[推荐学习]2019届高三数学上学期第二次诊断考试试题理

甘肃省武威第十八中学2019届高三数学上学期第二次诊断考试试题
理
一、选择题：本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{1,3,5}，B ＝{3,4,5}，则∁U (A ∪B )＝( ) A ．{2,6} B ．{3,6} C ．{1,3,4,5} D ．{1,2,4,6} 2．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝cos x C ．y ＝e x
D ．y ＝ln |x | 3.已知 1.30.72,4,a b ==ln 6c =,则,,a b c 的大小关系为( ) A. a b c << B. b c a << C. c a b << D. c b a <<
4．若sin α＝－3
5，且α为第四象限角，则cos()πα+= ( )
A ．－45 B. 45 C.35 D ．－35
5.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (x )的
解析式是( )
A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3
B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3
C ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3
D ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 6．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ―→＝3CD ―→
，则( )
A ．AD ―→＝－13A
B ―→＋43A
C ―→
B ．AD ―→＝13AB ―→－43A
C ―→
C ．A
D ―→＝43AB ―→＋13
AC ―→
D ．AD ―→＝43AB ―→－13
AC ―→
7．在△ABC 中，2a cos A ＋b cos C ＋c cosB ＝0，则角A 的大小为( ) A.
π6 B.π3 C.2π3 D.5π
6
8．函数y ＝(x 3
－x )2|x |
的图象大致是( )
9．函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( ) A ．p 是q 的充分必要条件
B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件
C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件
D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件
10.若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π
12
个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )
A ．x ＝k π2－π
6(k ∈Z) B ．x ＝k π2＋π
6(k ∈Z) C ．x ＝
k π
2－π
12
(k ∈Z) D ．x ＝
k π
2＋π
12
(k ∈Z) 11．由曲线y ＝x 2
＋1，直线y ＝－x ＋3，x 轴正半轴与y 轴正半轴所围成图形的面积为( )
A .3 B.103 C.73 D.8
3
12．已知函数)ln 2
()(2x x k x
e x
f x +-=,若x =2是函数f (x )的唯一的一个极值点，则实数k 的
取值范围为（ ） A ．[0,e] B ．(-∞,e] C ．(1,e)
D ．(0,e)
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．函数y ＝log 0.54x －
的定义域为______．
14．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．
15．已知
，
，则
________．
16．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向,后来船沿南偏东60°的方向航行15 km 后,看见灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离是______ km
三、解答题：本大题共6小题，17小题为10分，18、19、20、21、22小题为12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. (本题满分10分)
已知a >0，且a ≠1，命题p ：函数x y a =在R 上单调递减；命题q ：关于x 的方程 x 2
＋(2a －
3)x ＋1有两个不等的实根．如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数 a 的取值范围.
