【解析版】2013年湖南省岳阳市中考数学试卷及答案

湖南省岳阳市2013年中考数学试题
一、选择题
1.－2013的相反数是（ ）
A ．－2013
B 、2013
C 、12013
D 、－1
2013
答案：B
解析：－2013的相反数是2013，简单题。

2.计算a 3·a 2的结果是（ ） A 、a 5 B 、a 6 C 、a 3＋a 2 D 、3a 2 答案：A
解析：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得：32325a a a a +==g ，选A 。

3.一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后，与汉字“岳”相对的面上的汉字是（ ）
A 、建
B 、设
C 、和
D 、谐 答案：C 解析：以“岳”作底面，则前后面分别为“阳、建”，左右面分别为“谐、
设”，上面是“和”，所以，选C 。

4.不等式2x ＜10的解集在数轴上表示正确的是（ ）
D
C
B
A
答案：D
解析：解不等式，得x ＜5，没有等号，5这个点有空心表示，故选D 。

5.关于x 的分式方程7x-1＋3＝m
x-1
有增根，则增根为（ ）
A 、x ＝1
B 、x ＝－1
C 、x ＝3
D 、x ＝－3
答案：A
解析：当x ＝1时，分母为零，没有意义，所以是增根。

6.两圆半径分别为3cm 和7cm ，当圆心距d ＝10cm 时，两圆的位置关系为（ ） A 、外离 B 、内切 C 、相交 D 、外切 答案：D
解析：因为10＝3＋7，即，圆心距等于两圆的半径之和，此时，两圆外切。

7.某组7名同学在一学期里阅读课外书籍的册数分别是：14,12,13,12,17,18,16.则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A 、12,13
B 、12,14
C 、13,14
D 、13，16 答案：B
解析：12出现两次，其它数据都只出现一次，故众数为12；
数据由小到大排列为：12、12、13、14、16、17、18，所以，中位数为14。

阳岳谐和设建
8.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，对于下列结论：①a ＜0；②b ＜0；③c ＞0；④b ＋2a ＝0；⑤a ＋b ＋c ＜0.其中正确的个数是（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 答案：C
解析：由图可知，抛物线开口向下，故a ＜0，①正确；对称轴为：
2b
x a
=-
＝1＞0，而a ＜0，故b ＞0，②错误； 抛物线与y 轴交点在正半轴，故c ＞0，③正确； 又2b
x a
=-
＝1，得b ＝－2a ，即b ＋2a ＝0，④正确；选C 。

二、填空题：
9.分解因式：xy －3x ＝____________ 答案：x (y －3)
解析：提公因式即可，故原式＝x （y －3） 10.单项式－5x 2y 的系数是____________ 答案：－5
解析：对于单项式，字母前面的常数即为系数，注意要带符号。

11.函数y ＝x ＋2中，自变量x 的取值范围是____________ 答案：x ≥-2
解析：由根式有意义，可知：x ＋2≥0，即x ≥-2
12.据统计，今年我市参加初中毕业学业考试的九年级学生将近47500人，数据47500用科学记数法表示为____________ 答案：4.75×104
解析：科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 47500＝4.75×104
13.如图，点p （－3,2）处的一只蚂蚁沿水平方向向右爬行了5个单位长度后的坐标为____________
答案：（2,2）
解析：蚂蚁沿水平方向向右爬行5个单位长度后，横坐标为：－3＋5＝2，纵坐标不变，所以为（2,2）。

14.如图所示的3×3方格形地面上，阴影部分是草地，其余部分是空地，一只自由飞翔的小鸟飞下来落在草地上的概率为____________
答案：13
解析：设每个小正方形的边长为1，则大正方形的边长为3，面积为9 阴影部分的面积为：4×
1112⨯⨯＋1＝3，所以，所求的概率为：3193
= 15.同一时刻，物体的高与影子的长成比例，某一时刻，高1.6m 的人影长啊1.2m ，一电线
杆影长为9m ，则电线杆的高为____________m. 答案：12
解析：设电线杆的高为xm ，则有
1.29
1.6x
=，解得：x ＝12（m ）。

