高考数学模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆006490

高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆
一．基础题组
1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )
A ．1
B ．13-
C ．2
3
-
D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．
3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线
)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.
4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线
0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．
二．能力题组
1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线2
1y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22
430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）
A.
4515- B.25
15
- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2
2
14x y +-=。

若过点11,2P ⎛⎫
⎪⎝⎭
的直线l 与此圆交于,A B 两点，圆心为C ，则当ACB ∠最小时，直线l 的方程为。

3.（武汉市部分学校 新高三调研、文、15）圆O 的半径为1,P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周逆时针滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为_________.
三．拔高题组
1.(东北师大附中、吉林市第一中学校等高三五校联考、文、7）过点),(a a A 可作圆
0322222=-++-+a a ax y x 的两条切线，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．3-<a 或1>a
B ．2
3<
a C ．13<<-a 或2
3
>
a D ．3-<a 或231<<a
2.（大庆铁人中学高三第一阶段考试、文、7）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆
22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A ．53-
或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ．43-或3
4
- 3.(齐齐哈尔市实验中学高三期末考试、文、9）若),(y x P 是直线)0(04>=++k y kx 上一动点，
PB PA ,是圆02:22=-+y y x C 的两条切线，B A ,是切点，若四边形PACB 面积的最小值是2，则=
k （ ）
A. 3
B.
2
21
C. 22
D. 2 4.（云南师范大学附属中学月考、文、12）设直线l 与抛物线x2=4y 相交于A, B 两点，与圆C ：
222(5)x y r +-= (r>0)相切于点M,且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是
（ ）
A.（1，3)
B. (1,4)
C. (2, 3)
D. (2, 4)
5.（玉溪市第一中学高三月考、文、16）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线
30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值是
高考模拟复习试卷试题模拟卷
【高频考点解读】
1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义．
3．能根据导数的定义求函数y ＝c(c 为常数)，y ＝x ，y ＝1
x ，y ＝x2，y ＝x3，y ＝x 的导数． 【热点题型】
题型一 利用定义求函数的导数
例1、用定义法求函数f(x)＝x2－2x －1在x ＝1处的导数． 解 方法一 Δy ＝f(x ＋Δx)－f(x) ＝(x ＋Δx)2－2(x ＋Δx)－1－(x2－2x －1) ＝x2＋2x·Δx ＋Δx2－2x －2Δx －1－x2＋2x ＋1 ＝(2x －2)Δx ＋Δx2，
所以lim Δx→0Δy
Δx ＝lim Δx→02x －2Δx ＋Δx2Δx ＝lim Δx→0[(2x －2)＋Δx]＝2x －2. 所以函数f(x)＝x2－2x －1在x ＝1处的导数为 f′(x)|x ＝1＝2×1－2＝0. 方法二 Δy ＝f(1＋Δx)－f(1)
＝(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－1－(12－2×1－1) ＝1＋2Δx ＋Δx2－2－2Δx －1＋2 ＝Δx2，
所以lim Δx→0Δy Δx ＝lim Δx→0Δx2Δx ＝lim Δx→0Δx ＝0. 故f′(x)|x ＝1＝0. 【提分秘籍】
(1)求函数f(x)的导数步骤：
①求函数值的增量Δy ＝f(x2)－f(x1)； ②计算平均变化率Δy Δx ＝
f x2－f x1
x2－x1
；
③计算导数f′(x)＝lim Δx→0Δy
Δx .
(2)利用定义法求解f′(a)，可以先求出函数的导数f′(x)，然后令x ＝a 即可求解，也可直接利用定义
求解．
【举一反三】
(1)函数y ＝x ＋1x 在[x ，x ＋Δx]上的平均变化率Δy
Δx ＝________；该函数在x ＝1处的导数是____________________________________．
(2)已知f(x)＝
1
x
，则f′(1)＝________. 答案 (1)1－1x x ＋Δx 0 (2)－1
2
解析 (1)∵Δy ＝(x ＋Δx)＋1x ＋Δx －x －1
x
＝Δx ＋1x ＋Δx －1
x ＝Δx ＋－Δx x x ＋Δx .
