为15．6……………………3分
（Ⅱ)(ⅰ)成绩在[)
13,16的频率：0．04+0．18+0．38=0．6
若用样本估计总体,则总体达标的概率为0．6．从而ξ～B（45，0．6）
450.627
Eξ
∴=⨯=(人），Dξ=10．8---—--———---—7分
(ⅱ）
2
2
50(241268)
32183020
K
⨯⨯-⨯
=
⨯⨯⨯
≈8．333
由于2K>6．625,故有99%的把握认为“体育达标与性别有关”
故可以根据男女生性别划分达标的标准—-——--———--——----—-————12分
19．证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是菱形，
∴2
AD CD AB
===．
在ADE
∆中，AE1
DE=,
∴222
AD DE AE
=+．
∴90
AED
∠=︒，即AE CD
⊥．
又AB CD//，∴AE AB
⊥．…………………2分
∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，
∴PA⊥AE．又∵PA AB A=，
∴AE⊥平面PAB，………………………………………4分
又∵AE ⊂平面AEF ，
平面AEF ⊥平面PAB ． ………………………………6分 （Ⅱ)解法一：由（1）知AE ⊥平面PAB ,而AE ⊂平面PAE ， ∴平面PAE ⊥平面PAB ………………………6分 ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA CD ⊥． 由(Ⅰ）知AE CD ⊥，又PA AE A = ∴CD ⊥平面PAE ,又CD ⊂平面PCD ，
∴平面PCD ⊥平面PAE ．…………………………8分 ∴平面PAE 是平面PAB 与平面PCD 的公垂面．
所以，APE ∠就是平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的平面角．……9分
在Rt PAE ∆中，2
2
2
347PE AE PA =+=+=,
即PE =10分 又2PA =，
∴cos APE ∠=
．
所以，平面
PAB
与平面
PCD
所成的锐二面角的余弦值
为
12分
理（Ⅱ）解法二:以A 为原点,AB 、AE 分别为x 轴、y 轴的正方向,建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示．因为2PA AB ==
，AE =
(0,0,0)A 、(0,0,2)P
、E
、(1C ，…………6分
则(0,2)PE =-,(1,0,0)CE =
-，(0,AE =．………7分 由（Ⅰ）知AE ⊥平面PAB ,
故平面PAB 的一个法向量为1
(0,1,0)n =．……………………8分
设平面PCD 的一个法向量为2
(,
n x =则
2200
n PE n CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ,即20
z x -=-=⎪⎩,令2y =，
则2
n
=． ∴12
12
12
2
cos
,7n n n n n n ===
x
所以，平面
PAB
与平面
PCD
所成的锐二面角的余弦值
为
12分
20．解：（Ⅰ)因为抛物线1
C 的焦点是1
(1,0)F -,
则
1
12c c a =⎧⎪
⎨=⎪⎩
，得2a =
，则b
故椭圆C 的方程为
22
143
x y +=．
（Ⅱ）显然直线l 的斜率不存在时不符合题意，可设直线l ：
(1)y k x =-，设1
1
(,)D x y ，2
2
(,)E x y ，由于2
2
2DF F E =,
则 1212
2(1)1
2x x y y -=-⎧⎨
-=⎩，联立22
(1)14
3y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪
⎩,
22
22
12()104333k k x k x +-+-=,
则 2122834k x x k +=+，……① 2122412
34k x x k -=+,……②，
21
32x x =-代入①、②得，
2128334k x k -=+，……③ 22
112
4123234k x x k --=
+，……④
由③、④得k =
2129434k x k +=+7
=，211322
x x =
-=-，
（i ）若
k =时,
1y
=211)
2y =--=,
即
1(,2
G -
，7(,4D
,847142
GD k
=
+=
直线GD
的方程是
1
)2
y
x +=+；
（ii ）当
k =时，同理可求直线
GD 的方程是
1
)
2
y x -=+．
21．解:（Ⅰ)2
3
2
3
2
()(3123)(63)(393)x
x
x
f x x x e x x x t e x x x t e '=-++-++=--++
(ⅰ）()f x 有三个极值点,3
2
3930x x x t ∴--++=有三个根,,a b c ．
32()393g x x x x t =--++令，则2
'()3693(1)(3)g x x x x x =--=+- 由2
'()3693(1)(3)0g x x x x x =--=+->得1x <-或3x > ()(-,-1)(3,+)(-1,3)g x ∞∞在区间和上递增,在区间上递减.