18. (本题满分12分)
已知函数2
()sin cos f x x x x =+ (1)求f (x )的最小正周期和最小值；
(2)将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的
图象．写出g (x )的解析式，求当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2，π时，g (x )的值域．
19. (本题满分12分)
在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且a cos C ＝(2b －c )cos A . (1)求角A 的大小；
(2)若a ＝6，b ＝2c ，求△ABC 的面积．
20. (本题满分12分)
已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；
(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．
21. (本题满分12分)
设函数f (x )＝a ln x －bx 2
(x ＞0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切，
(1)求实数a ，b 的值；
(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1e ，e 上的最大值．
22. (本题满分12分)
已知函数()sin cos f x x x x =+．
（1）当,4x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，求函数()f x 的单调区间；
（2）若存在,42x ππ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，使得2()cos f x kx x >+成立，求实数k 的取值范围． 2018—2019学年度第一学期第二次月考
高三理科数学
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1；
14. 答案：12 ； 15. 答案:； 16. 答案：
35
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17. (本题满分10分)（陈多平，丁春年）
解：由函数x
y a =在R 上单调递减，解得0<a <1 …………………………2分 关于x 的方程 x 2
＋(2a －3)x ＋1有两个不等的实根得(2a －3)2
－4>0，
即a <12或a >5
2
……4分
因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p 和q 一真一假，
即“p 假q 真”或“p 真q 假” ………………………………5分
1011515<>2222
a a a a a ><<⎧⎧⎪⎪⎨⎨≤≤⎪⎪⎩⎩故或或
解得a >52或1
12a ≤<
故实数a 的取值范围是15
[,1)(,)22
+∞ ………………………………10分
18. (本题满分12分)
解：（1）21()sin 222
f x x x =
-+
1sin 2cos2)222
x x =-++
……………………………2分
1
sin 222
x x =-+
sin(2)3
x π
=-
+…………………………4分
因此f (x )的最小正周期为π，最小值为 1-…………………………6分
(2)由条件可知()sin()3
g x x π
=-
+…………………………8分
当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，有x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，
从而y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1，
…………………………10分
那么()sin()3g x x π
=-+1
[2
++
故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上的值域是1[2++. …………………………12分
19. (本题满分12分)
解：(1)解法一 由(2b －c )cos A ＝a cos C ，
得2sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ， …………………………2分
即2sin B cos A ＝sin(A ＋C )，
所以2sin B cos A ＝sin B ， …………………………4分 因为0<B <π，所以sin B ≠0，
所以cos A ＝12，因为0<A <π，所以A ＝π
3. …………………………6分
解法二 由(2b －c )cos A ＝a cos C ，
得(2b －c )2222b c a bc +-= 222
2a b c a ab +- …………………………2分
2
2
2
b c a bc +-= 2221
cos 222
b c a bc A bc bc +-=== …………………………4分
因为0<A <π，所以A ＝π
3. …………………………6分
(2)因为a ＝6，b ＝2c ，由(1)得A ＝π
3
，
所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2224364c c c
+-＝1
2， …………………………8分 解得c ＝23，所以b ＝4 3. …………………………10分 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×23×43×3
2＝6 3 …………………………12分
20. (本题满分12分)
解： (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x . 则tan x ＝－
3
3
. 又x ∈[0，π]，所以x ＝5π
6. …………………………4分
(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)
＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6.
因为x ∈[0，π]，所以x ＋
π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6
，7π6，
从而－1≤cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32.
于是，当x ＋π6＝π
6
，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；
当x ＋π6＝π，即x ＝5π
6
时，f (x )取到最小值－2 3.
…………………………12分 21. (本题满分12分)．
解：(1)f ′(x )＝a x
－2bx ， …………………………1分
∵函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－1
2相切，
∴
⎩
⎪⎨⎪⎧
f ＝a －2b ＝0，f 1＝－b ＝－12， …………………………2分
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝1
2
. …………………………4分
(2)由(1)得f (x )＝ln x －12
x 2
，
则f ′(x )＝1x －x ＝1－x
2
x
， …………………………6分
∵当1e ≤x ≤e 时，令f ′(x )＞0得1
e
≤x ＜1；
令f ′(x )＜0，得1＜x ≤e， …………………………8分
∴f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1e ，1上单调递增，在[]1，e 上单调递减， …………………………10分 ∴f (x )max ＝f (1)＝－1
2. …………………………12分
22. (本题满分12分)．
解： （ 1）f'（x ）=sinx+xcosx ﹣sinx=xcosx ，…
∴
时，f'（x ）=xcosx ＞0，
∴函数f （x ）在
上是增函数；
时，f'（x ）=xcosx ＜0，
∴函数f （x ）在
上是减函数； … ……………………………6分
（ 2）由题意等价于xsinx+cosx＞kx2+cosx，整理得．
令，则，
令g（x）=xcosx﹣sinx，g'（x）=﹣xsinx＜0，
∴g（x）在上单调递减，
∴，即g（x）=xcosx﹣sinx＜0，…
∴，即在上单调递减，
∴，即．……………………………12分。