色噪声的卡尔曼滤波

卡尔曼滤波应用的若干问题
⏹其它形式的算法表达式⏹色噪声中的卡尔曼滤波⏹滤波发散问题
1. 其它形式的算法表达式
根据矩阵求逆引理，后两个公式也可以写成1
[][/][][]
T x k k k k k -=K P H R 1
11[/][/1][][][]T x x k k k k k k k ---=-+P P H R H 在标准的卡尔曼滤波算法中，误差方差阵和增益的计算为
[/1][,1][1/1][,1][1][1][1]T T
x x k k k k k k k k k k k -=----+---P ΦP ΦΓQ Γ1[][/1][]([][/1][][])
T T x x k k k k k k k k k -=--+K P H H P H R [/]([][])[/1]
x x k k k k k k =--P I K H P (1) 算法的另一种形式
(2) 模型中含有控制项的卡尔曼滤波算法
[1][1,][][][][][]k k k k k k k k +=+++x Φx B u Γn 信号模型
[][][][][]
k k k k k =++z H x d w 观测模型其中为已知的确定性信号。

[],[]k k u d ˆˆ[/1][,1][1/1][1][1]x
Φx B u k k k k k k k k -=---+--ˆˆˆ[/][/1][]([][][/1][])k k k k k k k k k k =-+---x
x K z H x d 而误差方差阵及增益的计算表达式是不变的。

则预测与滤波方程为：
2.色噪声中的卡尔曼滤波
在标准的卡尔曼滤波算法中，信号模型中的扰动噪声和观测模型中的测量噪声是白噪声，但在实际中，这两个噪声不一定是白噪声，这时就需要对算法进行扩展，基本的方法是增加状态变量。

(1) 测量噪声为色噪声
对于色噪声，可以用线性模型加以描述，
[1][1,][][]
k k k k k +=++w θw ξ零均值白噪声
方差阵为([][])[]
T E k k k =ξξN
*[]k x *[1,]
k k +Φ*[]k n 将的模型和原信号模型合并到一起，
[]k w [1][1,][][][][1][1,][][]k k k k k k k k k k k ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣
⎦⎣⎦⎣⎦x Φ0x Γn w 0θw ξ****[1][1,][][]
k k k k k +=++x Φx n 可以证明，
为零均值白噪声，方差阵为***[][][][]([][])[]T T k k k k E k k k ⎡⎤==⎢⎥⎣
⎦ΓQ Γ0Q n n 0N *[]k n
观测模型为[][][][][]k k k k ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x z H I w *[]
k x *[]k H **
[][][]
k k k =z H x 由于测量噪声作为一个状态变量加入到信号模型中，所以测量噪声模型中没有了噪声项。

(2) 扰动噪声为色噪声
[1][1,][][]k k k k k +=++n Ψn μ将的模型和原信号模型合并到一起，
[]k n [1][1,][]0[][1][1,][]1k k k k k k k k k ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣
⎦⎣⎦⎣⎦x Φ0x μn 0Ψn *[]k x *[1,]
k k +Φ*
[]k Γ零均值白噪声
方差阵为1([][])[]T
E k k k =μμQ ****[1][1,][][][]k k k k k k +=++x Φx Γμ
预测：***ˆˆ[/1][,1][1/1]k k k k k k -=---x Φx 预测误差方差阵：
滤波：****ˆˆˆ[/][/1][]([][][/1])k k k k k k k k k =-+--x
x K z H x 滤波误差方差阵：***[/]([][])[/1]
x x k k k k k k =--P I K H P 增益：
*****[/1][,1][1/1][,1][1]
T x x k k k k k k k k k -=----+-P ΦP ΦQ *****1[][/1][]([][/1][])T T x x k k k k k k k k -=--K P H H P H 观测噪声为色噪声时的卡尔曼滤波算法：
[][][][][][][][][]k k k k k k k k ⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦
x z H x w H 0w n 测量模型修正为，
*[]
k H *[]k x **[][][][]k k k k =+z H x w (3) 观测噪声和扰动噪声均为色噪声*[][][][]T
T T T k k k k ⎡⎤=⎣⎦
x x w n 分析方法类似，不再重复。