(必考题)高中数学必修三第三章《概率》测试卷(包含答案解析)(4)

一、选择题
1．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A．
3
16
B．
3
8
C．1
4
D．
1
8
2．有五条线段长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率（）
A．
1
10
B．
3
10
C．
1
2
D．
7
10
3．“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（）
A．1
5
B．
1
3
C．
3
5
D．
2
3
4．如图，一个边长为2的正方形里有一个月牙形的图案，为了估算这个月牙形图案的面积，向这个正方形里随机投入500粒芝麻，经过统计，落在月牙形图案内的芝麻有150粒，则这个月牙图案的面积约为（）
A．3
5
B．
4
5
C．1 D．
6
5
5．某市委积极响应十九大报告提出的“到2020年全面建成小康社会”的目标，鼓励各县积
极脱贫，计划表彰在农村脱贫攻坚战中的杰出村代表，已知A ，B 两个贫困县各有15名村代表，最终A 县有5人表现突出，B 县有3人表现突出，现分别从A ，B 两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是（ ） A ．
13
B ．
47
C ．
23
D ．
56
6．已知三个村庄,,A B C 所处的位置恰好位于三角形的三个顶点处，且
6,8,10AB km BC km AC km ===.现在ABC ∆内任取一点M 建一大型的超市，则M 点
到三个村庄,,A B C 的距离都不小于2km 的概率为（ ） A ．
33
24
+ B ．
12
π
C ．
213
24
- D ．
1212
π
- 7．如图，正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，2
3
CN NG AB ==，向多边形ABCDEFGH 内投一点，则该点落在阴影部分内的概率为（ ）
A ．12
B ．34
C ．27
D ．
38
8．已知0.5log 5a =、3log 2b =、0.32c =、2
12d ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，从这四个数中任取一个数m ，使函数()3
2123
x mx x f x =+++有极值点的概率为（ ） A ．
14
B ．
12
C ．
34
D ．1
9．如图所示，在一个边长为2.的正方形AOBC 内，曲2y x =和曲线y x =
图(阴影部分)，向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是（ ）
A ．
12
B ．
14
C ．
13
D ．
16
10．已知点A 是圆M 的圆周上一定点，若在圆M 的圆周上的其他位置任取一点B ，连接
AB ，则“线段AB 的长度大于圆M 的半径”的概率约为（ ）
A ．
12
B ．
16
C ．
13
D ．
23
11．某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试(试卷满分为100分)的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示.若分别从(1)班、(2)班的样本中各取一份，则(2)班成绩更好的概率为( )
A ．
1636
B ．
1736
C ．
12
D ．
1936
12．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形外的概率为（ ）
A ()
3323
π-B ()
323
π-
C (
)
3
23
π+D ()
23323
ππ-+二、填空题
13．现有五个分别标有A 、B 、C 、D 、E 的小球，随机取出三个小球放进三个盒子，
每个盒子只能放一个小球，则D 、E 至少有一个在盒子中的概率为______．
14．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为_________
15．已知函数2()22f x x =-的定义域为M ，(())y f f x =的定义域为P ，在M 上随机取一个数x ，则x P ∈的概率是____________．
16．有一个底面半径为2，高为2的圆柱，点1O ，2O 分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点1O 或2O 的距离不大于1的概率是________.
17．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且,{0,1,2,
,9}a b ∈.若||1a b -，则称甲乙“心有灵犀”.现
任意找两人玩这个游戏，则这两人“心有灵犀”的概率为______.
18．若正方体1111ABCD A BC D -的棱长为3，E 为正方体内任意一点，则AE 的长度大于3的概率等于_________.
19．北京市某银行营业点在银行大厅悬挂着不同营业时间段服务窗口个数的提示牌，如图所示. 设某人到达银行的时间是随机的，记其到达银行时服务窗口的个数为X ，则
()E X =______________．
20．设{}{}1,3,5,7,2,4,6a b ∈∈，则函数()log a b
f x x =是增函数的概率为__________．
三、解答题
21．高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展，据统计，在2018年这一年内从A 市到B 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本．得到下表(单位：人次)：
（1）在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；
（2）在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人
出行的人次为X ．以频率作为概率．求X 的分布列和数学期望；
（3）如果甲将要从A 市出发到B 市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是 飞机？并说明理由.
