2018-2019学年云南省云天化中学高一下学期期末考试数学试题

2018-2019学年云南省云天化中学高一下学期期末考试数学
试题
机密★启用前 【考试时间： 07 月 03 日】
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（客观题）两部分，共4页。

考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试卷上答题无效，试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真填涂准考证号。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在试卷上的答案无效。

第I 卷（选择题，共60分）
一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分）
1. 设集合{}
[]{}
2,0,2,21∈==<-=x y y B x x A x ，则=B A
[]2,0.A ()3,1.B [)3,1.C ()4,1.D
2.已知向量
),4,3(),0,1(2,1(===若λ为实数，()a b λ+∥c ，则
λ=
.
A 14 .
B 1
2
1.C
2.D
3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若44a =，972S =，则10a =
20.A 23.B 24.C 28.D
4.已知2log e a =，ln 2b =，1
2
1
log 3
c =，则c b a ,,的大小关系为 .A a b c >> .B b a c >> .C c b a >> .D c a b >>
5. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为
正视图
俯视图
316.
πA 38.πB 34.πC 3
2.π
D 6.已知函数cos(2))2y x π
ϕϕ=+<
（在3
x π
=
处取得最小值,则函数sin(2)y x ϕ=+的图象
A.关于点(,0)3π对称
B.关于点(,0)6
π对称 C.关于直线3
x π
=
对称 D.关于直线6
x π
=
对称
7. 函数)(x f 在),(+∞-∞上单调递减，且为奇函数，若1)1(-=f ，则瞒足1)2(1≤-≤-x f 的x 的取值范围是
[]2,2.-A []1,1.-B []4,0.C []3,1.D
8.在《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,若四棱锥S ABCD -为阳马,侧棱ABCD SA 底面⊥，,且
2===AB BC SA ，则该阳马的表面积为
.642A +
.242B + .442C + .842D +
9.若将函数)4
2sin()(π
+
=x x f 的图像向右平移)0>ϕϕ（个单位，所得图像
关于y 轴对称，则ϕ的最小值为
8
.
πA 83.
πB 43.πC 4
.π
D 10.在下列区间中，函数()43x
f x e x =+-的零点所在的区间为
.A 1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭ .B 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ .C 11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ .D 13,24⎛⎫
⎪⎝⎭
11. 已知PAD ∆所在平面与矩形ABCD 所在平面互相垂直，8,4===AB PD PA ,
3
2π
=
∠APD ，若点D C B A P ,,,,都在同一球面上，则此球的表面积为 π32.A π64.B π128.C π256.D
12.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若222018=
a ，则2019
20172
1a a +的最小值为
8.A 4.B 2.C 2.D
第Ⅱ卷 客观题（共90分）
二、填空题：（每小题5分，共20分）
13.若02
π
α∈（，）
，且2
1
sin cos 24
αα+=
，则tan α的值等于 . 14.正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若μλ+=，则μλ+的值
为 .
15.已知函数)10(sin )(<<=x x x f π，若b a ≠，且)()(b f a f =，则b
a 1
4+的最小值为 .
16.已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，点P 在侧面11BB C C 上，且满足1AP BD ⊥，则
AP 长度的取值范围
是 .
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，其中17题10分，其余每题12分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 17.（本小题满分10分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ,点(21,)n S n n
+ ()n N +
∈均在函数21y x =+的图像上, (1)求n a ;
(2)设数列11
n
n a a +⎧⎫⎨⎬⨯⎩⎭的前n 项和为n T ，若163n
T = ，求n 的值。