∴Δy Δx ＝1－1x x ＋Δx .y′|x ＝1＝lim Δx→0Δy Δx ＝0.
(2)∵Δy ＝f(1＋Δx)－f(1)＝
1
1＋Δx －1＝1－1＋Δx 1＋Δx
＝1－1＋Δx
1＋1＋Δx
1＋Δx 1＋1＋Δx
＝
－Δx
1＋Δx 1＋1＋Δx ，
∴Δy Δx ＝－11＋Δx 1＋1＋Δx ，
∴lim Δx→0Δy
Δx ＝lim Δx→0－1
1＋Δx 1＋1＋Δx
＝－1
2.
∴f′(1)＝－12. 题型二导数的运算 例2、求下列函数的导数： (1)y ＝ex·lnx ； (2)y ＝x ⎝⎛⎭
⎫x2＋1x ＋1x3.
解 (1)y′＝(ex·lnx)′＝exlnx ＋ex·1
x ＝ex(lnx ＋1x )．
(2)∵y ＝x3＋1＋1x2，∴y′＝3x2－2
x3. 【提分秘籍】
有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后
进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量，提高运算速度，减少差错．【举一反三】
(1)f(x)＝x(＋lnx)，若f′(x0)＝，则x0等于()
A．e2B．1
C．ln2D．e
(2)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于()
A．－1B．－2
C．2D．0
答案(1)B(2)B
题型三导数的几何意义
例3已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．
解(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，
又f(2)＝－2，
∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为
y－(－2)＝x－2，
即x－y－4＝0.
(2)设切点坐标为(x0，x30－4x20＋5x0－4)，
∵f′(x0)＝3x20－8x0＋5，
∴切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，
又切线过点(x0，x30－4x20＋5x0－4)，
∴x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)(x0－2)，
整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，
∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0. 【提分秘籍】
利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：
(1)函数在切点处的导数值也就是切线的斜率．即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．
(2)切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其它的公共点． 【举一反三】
在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax2＋b
x (a ，b 为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______．
(2)已知函数f(x)＝x3－3x ，若过点A(0,16)且与曲线y ＝f(x)相切的直线方程为y ＝ax ＋16，则实数a 的值是________．
答案 (1)－3 (2)9
【高考风向标】
【高考新课标1，文14】已知函数()3
1f x ax x =++的图像在点()()
1,1f 的处的切线过点()2,7，
则a =.
【答案】1
【高考天津，文11】已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为．
【答案】3
【解析】因为()()1ln f x a x '=+ ,所以()13f a '==.
【高考陕西，文15】函数x
y xe =在其极值点处的切线方程为____________. 【答案】1y e
=-
【解析】()()(1)x x
y f x xe f x x e '==⇒=+，令()01f x x '=⇒=-，此时1(1)f e
-=-
函数x
y xe =在其极值点处的切线方程为1
y e
=- （·陕西卷）设函数f(x)＝ln x ＋m
x ，m ∈R.
(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值； (2)讨论函数g(x)＝f′(x)－x
3零点的个数；
(3)若对任意b ＞a ＞0，f （b ）－f （a ）
b －a ＜1恒成立，求m 的取值范围．
【解析】解：(1)由题设，当m ＝e 时，f(x)＝ln x ＋e
x ，则f′(x)＝x －e x2， ∴当x ∈(0，e)时，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减； 当x ∈(e ，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(e ，＋∞)上单调递增． ∴x ＝e 时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e ＋e
e ＝2， ∴f(x)的极小值为2.
(2)由题设g(x)＝f′(x)－x 3＝1x －m x2－x
3(x>0)， 令g(x)＝0，得m ＝－1
3x3＋x(x>0)， 设φ(x)＝－1
3x3＋x(x≥0)，
则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，
当x ∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增； 当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∴x ＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x)的最大值点， ∴φ(x)的最大值为φ(1)＝2
3.