22．某单位响应党中央“精准扶贫”号召，对某村6户贫困户中的甲户进行定点帮扶，每年跟踪调查统计一次，从2015年1月1日至2018年12月底统计数据如下（人均年纯收入）：
（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+，并
估计甲户在2019年能否脱贫；（国家规定2019年脱贫标准：人均年纯收入为3747元） （2）2019年初，根据扶贫办的统计知，该村剩余5户贫困户中还有2户没有脱贫，现从这5户中抽取2户，求至少有一户没有脱贫的概率．
参考公式：1
2
2
1
ˆn
i i
i n
i
i x y nx y
b
x
nx =-=-⋅=-∑∑，ˆˆa y bx
=-，其中x ，y 为数x ，y 的平均数． 23．追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（AQI ）的检测数据，结果统计如下：
（1）从空气质量指数属于[0,50]，(50,100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率.
（2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y （单位：元）与空气质量指数x 的关系
式为0,0100,220,100250,1480,250300.x y x x ⎧⎪
=<⎨⎪<⎩
假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度
污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为
16，13，1
6，112，
112,16
,9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替.
（i ）记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X 元，求X 的分布列；
（ii ）试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元？说明你的理由.
24．已知函数()f x ax b =+，分别在下列条件下，求函数图象经过第二、三、四象限的概率.
（1）设,{2,1,1,2}a b ∈--且a b ；
（2）实数,a b 满足条件11,
1 1.a b -⎧⎨
-⎩
25．从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：
（1）求频率分布直方图中的a ，b 的值；
（2）从阅读时间在[14,18)的学生中任选2人，求恰好有1人阅读时间在[14,16)，另1人阅读时间在[16,18)的概率.
26．在一次跳绳活动中，某学校从高二年级抽取了100位同学一分钟内跳绳，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，落在区间[140，150），[150，160），[160，170]内的频率之比为4：2：1.
（1）求跳绳次数落在区间[150，160）内的频率；
（2）用分层抽样的方法在区间[130，160）内抽取6位同学，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2位同学，求这2位同学跳绳次数都在区间[130，150）内的概率.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【解析】
设2AB =，则1BC CD DE EF ====. ∴122124
BCI S ∆=
=，112242BCI EFGH
S S ∆==⨯=平行四边形 ∴所求的概率为11
3422216
P +
=
=⨯ 故选A. 2．B
解析：B 【分析】
列出所有的基本事件，并找出事件“所取三条线段能构成一个三角形”所包含的基本事件，再利用古典概型的概率公式计算出所求事件的概率． 【详解】
所有的基本事件有：()1,3,5、()1,3,7、()1,3,9、()1,5,7、()1,5,9、()1,7,9、
()3,5,7、()3,5,9、()3,7,9、()5,7,9，共10个，
其中，事件“所取三条线段能构成一个三角形”所包含的基本事件有：()3,5,7、()3,7,9、
()5,7,9，共3个，
由古典概型的概率公式可知，事件“所取三条线段能构成一个三角形”的概率为
310
，
故选：B ． 【点睛】
本题考查古典概型的概率计算，解题的关键就是列举基本事件，常见的列举方法有：枚举法和树状图法，列举时应遵循不重不漏的基本原则，考查计算能力，属于中等题．
3．A
解析：A 【分析】
列出所有可以表示成和为6的正整数式子，找到加数全部为质数的只有336+=，利用古典概型求解即可. 【详解】
6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3), (4,2),(5,1), 而加数全为质数的有(3,3), 根据古典概型知，所求概率为15
P =. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了古典概型，基本事件，属于容易题.
