(典型题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试(有答案解析)(1)

一、选择题
1．已知正三棱柱111ABC A B C -，底面正三角形ABC 的边长为2，侧棱1AA 长为2，则点1B 到平面1A BC 的距离为（ ）
A ．2217
B ．22121
C ．477
D ．4721
2．已知AB 是平面α外的一条直线，则下列命题中真命题的个数是（ ）
①在α内存在无数多条直线与直线AB 平行；
②在α内存在无数多条直线与直线AB 垂直；
③在α内存在无数多条直线与直线AB 异面；
④一定存在过AB 且与α垂直的平面β.
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．《九章算术》与《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》卷五商功篇中介绍了羡除（此处是指三面为等腰梯形，其他两侧面为直角三角形的五面体）体积的求法.在如图所示的羡除中，平面ABDA '是铅垂面，下宽3m AA '=，上宽4m BD =，深3m ，平面BDEC 是水平面，末端宽5m CE =，无深，长6m （直线CE 到BD 的距离），则该羡除的体积为（ ）
A ．324m
B ．330m
C ．336m
D ．342m 4．在我国古代，将四个角都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．在“鳖臑”ABCD 中，
AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥且AB BD CD ==，若该四面体的体积为43
，则该四面体外接球的表面积为（ ）
A ．8π
B ．12π
C ．14π
D ．16π
5．在长方体1111ABCD A B C D -中，12,3AB BC AA ===，E 是BC 的中点，则直线1
ED
与直线BD 所成角的余弦值是（ ）
A ．728
B ．728-
C ．3714
D ．3714
- 6．已知正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =，M 是1CC 的中点，则异面直线AM 与1A B 所成角的大小为（ ）
A ．π6
B ．π4
C ．π3
D ．π2
7．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）
A ．24
B ．30
C ．47
D ．67
8．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形.其中3AB =，2AD =，PAD △是以A ∠为直角的等腰直角三角形，若60PAB ∠=︒，则异面直线PC 与AD 所成角的余弦值是（ ）
A 22
B ．22
C 27
D ．1111
9．在四棱锥P -ABCD 中，//AD BC ，2AD BC =，E 为PD 中点，平面ABE 交PC 于F ，则PF FC
=（ ） A ．1 B ．32 C ．2 D ．3
10．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的体积为（ ）
A ．43
B ．83
C ．3
D ．4 11．在正方体1111ABCD A B C D -中，三棱锥11A B CD -的表面积为43，则正方体外接球的体积为（ ）
A ．43π
B ．6π
C ．323π
D ．86π 12．如图，长、宽、高分别为2、1、1的长方体木块上有一只小虫从顶点A 出发沿着长方体的外表面爬到顶点B ，则它爬行的最短路程是（ ）
A 10
B 5
C ．22
D ．3
二、填空题
13．点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，3AB BC AC ===，若四面体ABCD 体积3______. 14．如图，四边形ABCD 是矩形，且有2AB BC =，沿AC 将ADC 翻折成AD C '，
当二面角D AC B '--的大小为3π时，则异面直线D C '与AB 所成角余弦值是______.
15．在三棱柱111ABC A B C -中侧棱垂直底面且底面是ABC 为等边三角形且
12A A AB =，E 在棱1AA 上，112
AE A A =
，则异面直线1AC 与BE 所成角的余弦值___________. 16．一个三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长棱的长度为_______.
17．一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出，需要设计一个各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体．已知文物近似于塔形（如图所
示），高1.8米，体积0.5立方米，其底部是直径为0.9米的圆形，要求文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2米，气体每立方米1000元，则气体费用最少为_________元．
18．如图，已知一个八面体的各条棱长均为2，四边形ABCD 为正方形，给出下列说法：
①该八面体的体积为83；②该八面体的外接球的表面积为8π； ③E 到平面ADF 的距离为3；④EC 与BF 所成角为60°.
