学案6：3.2.1 复数的加法和减法

3.2.1 复数的加法和减法
课堂导学
三点剖析
一、复数代数形式的加减运算
例1 计算：(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…+(1 999-2 000i)-(2 000-2 001i).
温馨提示
复数的加减法，类似于多项式加减法中的合并同类项的过程.具体解题时，可适当地进行组合，简化运算.
二、复数代数形式的乘除运算
例2 计算：36(-1+-2+i -1+2i (1+i)
.
温馨提示
计算（a +b i ）n 时，一般按乘法法则进行计算.对于复数1±i ，计算它的n （n 为大于或等于2的自然数）次方时，常先计算1±i 的平方；对于复数±
21±2
3i ，计算它的n （n 为大于或等于3的自然数）次方时，常先计算它的立方.
三，四则运算的综合应用
例3 设等比数列{z n}中，其中z1=1，z2=a+b i，z3=b+a i(a，b∈R，且a>0).
(1)求a，b的值；
(2)试求使z1+z2+…+z n=0的最小正整数n；
(3)对(2)中的正整数n，求z1·z2·…·z n的值.
温馨提示
在复数中运用等比数列的知识，既能加深对复数和复数运算的认识，又能加强对数列知识的理解与运用.
各个击破
类题演练1设z1=x+2i，z2=3-y i(x，y∈R)，且z1+z2=5-6i，求x+y i.
变式提升1已知平行四边形中，三个顶点对应的复数分别是2+i，4+3i，3+5i，求第四个顶点对应的复数.
类题演练2已知z=
-i
1-i
a
(a>0)，且复数ω=z(z+i)的虚部减去它的实部所得的差等于
2
3
，
求复数ω.
变式提升2已知x，y∈R，且
5
+=
1+i1+2i1+3i
x y
，求x，y的值.
类题演练3已知
22
(1+i)(1-i)
+
1-i1+i
n n
=2n，求最小正整数n.
变式提升3已知复数z满足|z|=1+3i-z，求
3
(1+3i)(3+4i)
z
.
参考答案
课堂导学
例1 解法一：
原式=(1-2+3-4+…+1 999-2 000)+(-2+3-4+5-…-2 000+2 001)i=-1 000+1 000i.
解法二：
(1-2i)-(2-3i)=-1+i ，
(3-4i)-(4-5i)=-1+i ，
……
(1 999-2 000i)-(2 000-2 001i)=-1+i.
将上述式子累加得
原式=1 000(-1+i)=-1 000+1 000i.
例2 -2+i -1+2i (1+i)
(-2+i)(1+2i)-5[(1+i)]
=
-i=8-8i
-i=i -i=0. 例3 解：(1)∵z 1、z 2、z 3成等比数列，
∴z 22=z 1z 3，
即(a +b i)2=b +a i ，a 2-b 2+2ab i=b +a i. ∵)0(222>⎩⎨⎧==-a a
ab b b a ，解得a =23，b =21. (2)∵z 1=1，z 2=23+2
1i ， ∴公比q =23+2
1i. 于是z n =（
23+21i ）n -1， z 1+z 2+…+z n =1+q +q 2+…+q n -1=q
q n --11=0， ∴q n =(23+21i)n =(-i)n (-21+2
3i)n =1， 则n 既是3的倍数又是4的倍数.
故n 的最小值为12.
(3)z 1·z 2·…·z 12=1·(23+21i)·(23+21i)2·…·(23+21i)11=(23+2
1i)1+2+…+11 =［(-i)(-21+23i)］66=(-i)66·(-21+2
3i)66=-1. 类题演练 1 解：z 1+z 2=x +2i+3-y i=(x +3)+(2-y )i ，
∵z 1+z 2=5-6i ，∴⎩⎨⎧-=-=+.
62,53y x 解得⎩
⎨⎧==.82y x . ∴x +y i=2+8i.
变式提升 1 解：如图，设点Z 1，Z 2，Z 3分别对应复数2+i ，4+3i ，3+5i.
(1)若Z 1Z 3为对角线，则3241Z Z Z Z =，
即z 4-z 1=z 3-z 2，∴z 4=z 3-z 2+z 1=(3+5i)-(4+3i)+(2+i)=1+3i.
(2)若Z 1Z 2为对角线，则3241Z Z Z Z =，
即z 4-z 1=z 2-z 3，∴z 4=z 2-z 3+z 1=(4+3i)-(3+5i)+(2+i)=3-i.
(3)若Z 2Z 3为对角线，则3142Z Z Z Z =，即z 4-z 2=z 3-z 1，
∴z 4=z 3-z 1+z 2=(3+5i)-(2+i)+(4+3i)=5+7i.
类题演练 2 解：ω=i ，
， ∴2
32122=+-+a a a ，即a 2-1=3. ∵a >0，∴a =2，ω=2
33i.
变式提升2 解：5+=1+i 1+2i 1+3i x y 可写成(1-i)(1-2i)5(1-3i)+=2510x y ， 5x (1-i)+2y (1-2i)=5-15i ，(5x +2y )-(5x +4y )i=5-15i.
∴⎩
⎨⎧=-=⎩⎨⎧=+=+,5,1,1545,525y x y x y x 类题演练 3 解：原等式可化为22(1+i)(1+i)(1-i)(1-i)+22
n n =2n ， 即［(1+i)2］n (1+i)+［(1-i)2］n ·(1-i)=2·2n ，
(2i )n (1+i)+(-2i)n (1-i)=2·2n ，
2n ·i n (1+i)+2n (-i)n (1-i)=2·2n ，
∴i n ［(1+i)+(-1)n (1-i)］=2，
若n =2k (k ∈N *)，
则i 2k ［(1+i)+(1-i)］=2，
∴i 2k =1，∴k =2，∴n =4.
若n =2k -1(k ∈N *)，
则i 2k -1［(1+i)-(1-i)］=2，
故2i 2k =2，∴i 2k =1，k =2，n =3.
∴对于n ∈N *时，最小正整数为3.
变式提升 3 解：设z =x +y i(x ，y ∈R )，代入|z |=1+3i -z ，得22y x +=1-x +(3-y )i. 由复数相等得⎪⎩⎪⎨⎧=--=+.
03,122y x y x 解得x =-4，y =3.
∴z =-4+3i.
原式=333(1+3i)(3+4i)(1+3i)1+3i ==()-4+3i i -i
=(-3+i)3=-18+26i.。