又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x)的图像(如图所示)，可知
(3)对任意的b>a>0，f （b ）－f （a ）
b －a <1恒成立，
等价于f(b)－b <f(a)－a 恒成立．(*) 设h(x)＝f(x)－x ＝ln x ＋m
x －x(x>0)， ∴(*)等价于h(x)在(0，＋∞)上单调递减． 由h′(x)＝1x －m
x2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，
得m≥－x2＋x ＝－⎝⎛⎭
⎫x －122
＋1
4(x>0)恒成立，
∴m≥14⎝⎛⎭
⎫对m ＝14，h′（x ）＝0仅在x ＝12时成立，
∴m 的取值范围是⎣⎡⎭
⎫14，＋∞.
（·安徽卷）设函数f(x)＝1＋(1＋a)x －x2－x3，其中a>0. (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；
(2)当x ∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x 的值．
(2)因为a>0，所以x1<0，x2>0，
①当a≥4时，x2≥1，由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．
②当0<a<4时，x2<1，由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2，1]上单调递减， 因此f(x)在x ＝x2＝－1＋4＋3a 3处取得最大值．又f(0)＝1，f(1)＝a ， 所以当0<a<1时，f(x)在x ＝1处取得最小值； 当a ＝1时，f(x)在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值； 当1<a<4时，f(x)在x ＝0处取得最小值． （·北京卷）已知函数f(x)＝2x3－3x. (1)求f(x)在区间[－2，1]上的最大值；
(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y ＝f(x)相切，求t 的取值范围；
(3)问过点A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线y ＝f(x)相切？(只需写出结论) 【解析】解：(1)由f(x)＝2x3－3x 得f′(x)＝6x2－3. 令f′(x)＝0，得x ＝－22或x ＝22.
因为f(－2)＝－10，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－
22＝2，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
22＝－2，f(1)＝－1， 所以f(x)在区间[－2，1]上的最大值为f ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
－
22＝ 2.
当x 变化时，g(x)与g′(x)的变化情况如下：
x (－∞，0) 0 (0，1) 1 (1，＋∞) g′(x) ＋ 0 － 0 ＋
g(x)
t ＋3
t ＋1
所以，g(0)＝t ＋3是g(x)的极大值，g(1)＝t ＋1是g(x)的极小值．
结合图像知，当g(x)有3个不同零点时，有⎩
⎪⎨⎪⎧g （0）＝t ＋3>0，
g （1）＝t ＋1－0，解得－3<t<－1.
故当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y ＝f(x)相切时，t 的取值范围是(－3，－1)． (3)过点A(－1，2)存在3条直线与曲线y ＝f(x)相切； 过点B(2，10)存在2条直线与曲线y ＝f(x)相切； 过点C(0，2)存在1条直线与曲线y ＝f(x)相切．
（·福建卷）已知函数f(x)＝ex －ax(a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f(x)在点A 处的切线斜率为－1.
(1)求a 的值及函数f(x)的极值； (2)证明：当x ＞0时，x2＜ex ；
(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x0，使得当x ∈(x0，＋∞)时，恒有x ＜cex.
(2)证明：令g(x)＝ex －x2，则g′(x)＝ex －2x. 由(1)得，g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＝2－ln 4＞0， 即g′(x)＞0.
所以g(x)在R 上单调递增，又g(0)＝1＞0， 所以当x ＞0时，g(x)＞g(0)＞0，即x2＜ex. (3)证明：对任意给定的正数c ，取x0＝1
c ， 由(2)知，当x ＞0时，x2＜ex.
所以当x ＞x0时，ex ＞x2＞1
c x ，即x<cex.
因此，对任意给定的正数c ，总存在x0，当x ∈(x0，＋∞)时，恒有x ＜cex. 方法二：(1)同方法一． (2)同方法一．
(3)证明：令k ＝1
c (k ＞0)，要使不等式x ＜cex 成立，只要ex ＞kx 成立． 而要使ex ＞kx 成立，则只需要x>ln(kx)， 即x ＞ln x ＋ln k 成立．
①若0＜k≤1，则ln k≤0，易知当x ＞0时，x ＞ln x≥ln x ＋ln k 成立． 即对任意c ∈[1，＋∞)，取x0＝0， 当x ∈(x0，＋∞)时，恒有x ＜cex.