4．D
解析：D 【分析】
利用与面积有关的几何概型概率计算公式求解即可. 【详解】
由题可知,正方形的面积为=22=4S ⨯正,设这个月牙图案的面积为S , 由与面积有关的几何概型概率计算公式可得,
向这个正方形里随机投入芝麻,落在月牙形图案内的概率为
150=4500S S P S =
=正,解得65
S =. 故选:D 【点睛】
本题考查与面积有关的几何概型概率计算公式;属于基础题、常考题型.
5．B
解析：B 【分析】
由古典概型及其概率计算公式得：有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是
604
1057
=，得解． 【详解】
由已知有分别从A ，B 两个县的15人中各选1人，已知有人表现突出，则共有
111115*********C C C C ⋅-⋅=种不同的选法，
又已知有人表现突出，且B 县选取的人表现不突出，则共有11
51260C C ⋅=种不同的选法， 已知有人表现突出，则B 县选取的人表现不突出的概率是
604
1057
=. 故选：B ． 【点睛】
本题考查条件概率的计算，考查运算求解能力，求解时注意与古典概率模型的联系.
6．D
解析：D 【分析】
采用数形结合，计算ABC S ∆，以及“M 点到三个村庄,,A B C 的距离都不小于2km ”这部分区域的面积S ，然后结合几何概型，可得结果. 【详解】
由题可知：222AB BC AC += 所以该三角形为直角三角形
分别以,,A B C 作为圆心，作半径为2的圆 如图所以
则 “M 点到三个村庄,,A B C 的距离都不小于2km ” 该部分即上图阴影部分，记该部分面积为S
11
682422
ABC S AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯=
又三角形内角和为π， 所以21
22422
ABC S S ππ∆=-
⨯=- 设M 点到三个村庄,,A B C 的距离都不小于2km 的概率为P 所以242122412
ABC
S P S ππ
∆--==
= 故选：D 【点睛】
本题考查面积型几何概型问题，重点在于计算面积，难点在于计算阴影部分面积，考验理
解能力，属基础题.
7．C
解析：C 【分析】
由正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，可得两正方形边长相等，设边长为3，由
2
3
CN NG AB ==
，可得正方形MCNG 的边长为2，分别求出阴影部分的面积及多边形ABCDEFGH 的面积，由测度比为面积比得答案. 【详解】
如图所示，由正方形ABNH 、DEFM 的面积相等，可得两正方形边长相等， 设边长为3，由2
3
CN NG AB ==
，可得正方形MCNG 的边长为2， 则阴影部分的面积为224⨯=，
多边形ABCDEFGH 的面积为2332214⨯⨯-⨯=. 则向多边形ABCDEFGH 内投一点， 则该点落在阴影部分内的概率为42147
=. 故选：C.
【点睛】
本题主要考查了几何概型的概率的求法，关键是求出多边形ABCDEFGH 的面积，着重考查了推理与运算能力，以及数形结合的应用，属于基础题.
8．B
解析：B 【分析】
求出函数的导数，根据函数的极值点的个数求出m 的范围，通过判断a ，b ，c ，d 的范围，得到满足条件的概率值即可． 【详解】
f ′（x ）＝x 2+2mx +1， 若函数f （x ）有极值点， 则f ′（x ）有2个不相等的实数根， 故△＝4m 2﹣4＞0，解得：m ＞1或m ＜﹣1，
而a ＝log 0.55＜﹣2，0＜b ＝log 32＜1、c ＝20.3＞1，0＜d ＝（
12
）2
＜1，
满足条件的有2个，分别是a ，c ， 故满足条件的概率p 2142
==， 故选：B ． 【点睛】
本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及对数、指数的性质，是一道中档题．
9．C
解析：C 【分析】
欲求所投的点落在叶形图内部的概率，须结合定积分计算叶形图（阴影部分）平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式求解． 【详解】
联立2
y y x
⎧=⎪
⎨
=⎪⎩(1,1)C . 由图可知基本事件空间所对应的几何度量1OBCA S =正方形， 满足所投的点落在叶形图内部所对应的几何度量：
S （A
）31
2
3120021
)()|33
x dx x x ==-⎰13=． 所以P （A ）1
()1313
OBCA
S A S ===正方形． 故选：C ． 【点睛】
本题综合考查了几何概型及定积分在求面积中的应用，考查定积分的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
10．D
解析：D 【分析】
求出B 点位置所有基本事件的弧长，再求出满足条件AB 长度大于圆半径的基本事件对应的弧长，根据几何概型概率的计算公式，即可得到答案. 【详解】
设圆M 的半径为R ，B 为圆上的任意一点， 则B 点位置所有情况对应的弧长为圆的圆周长2R π， 其中满足条件AB 长度大于圆半径长对应的弧长为
2
23
R π⋅， 则“线段AB 的长度大于圆M 的半径”的概率约为2
223
23
R
R ππ⋅=.