16.夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在荷中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的矩形荷塘上架设小桥，若荷塘周长为280m ，且桥宽忽略不计，则小桥总长为____________m . 答案：140
解析：如下图，PY ＋UQ ＝AB ，
RS ＋TU ＋VW ＝AD ，所以，小桥总长与AB ＋AD 的长相等，即等于矩形ABCD 的周长的一半，故填140
三、解答题：
17.计算：||－2＋(－1)2013－(π－3)0 解析：原式＝2－1－1
＝0
18.先化简，再求值：21
21
a a a --+-，其中a ＝3
解析：原式
(1)(1)
2
1
a a
a
a
+-
=-+
-
21
a a
=-++
21
a
=-
当a＝3时，原式231
=⨯-＝5
19.如图，反比例函数y＝
k
x与一次函数y＝x＋b的图象，都经过点A（1,2）
（1）试确定反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求一次函数图象与两坐标轴的交点坐标。

解析：(1)∵反比例函数y＝
k
x与一次函数y＝x＋b的图象，都经过点A（1,2）
∴k＝2 b＝1
∴反比例函数的解析式为y＝
2
x，一次函数的解析式为y＝x＋1
(2)解方程组
2
1
y
x
y x
⎧
=
⎪
⎨
⎪=+
⎩
得1
1
2
1
x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
，2
2
1
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
∴一次函数图象与两坐标轴的交点坐标为（-2,-1）与（1,2）。

20.某天，一蔬菜经营户用114元从蔬菜批发市场购进黄瓜和土豆共40千克到菜市场去卖，品名批发价零售价
黄瓜 2.4 4
土豆 3 5
（1）他当天购进黄瓜和土豆各多少千克？
（2）如果黄瓜和土豆全部卖完，他能赚多少钱？
解析：(1)设他当天购进黄瓜x 千克，土豆y 千克。

由题意得：
402.43114x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：10
30
x y =⎧⎨
=⎩ ∴他当天购进黄瓜10千克，土豆30千克。

(2) 如果黄瓜和土豆全部卖完，他能赚：10×（4-2.4）+30×（5-3）＝76元
21.某市为了更好地加强城市建设，实现美丽梦想，就社会热点问题广泛征求市民意见，方式是发放调查表：要求每位被调查人员写一个最关心的有关城市建设问题的建议，经统计整理绘制出（a ），（b ）两幅不完整统计图，请根据统计图提供的信息解答下列问题： （1）本次上交调查表的总人数为多少？
（2）求关心“道路交通”部分的人数，并补充完整条形统计图。

解析：(1) 本次上交调查表的总人数为：900÷30%＝3000（人）
(2) 关心“道路交通”部分的人数为：3000×（1－30%－25%－20%－5%）＝600（人） 补充完整条形统计图：如图。

22.某校有一露天舞台，纵断面如图所示，AC 垂直于地面，AB 表示楼梯，AE 为舞台面，楼梯的坡角∠ABC ＝45°，坡长AB ＝2m
，为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造，降低
坡度，拟修新楼梯AD ，使∠ADC ＝30° （1）求（结果保留根号）； （2）在楼梯口B 左侧正前方距离舞台底部C 点3m 处有一株大树，修新楼梯AD 时底端D 是否会触到大树？并说明理由。

解析：（1）在Rt △ABC 中，∠ABC ＝45°，AB ＝2m ∵sin
452
AC
︒=
∴AC =
即：舞台的高AC 米。

（2）修新楼梯AD 时底端不会触到大树。

理由如下： 在
Rt △ADC 中，∠ADC ＝30
°，AC =
m
∵
tan 30DC
︒= ∴DC =
3
即：修新楼梯AD 时底端不会触到大树。

23.某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点与D 点重合。

三角板的一边交AB 于点P ，另一边交BC 的延长线于点Q . （1）求证：DP ＝DQ ；
（2）如图，小明在图①的基础上做∠PDQ 的平分线DE 交BC 于点E ，连接PE ，他发现PE 和QE 存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；
（3）如图，固定三角板直角顶点在D 点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB 的延长线于点P ，另一边交BC 的延长线于点Q ,仍作∠PDQ 的平分线DE 交BC 延长线于点E ，连接PE ，若AB :AP ＝3:4，请帮小明算出△DEP 的面积。