18.（本小题满分12分）
在ABC ∆△中，角C B A ，，的对边分别是，，，c b a 已知2
sin 1cos sin C
C C -=+. （1）求C sin 的值；
（2）若,8)(42
2
-+=+b a b a 求边c 的值.
19.（本小题满分12分） 已知函数()4cos sin()16
f x x x π
=+
-.
（1）求 ()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间[,]64
ππ
-
上最大值和最小值. 20.（本小题满分12分）
如图，已知矩形ABCD 中，10AB =，6BC =，将矩形沿对角线BD 把ABD ∆折起，使A 移到1A 点，且1A 在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上． （1）求证：1BC A D ⊥；
（2）求证：平面1A BC ⊥平面1A BD ； （3）求三棱锥1A BCD -的体积．
21.（本小题满分12分）
等比数列{}n a 中，321,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且321,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行
9
8
18
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足：n b =(1)ln n
n n a a +-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S .
22.（本小题满分12分） 已知函数()1
22
+-=x a x f 为奇函数. (1)求a 的值；
(2)探究()f x 的单调性,并证明你的结论;
(3)求满足)12()(2
2
+-<x x f ax f 的x 的范围.
云天化中学2018—2019学年春季学期期末测试
高一年级数学答案
一、 选择题
第Ⅱ卷 客观题（共90分）
1.【解析】选C.
由{}{
}
[]{}{
}
412,0,2,3121≤≤=∈==<<-=<-=y y x y y B x x x x A x ， 所以[)3,1=B A .故选.C 2.【解析】选B.
)2,1()0,1()2,1(λλλ+=+=+b a ,由c b a
//)(λ+得，023)1(4=⨯-+λ，解得
2
1=λ.故选B.
3.【解析】：选D .
由于数列是等差数列，故18,4a d =-=，1028a = 故选D .
4.【解析】：选D .
因为1log 3log 3
1
log ),1,0(2ln ,1log 222
1
2>>==∈=>e c b e ，所以，故选D . 5.【解析】选.A
由三视图知，该几何体为圆柱的13，所以116
4433V ππ=⨯⨯=
，
故选.A 6.【解析】：选.A . 由题意知=
2()3
k k z π
ϕπ+∈，2
πϕ<
，=
3
π
ϕ，对选项验证.故选.A
7.【解析】：选.D
函数)(x f 在),(+∞-∞上单调递减，且为奇函数，若1)1(-=f ，1)1()1(=-=-∴f f ，
由)1(1)2(1)1(-=≤-≤-=f x f f 得.,31,121D x x 故选≤≤∴≤-≤- 8.【解析】选.D
由题意知表面积为1
12222222822
⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+故选D .
9.【解析】选.B
由题意设)4
22sin(4)(2sin )()(π
ϕπϕϕ+-=⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡+-=-=x x x f x g ，则)(x g 的图像关于y 轴对称，
)(2
4
2Z k k ∈+=
+
-ππ
π
ϕ，).(28
Z k k ∈-
-
=∴ππ
ϕ当1-=k 时，ϕ的最小值为
8
3π
. 10.【解析】选C.
()f x 是R 上的增函数且图象是连续的，又
114411()+432044f e e =⨯-=-<，11
2
211()4310,22
f e e =+⨯-=->∴()f x 定在11,42⎛⎫
⎪⎝⎭
内存在零点.故选C. 11.【解析】选C.
【解析】过P 作AD 的垂线2PO （2O 为PAD ∆外心）， 过ABCD 的中心1O 作面ABCD 的垂线l ， 又过2O 作面PAD 的垂线交l 于O ，再连接OP ， 在2Rt POO ∆中，易知422==OO PO ，24=∴PO ，
∴球的表面积为π128.
故选C.
12.【解析】选.B 因
为
等
比
数
列
{}
n a 各项均为正数，所以
421221,212019
2017201920172201820192017=⨯≥+==a a a a a a a ，
当且仅当
1,2
1
,21201920172019
2017
==
=
a a a a 即时取等号，故选.B 二、填空题：（每小题5分，共20分.） 12.【解析】答案：3.
21sin cos 24αα+=
，221sin (12sin )4αα∴+-=，2
3sin 4∴=α，又0,,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
πα
1cos ,sin tan 22
ααα∴==∴=
14.【解析】答案：2
1
. 由题意：
,2121AC μλ+=-=+=又2
1
,1,21=+∴=-=∴μλμλ.
15.【解析】答案：9.
由函数图像，因为)()(b f a f =，所以a 与b 关于直线2
1
=
x 对称，1=+∴b a ，942545))(1414=⨯+≥++=++=+∴b
a a