其中正确的说法为__________.（填序号）
19．如图，在三棱锥V ABC -中，22AB =，VA VB =，1VC =，且AV BV ⊥，AC BC ⊥，则二面角V AB C --的余弦值是_____．
20．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是__________．
三、解答题
21．如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD//QA ，
112QA AB PD ===.
（1）证明：直线PQ ⊥平面DCQ ；
（2）求二面角D QB A --的余弦值.
22．在三棱锥A BCD -中，BCD △为等腰直角三角形，点E ，G 分别是线段BD ，CD 的中点，点F 在线段AB 上，且2BF FA =.若1AD =，3AB =，
2CB CD ==.
（Ⅰ）求证：//AG 平面CEF ；
（Ⅱ）求直线AD 与平面CEF 所成的角.
23．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，若12AB BB =，AD DC =，试证明：
（1）1//AB 平面1BC D ；
（2）11AB BC ⊥.
24．如图，在直角梯形ABED 中，//BE AD ，DE AD ⊥，BC AD ⊥，4AB =，23BE =.将矩形BEDC 沿BC 翻折，使得平面ABC ⊥平面BCDE .
（1）若BC BE =，证明：平面ABD ⊥平面ACE ；
（2）当三棱锥A BCE -的体积最大时，求平面ADE 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值.
25．如图，正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，M 是侧棱1AA 的中点．
（1）在图中作出平面ABC 与平面1MBC 的交线l （简要说明），并证明l ⊥平面11CBB C ；
（2）求点C 到平面1MBC 的距离．
26．在三棱锥P ABC -中，G 是底面ABC 的重心，D 是线段PC 上的点，且2PD DC =.
（1）求证：DG//平面PAB ；
（2）若PAB △是以PB 为斜边的等腰直角三角形，求异面直线DG 与PB 所成角的余弦值.
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
根据题意，将点1B 到平面1A BC 的距离转化为点A 到平面1A BC 的距离，然后再利用等体积法11A A BC A ABC V V --=代入求解点A 到平面1A BC 的距离.
【详解】
已知正三棱柱111ABC A B C -，底面正三角形ABC 的边长为2，侧棱1AA 长为2，所以可得11
22==A B AC 1A BC 为等腰三角形，所以1A BC 7，由对称性可知，111--=B A BC A A BC V V ，所以点1B 到平面1A BC 的距离等于点A 到平面1A BC 的距离，所以11A A BC A ABC V V --=，又因为112772=⨯=A BC S △12332
ABC S =⨯=111233⨯⨯=⨯⨯A BC ABC S h S △△，即2322177
h == 故选：A.
【点睛】
一般关于点到面的距离的计算，一是可以考虑通过空间向量的方法，写出点的坐标，计算平面的法向量，然后代入数量积的夹角公式计算即可，二是可以通过等体积法，通过换底换高代入利用体积相等计算.