故选:D 【点睛】
本题考查几何概型概率的求法，其中根据条件计算出所有基本事件的几何量和满足条件的基本事件对应的几何量是解题的关键，属于中档题.
11．C
解析：C 【分析】
由题意从(1)班、(2)班的样本中各取一份，(2)班成绩更好即(2)班成绩比(1)班成绩高，用列举法列出所有可能结果，由此计算出概率． 【详解】
根据题意，两次取出的成绩一共有36种情况；分别为
()67,68、()67,72、()67,73、()67,85、()67,89、()67,93 ()76,68、()76,72、()76,73、()76,85、()76,89、()76,93 ()78,68、()78,72、()78,73、()78,85、()78,89、()78,93 ()82,68、()82,72、()82,73、()82,85、()82,89、()82,93 ()85,68、()85,72、()85,73、()85,85、()85,89、()85,93 ()92,68、()92,72、()92,73、()92,85、()92,89、()92,93
满足条件的有18种，故18312
6p ==， 故选C 【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12．A
解析：A 【分析】
设2BC =，将圆心角为
3
π
的扇形面积减去等边三角形的面积可得出弓形的面积，由此计
算出图中“勒洛三角形”的面积，然后利用几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】
如下图所示，设2BC =，则以点B 为圆心的扇形面积为2122=233
ππ⨯⨯，
等边ABC ∆的面积为
212sin 23π
⨯⨯=23
π- 所以，勒洛三角形的面积可视为一个扇形面积加上两个弓形的面积，
即
222233πππ⎛+⨯=- ⎝
∴在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形外部的概率
(
)()3233
123
23πππ--
=
--，故选A.
【点睛】
本题考查几何概型概率的计算，解题的关键就是要求出图形相应区域的面积，解题时要熟悉一些常见平面图形的面积计算方法，考查计算能力，属于中等题.
二、填空题
13．【分析】计算出都不在盒子中的概率利用对立事件的概率公式可求得结果【详解】记事件从五个分别标有的小球随机取出三个小球放进三个盒子则至少有一个在盒子中则事件从五个分别标有的小球随机取出三个小球放进三个盒 解析：
910
【分析】
计算出D 、E 都不在盒子中的概率，利用对立事件的概率公式可求得结果. 【详解】
记事件:M 从五个分别标有A 、B 、C 、D 、E 的小球，随机取出三个小球放进三个盒子，则D 、E 至少有一个在盒子中，
则事件:M 从五个分别标有A 、B 、C 、D 、E 的小球，随机取出三个小球放进三个盒子，则D 、E 都不在盒子中，
所有的基本事件有：ABC 、ABD 、ABE 、ACD 、ACE 、ADE 、BCD 、BCE 、
BDE 、CDE ，共10种，
事件M 所包含的基本事件为：ABC ，共1种， 故()()
19111010
P M P M =-=-=. 故答案为：910
. 【点睛】
方法点睛：求解古典概型概率的方法如下： （1）列举法； （2）列表法； （3）数状图法； （4）排列组合数的应用.