()g x 有有三零点824.(3)240
t g t ⎧∴∴-<<⎨=-<⎩g(-1)=t+8>0
(4)
分
22． （Ⅰ）
证明：连接OA ， ∵OA OB =,
∴OAB OBA ∠=∠．…………………………1分 ∵PA 与圆O 相切于点A , ∴90OAP ∠=︒． ∴90PAC OAB ∠=︒-∠．……………………2分 ∵OB OP ⊥，
∴90BCO OBA ∠=︒-∠．……………………3分 ∴BCO PAC ∠=∠． ……………………4分 又∵BCO PCA ∠=∠, ∴PCA PAC ∠=∠．
A C
P
B O
●
M N
∴PA PC =． ………………………………5分
（Ⅱ）解:假设PO 与圆O 相交于点M ，延长PO 交圆O 于点N ． ∵PA 与圆O 相切于点A ，PMN 是圆O 割线,
∴2
()()PA PM PN PO OM PO ON ==-+．……………6分 ∵5OP =，3OM ON ==, ∴2
(53)(53)16PA =-+=．
∴4PA =．………………………………8分 ∴由（Ⅰ)知4PC PA ==． ∴541OC =-=．
在Rt OBC ∆中，222
9110BC OB OC =+=+= ∴10BC =…………………………10分 23．解：（Ⅰ）圆圆C 的普通方程为
2231
(()12
x y +-=,改写为参数方程是 3cos ,1sin 2x y θθ⎧=⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩
(.θ为参数）．
(Ⅱ）解法1:直线l 普通方程：sin cos cos 0x y ϕϕϕ--=,点H 坐标111(sin 2,cos2)2
2
2
ϕϕ--, 因为
23OM OH
=，则点M 的坐标为333(sin 2,cos2)4
44
ϕϕ--，
故当ϕ变化时,点M 轨迹的参数方程为3sin 2,433cos2.44x y ϕϕ⎧=⎪⎪⎨
⎪=--⎪⎩
（ϕ为参数）,图形
为圆． （或写成
23sin cos ,23cos .2x y ϕϕϕ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
（ϕ为参数），图形为圆．）
解法2：设(,)M x y ，由于23OM OH =，则22(,)3
3
H x y ，由于直线l 过定点(0,1)P -， 则
OH PH =,即
2222
()()(1)0333
x y y ++=，整理得,2
239
()416
x
y ++=
,
故当ϕ变化时，点M 轨迹的参数方程为
3cos ,433sin .44x y φφ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩
（φ为参数）,图形
为圆． （注意：当ϕ变化时,得到点M 轨迹的普通方程,再转化为参数φ的方程也是正确的!!）
24.解:（Ⅰ）当1m =时，|1||2|30x x -+-->,等价于
1323
x x ≤⎧⎨
->⎩或1213x <≤⎧⎨>⎩
或2233
x x >⎧⎨
->⎩
,解之为0x <或x ∈∅或3x >， 故函数()f x 的定义域是{|0x x <或3}x >．
(Ⅱ）当714
x ≤≤时，()ln[4(2)]f x x m x =-+-，()0f x ≥恒成立等价于
4(2)1
x m x -+-≥恒成立，即
52x m x
-≥
-在7[1,]4
上恒成立，
令52
x t x -=-312
x =-
-在区间7[1,]4
是增函数，所以max
31724
t
=-
-13
=，
所以，13m ≥，故实数m 的取值范围[13,)+∞．
w w w.ks5u 。

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