2．C
解析：C
【分析】
根据线面平行，线面垂直，异面直线等有关结论和定义即可判断．
【详解】
对于A，若直线AB与平面α相交，则在α内不存在直线与直线AB平行，错误；
α=，过平面α外直线AB上一点对于B，若直线AB与平面α相交且不垂直，设AB M
⊥，垂足为C，则在平面α内过点C一定可以作一条直线CD，使得
P作PCα
⊥，而在平面α内，与直线CD平行的直线有无数条，所以在⊥，所以CD AB
CD CM
α内存在无数多条直线与直线AB垂直，若直线AB与平面α垂直，显然在α内存在无数多条直线与直线AB垂直，当直线AB与平面α平行时，显然可知在α内存在无数多条直线与直线AB垂直，正确；
α=，根据异面直线的判定定理，在平面α对于C，若直线AB与平面α相交，设AB M
内，不过点M的直线与直线AB异面，所以在α内存在无数多条直线与直线AB异面，当直线AB与平面α平行时，显然可知在α内存在无数多条直线与直线AB异面，正确；
α=，过平面α外直线AB上一点对于D，若直线AB与平面α相交且不垂直，设AB M
⊥，垂足为C，所以平面ABC与平面α垂直，若直线AB与平面α垂直，则P作PCα
过直线AB的所有平面都与平面α垂直，当直线AB与平面α平行时，在直线AB上取一⊥，垂足为C，所以平面ABC与平面α垂直，正确．
点P作PCα
故真命题的个数是3个．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查线面平行，线面垂直，异面直线等有关结论和定义的理解和应用，熟记定
义，定理和有关结论是解题的关键，属于中档题．
3．C
解析：C
【分析】
在BD ，CF 上分别取点B '，C '，使得3m BB CC ''==，连接A B ''，A C ''，B C ''，把几何体分割成一个三棱柱和一个四棱锥，然后由棱柱、棱锥体积公式计算．
【详解】
如图，在BD ，CF 上分别取点B '，C '，使得3m BB CC ''==，连接A B ''，A C ''，B C ''，则三棱柱ABC A B C '''-是斜三棱柱，该羡除的体积V V =三棱柱ABC A B C '''-V +四棱锥A B DEC '''-()311123636336m 232+⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 故选：C ．
【点睛】
思路点睛：本题考查求空间几何体的体积，解题思路是观察几何体的结构特征，合理分割，将不规则几何体体积的计算转化为锥体、柱体体积的计算．考查了空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力．
4．B
解析：B
【分析】 由题意计算2,AB BD CD ===分析该几何体可以扩充为长方体，所以只用求长方体的外接球即可.
【详解】
因为AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥且AB BD CD ==， 43A BCD V -=
， 而114323
A BCD V BD CD A
B -=⨯⨯⨯=,所以2AB BD CD ===， 所以该几何体可以扩充为正方体方体，所以只用求正方体的外接球即可.
设外接球的半径为R ，则223R =, 所以外接球的表面积为2412S R ππ== 故选：B 【点睛】
多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：
(1)公式法；(2) 多面体几何性质法；(3)补形法；(4)寻求轴截面圆半径法；(5)确定球心位置法．
5．C
解析：C 【分析】
连接11D B 、1D E 、DE ，先证明四边形11BB D D 为平行四边形，得到11//B D BD ，故异面直线1ED 与BD 所成的角即为相交直线1ED 与11D B 所成的角，由余弦定理可得答案. 【详解】
连接11D B 、1D E 、DE ，
因为棱11//BB DD ，11BB DD =，所以四边形11BB D D 为平行四边形，
所以11//B D BD ，故异面直线1ED 与BD 所成的角即为相交直线1ED 与11D B 所成的角
11B D E ∠，因为12,3AB AD AA ===,1BE CE ==，
所以2211111122B D D C B C =
+=213110B E =+=222415ED CE DC +=+==，
所以222
115914
D E ED D D
==+=
+，由余弦定理得，
从而
222 1111
11
111
37
cos
24214
B D D E B E
B D E
B D D E
+-
∠===
⨯⨯
.
故选：C
【点睛】
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，关键点是找到异面直线所成的角，考查空间中线线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
6．D
解析：D
【分析】
取AC中点E，连接1,
A E BE，先通过BE⊥平面11
ACC A可得BE AM
⊥，再由1
ACM A AE
≅可得
1
AM A E
⊥，即可得出AM⊥平面
1
A BE，即
1
AM A B
⊥.
【详解】
取AC中点E，连接1,
A E BE，
ABC为正三角形，BE AC
∴⊥，
正三棱柱111
ABC A B C
-中，
1
CC⊥平面ABC，BE⊂平面ABC，
1
CC BE
∴⊥，
1
AC CC C
=，BE
∴⊥平面11
ACC A，
AM⊂平面11
ACC A，BE AM
∴⊥，
在直角三角形ACM和直角三角形1A AE中，
1
,
AC A A CM AE
==,
1
ACM A AE
∴≅，
1
CAM AA E
∴∠=∠，
12
CAM A EA
π
∴∴∠+∠=，则
1
AM A E
⊥，
1
BE A E E
⋂=，AM
∴⊥平面1A BE，
1
A B⊂平面
1
A BE，
1
AM A B
∴⊥，
故异面直线AM与1A B所成角的大小为
2
π
.