14．【解析】五种抽出两种的抽法有种相克的种数有5种故不相克的种数有5种故五种不同属性的物质中随机抽取两种则抽取的两种物质不相克的概率是故答案为 解析：
12
【解析】
五种抽出两种的抽法有2
510C =种，相克的种数有5种，故不相克的种数有5种，故五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率是
12，故答案为12
. 15．【分析】根据函数解析式可求得定义域和的定义域即可由几何概型概率求解【详解】函数的定义域为则的定义域为即解得即根据几何概型的概率计算公式得故答案为：【点睛】本题考查了函数定义域的求法复合函数定义域的求
【分析】
根据函数解析式，可求得()f x 定义域M 和(())y f f x =的定义域P ，即可由几何概型概率求解. 【详解】
函数()f x =M ，则[1,1]M =-，
(())y f f x =的定义域为P
[]1,1-
，解得1,22x ⎡⎤
∈--⋃⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，即1,P ⎡⎤
=-⋃⎢⎥⎣⎦⎣⎦
．
根据几何概型的概率计算公式得21222
⎛⨯- -⎝⎭=
【点睛】
本题考查了函数定义域的求法，复合函数定义域的求法，几何概型概率求法，属于中档题.
16．【分析】本题利用几何概型求解先根据到点的距离等于1的点构成图象特征求出其体积最后利用体积比即可得点到点的距离不大于1的概率；【详解】解：由题意可知点P 到点或的距离都不大于1的点组成的集合分别以为球心
解析：1
6
【分析】
本题利用几何概型求解．先根据到点的距离等于1的点构成图象特征，求出其体积，最后利用体积比即可得点P 到点1O ，2O 的距离不大于1的概率； 【详解】
解：由题意可知，点P 到点1O 或2O 的距离都不大于1的点组成的集合分别以1O 、2O 为球心，1为半径的两个半球，其体积为314421233
ππ
⨯⨯
⨯=，又该圆柱的体积为
22228V r h πππ==⨯⨯=，则所求概率为
41386
P π
π==
. 故答案为：1
6
【点睛】
本题主要考查几何概型、圆柱和球的体积等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力、化归与转化思想．关键是明确满足题意的测度为体积比．
17．【分析】由题意知本题是一个古典概型从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法列出满足所有可能情况代入公式得到结果【详解】从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法则的情况有：共有28种所 解析：
725
【分析】
由题意知本题是一个古典概型，从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法，列出满足||1a b -所有可能情况，代入公式得到结果。

【详解】
从0~9中任意取两个数（可重复）共有100种取法，则||1a b -的情况有：()0,0，
()1,1，()2,2，()3,3，()4,4，()5,5，()6,6，()7,7，()8,8，()9,9，()0,1，()1,0，()1,2，()2,1，()2,3，()3,2，()3,4，()4,3，()4,5，()5,4，()5,6，
()6,5，()6,7，()7,6，()7,8，()8,7，()8,9，()9,8共有28种，所以287
10025
P =
=. 【点睛】
本题考查了古典概型的概率计算问题，属于基础题。

18．【解析】【分析】先求出满足题意的体积运用几何概型求出结果【详解】由题意可知总的基本事件为正方体内的点可用其体积满足的基本事件为为球心3为半径的求内部在正方体中的部分其体积为故则的长度大于3的概率【点 解析：16
π
-
【解析】 【分析】
先求出满足题意的体积，运用几何概型求出结果 【详解】
由题意可知总的基本事件为正方体内的点，可用其体积3327=， 满足||3AE 的基本事件为A 为球心3为半径的求内部在正方体中的部分， 其体积为3
1493832
V ππ=⨯⨯=，故则AE 的长度大于3的概率9211276
P π
π=-=-．
【点睛】
本题考查了几何概型，读懂题意并计算出结果，较为基础
19．【解析】【分析】列出随机变量的分布列求解【详解】由题意知某人到达银行的概率为几何概型所以：其到达银行时服务窗口的个数为的分布列为： 5 4 3 4 2 则【点睛】本题考查几何概型及随 解析：3.5625
【解析】 【分析】
列出随机变量的分布列求解. 【详解】
由题意知某人到达银行的概率为几何概型，所以： 其到达银行时服务窗口的个数为的分布列为：
则()54342 3.56258161648
E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
本题考查几何概型及随机变量的分布列.