方法三：(1)同方法一． (2)同方法一．
(3)证明：①若c≥1，取x0＝0， 由(2)的证明过程知，ex ＞2x ，
所以当x ∈(x0，＋∞)时，有cex≥ex ＞2x ＞x ， 即x ＜cex. ②若0＜c ＜1，
令h(x)＝cex －x ，则h′(x)＝cex －1. 令h′(x)＝0得x ＝ln 1
c .
当x ＞ln 1
c 时，h′(x)＞0，h(x)单调递增． 取x0＝2ln 2
c ，
则h(x0)＝ce2ln 2c －2ln 2c ＝2⎝⎛⎭
⎫2
c －ln 2c ，
易知2c －ln 2
c ＞0，又h(x)在(x0，＋∞)内单调递增， 所以当x ∈(x0，＋∞)时，恒有h(x)＞h(x0)＞0， 即x ＜cex.
综上，对任意给定的正数c ，总存在x0，当x ∈(x0，＋∞)时，恒有x ＜cex. （·广东卷）曲线y ＝－5ex ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________． 【答案】5x ＋y ＋2＝0
【解析】∵y′＝－5ex ，∴所求切线斜是k ＝－5e0＝－5，∴切线方程是y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.
【高考押题】
1．设f(x)＝xlnx ，若f′(x0)＝2，则x0的值为( ) A ．e2B ．eC.ln2
2D ．ln2 答案 B
解析 由f(x)＝xlnx 得f′(x)＝lnx ＋1.
根据题意知lnx0＋1＝2，所以lnx0＝1，因此x0＝e.
2．已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋lnx ，则f′(1)等于( ) A ．－eB ．－1 C ．1D ．e 答案 B
解析 由f(x)＝2xf′(1)＋lnx ，得f′(x)＝2f′(1)＋1
x . ∴f′(1)＝2f′(1)＋1， 则f′(1)＝－1.
3．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y ＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为( )
A ．4
B ．－14
C ．2
D ．－1
2 答案 A
解析 由条件知g′(1)＝2，又∵f′(x)＝[g(x)＋x2]′＝g′(x)＋2x ，∴f′(1)＝g′(1)＋2＝2＋2＝4. 4．与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x2的切线方程是( ) A ．2x －y ＋3＝0B ．2x －y －3＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝0 答案 D
解析 对y ＝x2求导得y′＝2x.设切点坐标为(x0，x20)，则切线斜率为k ＝2x0. 由2x0＝2得x0＝1，故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.
5．曲线y ＝x3在点(1,1)处的切线与x 轴及直线x ＝1所围成的三角形的面积为( ) A.112B.16C.13D.12 答案 B
解析 求导得y′＝3x2，所以y′|x ＝1＝3， 所以曲线y ＝x3在点(1,1)处的切线方程为
y －1＝3(x －1)，
结合图象易知所围成的三角形是直角三角形， 三个交点的坐标分别是(2
3，0)，(1,0)，(1,1)， 于是三角形的面积为12×(1－23)×1＝1
6，故选B.
6．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，则f′(5)＝________. 答案 6
解析 对f(x)＝3x2＋2xf′(2)求导， 得f′(x)＝6x ＋2f′(2)． 令x ＝2，得f′(2)＝－12.
再令x ＝5，得f′(5)＝6×5＋2f′(2)＝6.
7.已知函数y ＝f(x)及其导函数y ＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y ＝f(x)在点P 处的切线方程是__________．
答案 x －y －2＝0
解析 根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f(x)在点P 处的切线的斜率k ＝f′(2)＝1，又过点P(2,0)，
所以切线方程为x －y －2＝0.
8．已知曲线y ＝x3＋x －2在点P0处的切线l1平行于直线4x －y －1＝0，且点P0在第三象限． (1)求P0的坐标；
(2)若直线l ⊥l1，且l 也过切点P0，求直线l 的方程． 解 (1)由y ＝x3＋x －2，得y′＝3x2＋1， 由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1.
当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.
又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为(－1，－4)．
(2)∵直线l⊥l1，l1的斜率为4，
∴直线l的斜率为－1
4.