【点睛】
本题考查异面直线所成角的求解，解题的关键是通过证明AM ⊥平面1A BE 判断出
1AM A B ⊥.
7．D
解析：D 【分析】
先找到几何体的原图，再求出几何体的高，再求几何体的体积得解. 【详解】
由三视图可知几何体为图中的四棱锥1P CDD E -， 由题得22437AD =-7 所以几何体的体积为11
(24)676732
⋅+⋅=. 故选：D 【点睛】
方法点睛：通过三视图找几何体原图常用的方法有：（1）直接法；（2）拼凑法；（3）模型法.本题利用的就是模型法.要根据已知条件灵活选择方法求解.
8．D
解析：D 【分析】
在图形中找到（并证明）异面直线所成的角，然后在三角形中计算． 【详解】
因为//AD BC ，所以PCB ∠是异面直线PC 与AD 所成角（或其补角）， 又PA AD ⊥，所以PA BC ⊥，
因为AB BC ⊥，AB PA A ⋂=，,AB PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ， 又PB ⊂平面PAB ，所以PB BC ⊥． 由已知2PA AD ==，所以
22222cos 23223cos607PB PA AB PA AB PAB =+-⋅∠=+-⨯⨯︒=
22211
cos 11(
7)2
BC PCB PC ∠=
==+， 所以异面直线PC 与AD 所成角的余弦值为211
11
． 故选：D ． 【点睛】
思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤
⎥⎝
⎦
，当所作的角为钝角时，应取它的
补角作为两条异面直线所成的角．
9．C
解析：C 【分析】
首先通过延长直线,DC AB ，交于点G ，平面BAE 变为GAE ，连结PG ，EG 交于点
F ，再根据三角形中线的性质，求
PF
FC
的值. 【详解】
延长,DC AB ，交于点G ，连结PG ，EG 交PC 于点F ，
//AD BC ，且2AD BC =，可得点,B C 分别是,AG DG 的中点，
又
点E 是PD 的中点，PC ∴和GE 是△PGD 的中线，
∴点F 是重心，得
2PF
FC
=
故选：C 【点睛】
关键点点睛：本题的关键是找到PC 与平面BAE 的交点，即将平面BAE 转化为平面
GAE 是关键. 10．A
解析：A 【分析】
首先由三视图还原几何体，然后由几何体的空间结构特征求解三棱锥的体积即可. 【详解】
由三视图可知，在棱长为2的正方体中，其对应的几何体为棱锥P ABC -，
该棱锥的体积：11142223323V Sh ⎛⎫
==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
. 故选：A. 【点睛】
方法点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．
11．B
解析：B 【分析】
根据三棱锥的表面积进一步求出正方体的棱长，最后求出正方体的外接球的半径，进一步求出结果． 【详解】
解：设正方体的棱长为a ，则1111112B D AC AB AD B C D C a ======， 由于三棱锥11A B CD -的表面积为3 所以)
12
133442242
AB C
S S a
==⨯⨯
=所以2a =
()()()
222
2226
++
=，
所以正方体的外接球的体积为
3
46
6 3
ππ
⎛⎫
=
⎪
⎪
⎝⎭
故选：B．
【点睛】
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
12．C
解析：C
【分析】
小虫有两种爬法，一种是从点A沿着侧面ACGF和上底面BHFG爬行，另一种是从点A 沿着侧面ACGF和侧面BDCG爬行，将两种情况下的两个面延展为一个面，计算出平面图形的对角线长，比较大小后可得结果.