20．【解析】【分析】列举出所有的结果选出的所有的结果根据古典概型概率公式可求出函数是增函数的概率【详解】所有取值有：共12个值当时为增函数有共有6个所以函数是增函数的概率为故答案为【点睛】本题主要考查古
解析：1
2
【解析】 【分析】 列举出
a
b
所有的结果，选出1a b >的所有的结果，根据古典概型概率公式可求出函数
()log a b
f x x =是增函数的概率.
【详解】
a b 所有取值有：135713571157
,,,,,,,,,,,222244446266
共12个值， 当
1a b >时，()f x 为增函数，有357577
,,,,,222446
共有6个， 所以函数()log a b
f x x =是增函数的概率为
61
12
2
=，故答案为12
. 【点睛】
本题主要考查古典概型概率公式的应用以及对数函数的性质，属于中档题. 在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数n ，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m ，然后根据公式m
P n
=
求得概率. 三、解答题
21．（1）29
50
（2）见解析（3）乘坐高铁，见解析 【分析】
（1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；
（2）依题意可知X 服从二项分布，先计算出随机选取1人次，此人为老年人概率是
151755=，所以1~(2,)5X B ，即22
11()()(1)55k k
k P x k C -==-，即可求出X 的分布列和数学期望；
（3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机． 【详解】
（1）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M ， 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42， 所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率193929
()10050
P M +==； （2）由题意，X 的所有可能取值为：0，1，2，
因为在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人 为老年人概率是
151
755
=， 所以02
2116(0)(1)525
P X C ==⨯-=
， 1
2118(1)(1)5525P X C ==⨯⨯-=，
2
2211(2)()525
P X C ==⨯=，
所以随机变量X 的分布列为：
故()0122525255
E X =⨯
+⨯+⨯=； （3）从满意度的均值来分析问题如下： 由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：5210125110116
52121115
⨯+⨯+⨯=
++， 乘坐飞机的人满意度均值为：4101457022
41475
⨯+⨯+⨯=
++， 因为
11622
155
>， 所以建议甲乘坐高铁从A 市到B 市． 【点睛】
本题主要考查分层抽样的应用、古典概型的概率计算、以及离散型随机变量的分布列和期望的计算，解题关键是对题意的理解，概率模型的判断，属于中档题． 22．（1） 3.421.5y x =+，甲户在2019年能够脱贫；（2）7
10
． 【分析】
（1）由已知数据求得ˆb
与ˆa 的值，得到线性回归方程，取5x =求得y 值，说明甲户在2019年能否脱贫；
（2）列出从该村剩余5户贫困户中任取2户的所有可能情况，利用随机事件的概率计算公式求解． 【详解】
解：（1）根据表格中数据可得，
1234542x +++=
=，25283235304
y +++==，
1
125228332435317n
i i
i x y
==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，222221
123430n
i i x ==+++=∑，
所以1
2
2
2
1
5
317430
2ˆ
3.453042n
i i
i n
i
i x y nx y
b x
nx ==-⋅-⨯⨯=
==⎛⎫
--⨯ ⎪
⎝⎭
∑∑，5ˆ30 3.421.52a y bx =-=-⨯=， y ∴关于x 的线性回归方程 3.421.5y x =+， 当5x =时，38.5y =（百元），
38503747>，∴甲户在2019年能够脱贫；
（2）设没有脱贫的2户为A ，B ，另3户为C ，D ，E ，
所有可能的情况为：AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE 共有10种可能．
其中至少有一户没有脱贫的可能情况有7种．
∴至少有一户没有脱贫的概率为
710
． 【点睛】
本题考查线性回归方程的求法，考查随机事件概率的求法，属于中档题． 23．（1）