∵l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，
∴直线l的方程为y＋4＝－1
4(x＋1)，
即x＋4y＋17＝0.
9．已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
解(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．
∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.
∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.
∴切线的方程为y＋6＝13(x－2)
即y＝13x－32.
高考模拟复习试卷试题模拟卷
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【考情解读】
1.理解等差数列的概念；
2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；
4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系． 【重点知识梳理】 1．等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．
数学语言表达式：an ＋1－an ＝d(n ∈N*，d 为常数)，或an －an －1＝d (n≥2，d 为常数)． 2．等差数列的通项公式与前n 项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d ，则其通项公式为an ＝a1＋(n －1)d ． 通项公式的推广：an ＝am ＋(n －m)d(m ，n ∈N*)． (2)等差数列的前n 项和公式 Sn ＝
n （a1＋an ）2＝na1＋n （n －1）
2
d(其中n ∈N*，a1为首项，d 为公差，an 为第n 项)． 3．等差数列及前n 项和的性质
(1)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b
2．
(2)若{an}为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则am ＋an ＝ap ＋aq(m ，n ，p ，q ∈N*)．
(3)若{an}是等差数列，公差为d ，则ak ，ak ＋m ，ak ＋2m ，…(k ，m ∈N*)是公差为m d 的等差数列． (4)数列Sm ，S2m －Sm ，S3m －S2m ，…也是等差数列． (5)S2n －1＝(2n －1)an.
(6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd
2； 若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)． 4．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 Sn ＝d 2n2＋⎝⎛⎭
⎫a1－d 2n.
数列{an}是等差数列⇔Sn ＝An2＋Bn(A ，B 为常数)． 5．等差数列的前n 项和的最值
在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．
【高频考点突破】
考点一等差数列的性质及基本量的求解
【例1】 (1)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝()
A．－6 B．－4 C．－2 D．2
【答案】A
(2)(·浙江卷)已知等差数列{an}的公差d＞0.设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.
①求d及Sn；
②求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.
规律方法(1)一般地，运用等差数列性质，可以化繁为简、优化解题过程．但要注意性质运用的条件，如m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，只有当序号之和相等、项数相同时才成立．(2)在求解等差数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷．【变式探究】(1)设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于()
A．0 B．37 C．100 D．－37
(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数
为()
A ．13
B ．12
C ．11
D ．10
(3)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________．
【答案】(1)C(2)A(3)60
考点二 等差数列的判定与证明
【例2】若数列{an}的前n 项和为Sn ，且满足an ＋2SnSn －1＝0(n≥2)，a1＝1
2.
(1)求证：⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
1Sn 成等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
规律方法证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明an－an－1＝d(n≥2，d为常数)；二是等差中项法，证明2an＋1＝an＋an＋2.若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．
【变式探究】已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝Sn
n＋c，是否存在非零实数c使得{bn}为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．
考点三等差数列前n项和的最值问题
【例3】等差数列{an}的首项a1＞0，设其前n项和为Sn，且S5＝S12，则当n为何值时，Sn有最大值？
规律方法求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n项和Sn＝A n2＋Bn(A，B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值．
【变式探究】(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则当Sn取最大值时，n的值是()
A．5 B．6 C．7 D．8
(2)设数列{an}是公差d ＜0的等差数列，Sn 为前n 项和，若S6＝5a1＋10d ，则Sn 取最大值时，n 的值为()
A ．5
B ．6
C ．5或6
D ．11
(3)已知等差数列{an}的首项a1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和Sn 的最大值为________．
【答案】(1)B(2)C(3)110 【真题感悟】
【高考新课标1，文7】已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则
10a =（）
（A ）
172（B ）19
2
（C ）10（D ）12 【答案】B
【高考陕西，文13】中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为，则该数列的首项为________ 【答案】5
【高考福建，文16】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于________．
【答案】9
【高考浙江，文10】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且
1221a a +=，则1a =，d =．
【答案】
2,13
-
1．（·安徽卷）数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.