【详解】
由于长方体ACDE FGBH
-的长、宽、高分别为2、1、1，则小虫从点A沿着侧面AEHF和上底面FHBG爬行，以及小虫从点A沿着侧面ACGF和侧面BDCG爬行，这两条线路的最短路程相等.
①若小虫从点A沿着侧面ACGF和上底面BHFG爬行，将侧面ACGF和上底面BHFG 延展为一个平面，如下图所示：
则2AC BC ==，最短路程为2222AB AC BC =+=；
②若小虫从点A 沿着侧面ACGF 和侧面BDCG 爬行，将面ACGF 和侧面BDCG 延展
为一个平面，如下图所示：
则3AD AC CD =+=，1BD =，最短路程为2210AB AD BD =+.
因为2210<，因此，小虫爬行的最短路程为22 故选：C. 【点睛】
方法点睛：（1）计算多面体或旋转体的表面上折线段的最值问题时，一般采用转化的方法进行，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状；
（2）对于几何体内部折线段长的最值，可采用转化法，转化为两点间的距离，结合勾股定理求解.
二、填空题
13．【分析】先由题意得到的面积以及外接圆的半径记的外接圆圆心为为使四面体体积最大只需与面垂直由此求出设球心为半径为根据为直角三角形由勾股定理列出等式求出球的半径即可得出结果【详解】根据题意知是一个等边三 解析：
254
π
【分析】
先由题意，得到ABC 的面积，以及ABC 外接圆的半径，记ABC 的外接圆圆心为
Q ，为使四面体ABCD 体积最大，只需DQ 与面ABC 垂直，由此求出2DQ =，设球心
为O ，半径为R ，根据AQO 为直角三角形，由勾股定理列出等式，求出球的半径，即可得出结果.
根据题意知，ABC 是一个等边三角形，其面积为
()
2
2
1333
332
2S ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭
，ABC 外接圆的半径为1312sin 60r =⨯=，记ABC 的外接圆圆心为Q ，则1AQ r ==；
由于底面积ABC
S
不变，高最大时体积最大，
所以DQ 与面ABC 垂直时体积最大，最大值为
1
33
2
ABC S DQ ⋅=
，2DQ ∴=， 设球心为O ，半径为R ，则在直角AQO 中，222
OA AQ OQ =+，
即222
1(2)R R =+-，54
R ∴=
， 则这个球的表面积为：2
525444S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭
.
故答案为：254
π
. 【点睛】 思路点睛：
求解几何体与球外接问题时，一般需要先确定底面外接圆的圆心位置，求出底面外接圆的半径，根据球的性质，结合题中条件确定球心位置，求出球的半径，进而即可求解.
14．【分析】作于于可得等于二面角的平面角从而可得然后求得而因此可得是异面直线与所成角（或补角）这样在求解可得【详解】如图作于于则连接根据二面角平面角的定义知与的夹角等于二面角的平面角所以因为所以设则在矩
解析：
12
． 【分析】
作DM AC ⊥于M ，BN AC ⊥于N ，可得,MD NB '<>等于二面角D AC B '--的平面角，从而可得DMD '∠，然后求得DD '，而//AB CD ，因此可得D CD '∠是异面直线D C '与AB 所成角（或补角）．这样在DCD '求解可得．
如图，作DM AC ⊥于M ，BN AC ⊥于N ，则//DM BN ，连接,D M DD ''， 根据二面角平面角的定义知MD '与NB 的夹角等于二面角D AC B '--的平面角， 所以,3
MD NB π
'<>=，因为//DM BN ，所以23
DMD π'∠=
， 设1BC =，则22AB BC =
=，在矩形ABCD 中，3AC =，
126
3
DM ⨯=
=， 6D M DM '==
， 则
2
2
2222666612cos 22333332DD DM D M DM D M π⎛⎫⎛⎫⎛⎫
'''=+-⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
所以2DD '=
，
因为//AB CD ，所以D CD '∠是异面直线D C '与AB 所成角（或补角）．
DCD '是正三角形，3
D CD π
'∠=
，1cos 2
D CD '∠=
． 所以异面直线D C '与AB 所成角余弦值是12
． 故答案为：
12
．
【点睛】
关键点点睛：本题考查求异面直线所成的角，解题方法根据异面直线所成角定义作出它们所成的角，然后解三角形可得，解题关键是利用图中MD '与NB 的夹角等于二面角