②
①
解析：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形 ∴DA ＝DC ，∠DAP ＝∠DCQ ＝90° ∵∠PDQ ＝90°
∴∠ADP +∠P DC ＝90° ∠CDQ +∠P DC ＝90° ∠ADP ＝∠CDQ 在△ADP 与△CDQ 中
∵DAP DCQ DA DC ADP CDQ ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
∴△ADP ≌△CDQ (ASA) ∴DP ＝DQ
（2）PE ＝QE
证明：∵ DE 是∠PDQ 的平分线 ∴∠PDE ＝∠QDE 在△PDE 与△QDE 中
∵DP DQ PDE QDE DE DE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△PDE ≌△QDE (SAS) ∴PE ＝QE
（3）证明：∵AB :AP ＝3:4, AB ＝6 ∴AP ＝8, BP ＝2,
由(1)知: △ADP ≌△CDQ 则AP ＝CQ ＝8 由(2)知: PE ＝QE
设CE ＝x ，则PE ＝QE ＝CQ —CE ＝8—x
在Rt △PEB 中，BP ＝2, BE ＝6＋x ，PE ＝8—x 由勾股定理得：22＋（6＋x ）2＝（8
—x ）2
解得：x ＝6
7
∵BP ∥CD
Q
∴BM BP
CM CD =
∴266
BM BM =- ∴BM ＝3
2
∴ME ＝ CM ＋CE ＝6—32 ＋x ＝6—32 ＋67 ＝75
14
∴△DEP 的面积为：S △DEP ＝S △DME ＋S △PME ＝12 ·ME ·DC ＋12 ·ME ·PB ＝1
2 ·ME ·(DC
＋PB )
＝12 ·7514 ·(6＋2) ＝12 ·7514 ·(6＋2) ＝150
7
24如图，已知以E （3,0）为圆心，以5为半径的⊙E 与x 轴交于A ,B 两点，与y 轴交于C 点，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A ,B ,C 三点，顶点为F . （1） 求A,B ,C ,三点的坐标；
（2） 求抛物线的解析式及顶点F 的坐标；
（3） 已知M 为抛物线上一动点（不与C 点重合），试探究：
①使得以A ,B ,M 为顶点的三角形面积与△ABC 的面积相等，求所有符合条件的点M 的坐标； ②若探究①中的M 点位于第四象限，连接M 点与抛物线顶点F ，试判断直线MF 与⊙E 的位置关系，并说明理由.
解析：（1）连接CE
OA ＝EA —OE ＝2 , OB ＝EB ＋OE ＝8 在Rt △CEO 中，CE ＝5, OE ＝3 由勾股定理得：OC ＝4
∴A,B ,C ,三点的坐标分别为：
A （—2， 0）,
B （8，0）,
C （0，—4）,
（2）∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A （—2，0）, B （8，0）,C （0，—4）三点
∴42064804a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩ 解得：14324
a b c ⎧=⎪⎪
⎪
=-⎨⎪
=-⎪⎪⎩
∴抛物线的解析式为：y ＝14 x 2—3
2 x —4
∵y ＝14 x 2—32 x —4＝14 （x —3）2—25
4
∴顶点F 的坐标为：F （3，—254
）
（3）①∵以A ,B ,M 为顶点的三角形面积与△ABC 的面积相等， ∴抛物线上的点M 到AB 的距离为OC ＝4
当y ＝—4时，14 x 2—32 x —4＝—4
解得：x 1＝0，x 2＝6 当y ＝4时，14 x 2—3
2 x —4＝4
解得：x 1＝3—41 ，x 2＝3＋41
∴所有符合条件的点M 的坐标为： M 1（6，—4），M 2（3—41 ，4） M 3（3＋41 ，4）
②MF 是⊙E 的切线。

理由如下： 连接ME ，
∵ME 2＝42＋(6—3)2＝25
MF 2＝(254 —4)2＋(6—3)2＝225
16
EF 2＝(254 )2＝625
16
∴ME 2＋MF 2＝625
16
∴ME 2＋MF 2＝EF 2
∴△EFM 是直角三角形（勾股定理逆定理） ∴∠EMF ＝90° ∴FM ⊥EM
∴MF 是⊙E 的切线.
M 1
M 3
M 2。