【答案】1
2．（·北京卷）若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n ＝________时，{an}的前n 项和最大．
【答案】8
3．（·福建卷）等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若a1＝2，S3＝12，则a6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 【答案】C
4．（·湖北卷）已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式．
(2)记Sn 为数列{an}的前n 项和，是否存在正整数n ，使得Sn>60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．
5．（·湖南卷）已知数列{an}满足a1＝1，|an ＋1－an|＝pn ，n ∈N*. (1)若{an}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p 的值；
(2)若p ＝1
2，且{a2n －1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式．
6．（·辽宁卷）设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列，则() A．d<0 B．d>0 C．a1d<0 D．a1d>0
【答案】C
7．（·全国卷）等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝1
anan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.
8．（·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．
(1)证明：an＋2－an＝λ.
(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
9．（·山东卷）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝(－1)n－14n
anan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.
10．（·陕西卷）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；
(2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．
11．（·天津卷）设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn 为其前n 项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．
【答案】－12
12．（·重庆卷）设a1＝1，an ＋1＝a2n －2an ＋2＋b(n ∈N*)． (1)若b ＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式．
(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a2n<c<a2n ＋1对所有n ∈N*成立？证明你的结论．
13．（·新课标全国卷Ⅰ] 某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的体积为()
图1－3
A．16＋8π B．8＋8π
C．16＋16π D．8＋16π
【答案】A
14．（·新课标全国卷Ⅰ] 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m ＝()
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
15．（·广东卷）在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________．
【答案】20
16．（·北京卷）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an＋1，an＋2，…的最小值记为Bn，dn＝An－Bn.
(1)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，an＋4＝an)，写出d1，d2，d3，d4的值；
(2)设d是非负整数，证明：dn＝－d(n＝1，2，3，…)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；
(3)证明：若a1＝2，dn＝1(n＝1，2，3，…)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.
17．（·全国卷）等差数列{a n}前n 项和为Sn.已知S3＝a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．
18．（·山东卷）设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且S4＝4S2，a2n ＝2an ＋1. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}的前n 项和为Tn ，且Tn ＋an ＋1
2n ＝λ(λ为常数)，令cn ＝b2n(n ∈N*)，求数列{cn}的前n 项和Rn.
19．（·四川卷）在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n项和．
20．（·新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．
【答案】－49
21．（·重庆卷）已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn 为其前n 项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________．
【答案】64
【押题专练】
1．记Sn 为等差数列{an}的前n 项和，若S33－S2
2＝1，则其公差d ＝ ()
A.12 B ．2 C ．3
D ．4
【答案】B
2．设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn 为其前n 项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝
() A ．2
B ．－2
C.12
D ．－12
【答案】D
3．已知等差数列{an}，且3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝48，则数列{an}的前13项之和为 () A ．24
B ．39
C ．104
D ．52
【答案】D
4．设Sn 是等差数列{an}的前n 项和，公差d≠0，若S11＝132，a3＋ak ＝24，则正整数k 的值为 () A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
【答案】A
5．已知数列{an}满足an ＋1＝an －5
7，且a1＝5，设{an}的前n 项和为Sn ，则使得Sn 取得最大值的序号n 的值为
() A ．7
B ．8
C ．7或8
D ．8或9
【答案】C
6．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的1
7是较小的两份之和，则最小的一份为 ()
A.53
B.103
C.56
D.116
【答案】A
7．设Sn 为等差数列{an}的前n 项和，(n ＋1)Sn ＜nSn ＋1(n ∈N*)．若a8
a7＜－1，则 () A ．Sn 的最大值是S8 B ．Sn 的最小值是S8 C ．Sn 的最大值是S7
D ．Sn 的最小值是S7
【答案】D
8．在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________．
【答案】99
9．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝________．
【答案】－1
10．已知等差数列{an}中，S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝________．
【答案】45
11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1<0，S2 015＝0.
(1)求Sn的最小值及此时n的值；
(2)求n的取值集合，使an≥Sn.
12．已知等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为Sn ，且Sk ＝110. (1)求a 及k 的值；
(2)设数列{bn}的通项bn ＝Sn
n ，证明数列{bn}是等差数列，并求其前n 项和Tn.
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卷。