D AC B '--的平面角，从而求得DMD '∠，只要设1BC =，可求得DD '，从而求得结
论．
15．【分析】取的中点连接可得所以或其补角即为异面直线与所成角在中求即可求解【详解】取的中点连接因为所以且所以或其补角即为异面直线与所成角设则所以因为是等边三角形所以因为平面平面所以所以在中因为异面直线所 310
取11A C 的中点1O ，连接1EO ，1AC ，可得11//EO AC ，所以1BEO ∠或其补角即为异面直线1AC 与BE 所成角，在1BEO 中，求1cos BEO ∠即可求解. 【详解】
取11A C 的中点1O ，连接1EO ，11B O ，EB ，EC ，1BO ，1AC ， 因为112AE A A =
，所以11//EO AC 且111
=2
EO AC ， 所以1BEO ∠或其补角即为异面直线1AC 与BE 所成角， 设1AB =，则12AA =， 所以2211115
=
12222
EO AC =+=
，112BE =+= 因为111A B C △是等边三角形，112AE A A =，所以2
111312B O ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
因为1BB ⊥平面111A B C ，11B O ⊂平面111A B C ，所以 1BB ⊥11B O ，
所以2
221111319
422BO BB B O ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭
， 在1BEO 中，
2
221
1
11519
231044cos 25
222
BE EO BO BEO BE EO +-
+-∠===⨯⨯⨯
， 因为异面直线所成的角为锐角或直角，
所以异面直线1AC 与BE 310
， 故答案为：310
20
【点睛】
思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤
⎥⎝
⎦
，当所作的角为钝角时，应取它的
补角作为两条异面直线所成的角．
16．【分析】由三视图还原几何体得到三棱锥P-ABC 分别计算其棱长可得答案【详解】由三视图还原几何体得到三棱锥P-ABC 可将此三棱锥放入棱长为2的正方体内如下图所示所以：BC=所以该三棱锥最长棱的长度为故 解析：23
【分析】
由三视图还原几何体得到三棱锥P -ABC ，分别计算其棱长，可得答案． 【详解】
由三视图还原几何体得到三棱锥P -ABC ，可将此三棱锥放入棱长为2的正方体内，如下图所示， 所以：2AB =
，BC =2,22,23BP AC PC AP ====.
所以该三棱锥最长棱的长度为23. 故答案为：23．
【点睛】
方法点睛：三视图问题的常见类型及解题策略：
(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．
(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．
(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．
17．4000【分析】根据题意先求出正四棱柱的底面边长和高由体积公式求出正
四棱柱的体积减去文物的体积可得罩内空气的体积进而求出所需的费用【详解】由题意可知文物底部是直径为09m 的圆形文物底部与玻璃罩底边至
解析：4000 【分析】
根据题意，先求出正四棱柱的底面边长和高，由体积公式求出正四棱柱的体积减去文物的体积可得罩内空气的体积，进而求出所需的费用. 【详解】
由题意可知，文物底部是直径为0.9 m 的圆形，文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3 m ， 所以由正方形与圆的位置关系可知：底面正方形的边长为0.9+2×0.3=1.5m ， 由文物高1.8m ，文物顶部与玻璃置上底面至少间隔0.2m ，所以正四棱柱的高为1.8+0.2=2m .，则正四棱柱的体积为V =1.52×2=4.5m 3 因为文物体积为0.5m 3,所以置内空气的体积为4.5-0.5 = 4 m 3, 气体每立方米1000元,所以共需费用为4×1000=4000（元） 【点睛】
数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式： 求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型.