b b a a b b a b a b a （，当且仅当b a 2=时取等号， 故
b
a 1
4+的最小值为9. 16.
【解析】答案：
连11,,AB B C AC ，由正方体容易证明1BD ⊥平面1AB C ，所以点P 在侧面11BB C C 上的轨迹为线段1B C ，由于1AB C 是边长
为的等边三角形，所以有AP 长度的取值范
围为.
三、解答题：（本大题共6小题，共70分，其中17题10分，其余每题12分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 17.（本小题满分10分） 【解析】:(1)将点(21,
)n S n n +的坐标代入函数21y x =+有:2(21)1n S
n n
=++,得到243n S n n =+,
利用11,(1)
,(2,)n n
n S n a S S n n N +
-=⎧⎪=⎨-≥∈⎪⎩得到81n a n =-.………………………………………6分 (2)
111111()(81)(87)88187
n n a a n n n n +==-⨯-+-+,所以
1111111111()()87151523818787875649
n n
T n n n n =-+-+
+
-=-=
-+++. 由
1
564963
n n =+ ，解得7n =. ………………………………………12分
18.（本小题满分12分）
【解析】
:
222221sin sin
1cos ,sin (2cos 1)2sin ,2222
1sin 02cos 12sin sin cos ,
222222
3
sin .
4
13
(2)sin cos 0,,sin 222422244()82)(2)0,4
C C C C C C C C C C C C C C C C C a b a b a b a ππππ+=-+=≠+-==-=><<<<=+=+--+-===（）由已知得即由得，即两边平方得：由得即，则由得
cosC= -由得：(
则2222,2,2cos 81.
b a b ab C
c ==+-=+=由余弦定理得：c 所以 19．(本小题满分12分)
【解析】:（Ⅰ）因为()4cos sin()16
f x x x π
=+
-1
4cos (
cos )122
x x x =+-
222cos 1x x =+
-2cos 22sin(2)6
x x x π
=+=+， 所以()f x 的最小正周期为π.………………………………………6分 （Ⅱ）因为6
4
x π
π
-
≤≤
，所以226
6
3x π
π
π-
≤+
≤
.于是，当262x ππ+=，即6
x π
=时，()f x 取得最大值2；当26
6
x π
π
+
=-
，即6
x π
=-
时，()f x 取得最小值
-1. …………………………12分 20．（本小题满分12分） 【解析】：（Ⅰ）连结1A O ，
∵ 1A 在平面BCD 上的射影O 在CD 上， ∴ 1A O ⊥平面BCD ，又BC ⊂平面BCD ∴ 1BC A O ⊥ ，又CD BC ⊥，O CD O A = 1
∴ BC ⊥平面1A CD ，又11
A D ACD ⊂平面， ∴ 1BC A D ⊥……（4分） （Ⅱ）∵ ABCD 为矩形 ，∴ 11A D A
B ⊥
由（Ⅰ）知B BC B A BC D A =⊥ 11,
∴ 1A D ⊥平面1A BC ，又1A D ⊂平面1A BD
∴ 平面1A BC ⊥平面1A BD ……………………………………………（8分）
（Ⅲ）∵ 1A D ⊥平面 1A BC ， ∴ 11A D A C ⊥．
∵ 16,10A D CD ==， ∴18A C =， ∴ 1111
(68)64832
A BCD D A BC V V --==
⋅⋅⋅⋅= …………………………（12分） 21．（本小题满分12分）
【解析】：（Ⅰ）由题意知18,6,2321===a a a ,因为{}n a 是等比数列,所以公比为3,所以
数列{}n a 的通项公式123n n a -=⋅.
（Ⅱ）n b =(1)ln n n n a a +-=1
23n -⋅+(1)[ln 2(1)ln 3]n n -+-
=1
23
n -⋅+(1)ln 2(1)(1)ln 3n n n -+--,
所以
0122112212(23232323)[(1)(1)(1)]ln 2[(1)0-=⋅+⋅+⋅+
+⋅+-+-++-+-⋅+n n n S
232(1)1(1)2(1)(21)]ln 3
-⋅+-⋅++-⋅-n n 22(13)(111111)ln 2[01234(22)(21)]ln 3
13
-=+-+-+-
-+++-+-+--+--n n n
=91n -+0ln 2ln391ln3n
n n ⋅+=-+． 22. （本小题满分12分）
【解析】：(1)因为定义域是R ,且)(x f 是奇函数，所以()00=f ，即()010=-=a f ， 所以1=a ，经检验符合题意. ……………………………（4分） (2))(x f 在R 上单调递增，证明如下：
任取R x x ∈21,,令21x x >，()()(
)
(
)(
)
1
212222122122212
11221++-=+-+=-x x x x x x x f x f
因为21x x >，所以()()21,022
21
x f x f x x >∴>-,所以)(x f 在R 上单调递增。

…（8分）
(3)由（2）知)(x f 在R 上单调递增，因为)12()(2
2+-<x x f ax f ，所以122+-<x x ax ， 因为1=a ，即1222+-<x x x ，即21<
x ， 所以x 的取值范围为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<
21x x . ……………（12分）。