23
114
（2）（i ）分布列见解析（ii ）这3个月经济损失总额的数学期望会超过2.88万元，理由见详解. 【分析】
（1）根据古典概型的概率计算公式即可容易求得；
（2）（i ）求得X 的取值，再根据题意，求得对应取值的概率，则分布列得解； （ii ）根据（i ）中所求，结合题意，求得3个月因空气质量造成经济损失的总额，即可容易判断. 【详解】
（1）设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数，则
213061461433
202023
(2)(2)(3)114
C C C C P P P C C ξξξ==+==+=. （2）（ⅰ）X 的可能取值为0，220，1480，
201(0)(0100)1005
P X P x ===
=， 707(220)(100250)10010P X P x ==<=
=， 101
(1480)(250300)10010
P X P x ==<=
=， 则X 的分布列为
（ii ）由（i ）知171
0220148030251010
EX =⨯
+⨯+⨯=（元）， 故该企业9月的经济损失的数学期望为309060EX =（元）. 设该企业7月与8月每天因空气质量造成的经济损失为Y 元， 则111(0)632P Y ==
+=，1111
(220)612123P Y ==++=， 1(1480)6
P Y ==
，
所以111
02201480320236
EY =⨯
+⨯+⨯=（元）， 所以7月与8月因空气质量造成经济损失的总额为320(3131)19840⨯+=（元）. 因为19840906028900 2.88+=>万，
所以这3个月经济损失总额的数学期望会超过2.88万元. 【点睛】
本题考查古典概型的概率求解，涉及离散型随机变量分布列的求解，涉及数学期望的计算，属综合中档题. 24．（1）16；（2）14
【分析】
（1）分别求出从{2,1,1,2}--中任取两个不同的数所构成的直线条数及满足图象经过第二、三、四象限的直线条数，由古典概型概率公式求解； （2）由题意画出图形，再由测度比是面积比得答案． 【详解】
（1）从{2,1,1,2}--中任取两个不同的数，所构成直线()f x ax b =+的条数为2
412A =条，
满足图象经过第二、三、四象限的直线有21y x =--与2y x =--两条，
∴所求概率21
126
P =
=； （2）满足约束条件11
11a b -⎧⎨-⎩
的区域的面积为224⨯=，
若函数()f x ax b =+的图象经过第二、三、四象限，
则10
10a b -<⎧⎨-<⎩
，所占区域面积为111⨯=．
∴所求概率为1
4
P =．
【点睛】
本题考查古典概型与几何概型的概率计算，考查数形结合思想和数据处理能力． 25．(1)a=0.11,b=0.04;(2)
23
.
【分析】
(1)课外阅读时间落在[6，8)的有22人，频率为0.22，由此能求出a ，课外阅读时间落在
[2，4)的有8人，频率为0.08，由此能求出b ；(2)课外阅读时间落在[14，16)的有2人，设为m ，n ；课外阅读时间落在[16，18)的有2人为x ，y ，由此利用列举法能求出从课外阅读时间落在[14，18)的学生中任选2人，其中恰好有1人阅读时间在[14，16)，另1人阅读时间在[16，18)的概率．
【详解】
(1)课外阅读时间落在[6，8)的有22人，频率为0.22， 所以0.220.112
a == 课外阅读时间落在[2，4)的有8人，频率为0.08， 所以0.080.042
b == (2)课外阅读时间落在[14，16)的有2人，设为m ，n ；课外阅读时间落在[16，18)的有2
人为x ，y ，
则从课外阅读时间落在[14，18)的学生中任选2人包含：
(,)m n ，(,)m x ，(,)m y ，(,)n x ，(,)n y ，(,)x y 共6种，
其中恰好有1人阅读时间在[14，16)，
另1人阅读时间在[16，18)的有(,)m x ，(,)m y ，(,)n x ，(,)n y 共4种， 所以所求概率为：4263p =
=． 【点睛】
本题考查频率直方图的求法，考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，是基础题．
26．（1）0.10；（2）
23 【分析】
（1）由图中小矩形的面积之和为1可得[140，170）的频率，再由频率之比即得；（2）先确定[140，150），[150，160），[160，170]三个区间的频率，再分层抽样，最后根据古典概型求出概率。

【详解】
（1）∵图中小矩形的面积之和为1，
∴[140，170）的频率为：1﹣（0.04+0.12+0.19+0.30）＝0.35，
∵[140，150），[150，160），[160，170）的频率之比为4：2：1，
∴[150，160）的频率为20.357
⨯=0.10， （2）∵区间[140，150）的频率为
40.357⨯=0.20，。