18．②④【分析】①求出该八面体的体积即可判断；②可得球心为正方形ABCD 对角线交点即可得出半径求出表面积；③取AD 的中点G 连接EGFGEF 过E 作求出即可；④可得为所成角【详解】①八面体的体积为；②八面体
解析：②④ 【分析】
①求出该八面体的体积即可判断；②可得球心为正方形ABCD 对角线交点，即可得出半径求出表面积；③取AD 的中点G ，连接EG ，FG ，EF ，过E 作EH FG ⊥，求出EH 即可；④可得DEC ∠为所成角. 【详解】
①八面体的体积为212(23⨯⨯=
②八面体的外接球球心为正方形ABCD ，表面积为
8π；
③取AD 的中点G ，连接EG ，FG ，EF ，
易得3EG FG ==AD ⊥平面EGF ，
过E 作EH FG ⊥，交FG 的延长线于H ，
又EH AD ⊥，AD FG G ⋂=，故EH ⊥平面ADF ， 解得26
EH =
，所以E 到平面ADF 26； ④因为//ED BF ，所以EC 与BF 所成角为60︒. 故答案为：②④. 【点睛】
解本题的关键是正确理解正八面体的性质，根据线面垂直关系得到点到平面的垂线段.
19．【分析】取的中点连接证明出可得出面角的平面角为计算出利用余弦定理求得由此可得出二面角的余弦值【详解】取的中点连接如下图所示：为的中点则且同理可得且所以二面角的平面角为由余弦定理得因此二面角的余弦值为
解析：3
4
【分析】
取AB 的中点O ，连接VO 、OC ，证明出VO AB ⊥，OC AB ⊥，可得出面角
V AB C --的平面角为VOC ∠，计算出VO 、OC ，利用余弦定理求得cos VOC ∠，由此可得出二面角V AB C --的余弦值. 【详解】
取AB 的中点O ，连接VO 、OC ，如下图所示：
VA VB =，O 为AB 的中点，则VO AB ⊥，且AV BV ⊥，22AB =1
22
VO AB ∴=
= 同理可得OC AB ⊥，且2OC =V AB C --的平面角为VOC ∠，
由余弦定理得2223
cos 24
VO OC VC VOC VO OC +-∠==⋅，
因此，二面角V AB C --的余弦值为3
4
. 故答案为：34
. 【点睛】
本题考查二面角余弦值的计算，考查二面角的定义，考查计算能力，属于中等题.
20．【分析】先根据三视图得到几何体是底面是直角三角形的一个三棱锥再根据锥体的体积计算公式求解即可【详解】利用正方体法还原三视图如图所示根据三视图可知该几何体是底面直角边为2的等腰直角三角形高为2的三棱锥
解析：
43. 【分析】
先根据三视图得到几何体是底面是直角三角形的一个三棱锥，再根据锥体的体积计算公式求解即可. 【详解】
利用正方体法还原三视图，如图所示，
根据三视图，可知该几何体是底面直角边为2的等腰直角三角形，高为2的三棱锥S-ABC ，故其体积114222323
V =⨯⨯⨯⨯=. 故答案为：43
. 【点睛】
本题主要考查三视图还原几何体，锥体的体积公式，考查考生的观察分析能力与空间想象能力及运算能力，属于中档题.
三、解答题
21．（1）证明见解析（23【分析】
（1）由CD PQ ⊥，PQ DQ ⊥可证得结论成立；
（2）取BQ 的中点E ，连DE 、AE ，则AED ∠是二面角D QB A --的平面角，在
Rt ADE △中，通过计算可得结果. 【详解】
（1）因为QA ⊥平面ABCD ，∴QA CD ⊥，
又四边形ABCD 为正方形，∴CD AD ⊥， 又因为QA
AD A =，∴CD ⊥平面AQPD ，则CD PQ ⊥，
因为1AQ AD ==，AQ AD ⊥，∴2DQ =，
因为4PDQ π
∠=
，2PD =，∴2
DQP π
∠=
，即PQ DQ ⊥，
因为CD DQ D =，所以PQ ⊥平面DCQ .
（2）取BQ 的中点E ，连DE 、AE ，如图：
因为2BD DQ ==
BE EQ =，∴DE BQ ⊥，AE BQ ⊥，
所以AED ∠是二面角D QB A --的平面角，
因为QA ⊥平面ABCD ，所以QA AD ⊥，又AD AB ⊥，AB AQ A =，
∴
AD ⊥平面BAQ ，∴AD AE ⊥，
因为1AB AQ ==，所以2BQ =2AE =
， 在Rt ADE △中，2216
122
DE AD AE =
+=+
=
所以2
3
2cos 6
2
AE ADE DE ∠=== 所以二面角D QB A --的余弦值为33
. 【点睛】
关键点点睛：根据二面角的平面角的定义作出平面角是本题解题关键. 22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）6
π. 【分析】
（Ⅰ）连接BG 交EC 于H ，连接FH ，即可得到
2BH
HG
=，又2BF FA =，所以//FH AG ，从而得证；
（Ⅱ）依题意利用余弦定理求出EF ，从而得到EF BD ⊥，即可证明BD ⊥平面CEF . 过F 作AD 的平行线FP ，交BD 于P .则PE ⊥平面CEF .所以直线FP 与平面CEF 所成角为PFE ∠，再利用锐角三角函数计算可得； 【详解】
解：（Ⅰ）连接BG 交EC 于H ，连接FH . 则点H 为BCD △的重心，有
2BH
HG
=.
因为
2BF BH
FA HG
==， 所以//FH AG ，且FH ⊂平面CEF ，AG ⊄平面CEF ，
所以//AG 平面CEF .
（Ⅱ）因为23
BF =
1BE =，30ABD ∠=︒， 所以2
2
2
12cos 3
EF BF BE BE BF ABD =+-⋅∠=
， 故222EF BF BE =+，所以EF BD ⊥，且CE BD ⊥，,CE EF ⊂平面CEF ，
CE EF E =
所以BD ⊥平面CEF .
过F 作AD 的平行线FP ，交BD 于P . 则PE ⊥平面CEF .
所以直线FP 与平面CEF 所成角为PFE ∠. 且23FP =
，1
3
EP =，90FEP ∠=︒， 所以1sin 2PFE ∠=
，得6
PFE π
∠=. 所以直线FP 与平面CEF 所成的角为6
π
， 即直线AD 与平面CEF 所成的角为
6
π.
【点睛】
求直线与平面所成的角的一般步骤：
①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成； ②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解． 23．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】
（1）连接1B C 交1BC 于点E ，连接DE ，则E 为1B C 的中点，利用中位线的性质可得
1//DE AB ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）取BC 中点F ，连接AF 、1B F ，证明出1BC ⊥平面1AB F ，进而可证得
11AB BC ⊥.
【详解】
（1）连接1B C 交1BC 于点E ，连接DE ，
在正三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BB C C 为平行四边形，且11B C BC E =，则E
为1B C 的中点， 又
D 为AC 的中点，所以1//AB D
E ,
又1AB ⊄平面1BC D ，DE ⊂平面1BC D ，所以1//AB 平面1BC D ； （2）取BC 中点F ，连接AF 、1B F ，设11B F
BC O =，
在正三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，
AF ⊂平面ABC ，1AF BB ∴⊥，
ABC 为正三角形，且F 为BC 的中点，AF BC ∴⊥，
1
BB BC B =，AF ∴⊥平面11BB C C ，
1BC ⊂平面11BB C C ，1AF BC ∴⊥，
在侧面11BCC B 中，12BC BB =，F 是BC 的中点，1
111
22BB BF BB B C ∴==， 又
11190B BF BB C ∠=∠=，所以，111R t t BB R B C FB △△，。